В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 20
Текст из файла (страница 20)
5.6. При очень малых возмущениях плотности Ц « ао и давления ~~бр << ра из (5.6) получаем: Рис. 5.6. менее вычислим скорость распространения продольных волн с использованием волно- вого уравнения. Последнее может быть получено из (4.74), в котором п„следует заме- нить величиной — бр = ро — р „где р — давление в волне, ра — равновесное давление в среде, Ьр — возмущение давления. Тогда мы можем записать Колебания и волны 98 бр = ~ бр = ~~бр, Ре (5.7) где введено обозначение =К (5.8) С учетом (4.69) и (4.72) возмущения плотности Ьр в (5.7) связаны со смешени- ем а соотношением: д бр = аро = Ро дх Следовательно, (5.7) примет вид; (5.9) ,д' бр = рас (5.10) дх Подставляя (5.10) в (5.5), записывая огл = раЯх и переходя к пределу при дх — > О, получим волновое уравнение ствуют длины волн 7. от десятков километров до нескольких ангстрем.
Значения скоростей (фазовых и групповых) для разных сред лежат в диапазоне ог долей до десятков км/с. Для воздуха материальное уравнение (5.6) является уравнением адиабаты и в акустике обычно записывается в виде (см, также предыдущие лекции): (5.12) где 7 = с ! сг — показатель адиабаты. Р Тогда из (5.8) скорость волны (в акустике употребляют термин кскорость звука») в газе получается равной с= 7 — = 7 —, (5.13) где )ь — моляриая масса газа — — с — „ (5.11) Й дх из которого сразу видно, что скорость волны задается выражением (5.8) н не зависит от частоты (дисперсия отсутствует). Естественно, что с такой скоростью распространяются волны с длиной волны Х, превосходящей длину свободного пробега молекул в газе или межатомные расстояния в жидкостях г' .
В этом случае жидкость и газ могут рассматриваться как сплошные среды. Для волн высоких частот, когда Х - 1, возникает дисперсия, а волны с длиной Х < 11 распространяться вообще не могут. Упругие волны в жцдкостях и газах, как, впрочем, и в твердых телах, называются акустическими, а раздел физики, который их изучает — акустикой. Частоты этих волн лежат в диапазоне от долей герца (инфразвук) до 10'з Гц (гиперзвук). Этим частотам соответ- Лекция 5 99 Скорость звука зависит, таким образом. от рода газа и по порядку величины совпадает со средней скоростью теплового движения молекул.
Для жидкости мазериальным уравнением является полуэмпирическое уравнение Теис Р = Р~н (5.14) где р — характерное внутреннее давление, обусловленное межмолекулярным взаимодействием (оно составляет для большинства жидкостей без пузырьков и различных включений несколько тысяч атмосфер). Параметр Г имеет порядок нескольких единиц (например, для воды Г = 7 ). В таблице приведены значения скорости звука„измеренные в некоторых газах (при температуре 1 = 0'С) и жидкостях.
Энергии, переносимая звуковой волной. Интенсивность звука задается формулой (4.65) (бР)о "о = Рос где (Ьр)в — амплитуда колебаний возмущений давления бр . Поэтому 1 (бР)о Рас (5.16) (5.17) 1=,,грош "о 2 2 (5.15) и пропорциональна квадрату частоты. Поэтому при переходе в область высоких частот облегчается задача получения больших интенсивностей, необходимых, например. для наблюдения нелинейных эффектов (см, следующую лекцию).
В зависимости от решаемой задачи в акустике используются волны с интенсивностью от 10 " Вт/смз до 10ь Вт/смз. Для практических целей интенсивность 1 выражают через возмущение давления бр, которое называют также «звуковым давлением». Наиболее просто такую зависимость можно получить из (5.15) при учете, что амплитуда скорости колебаний частиц г а —— озз а . С другой стороны, в соответствии с акустическим законом Ома (формула (3. 53) в лекциях по механике сплошных сред) эта скорость равна Колебания и волны 100 Выполним некоторые простые оценки. 1. Вблизи струи газа, вытекающей из сопла реактивного двигателя самолета, амплитуда колебаний звукового давления (Ьр)а = 300 Па(вспомним, что ре = 10 Пан 5 (Ьр) а «ре.
Такое давление находится на пороге болевого ощущения (см. далее). Поскольку акустическое волновое сопротивление воздуха а =ряс=41 см"з с ', то ге = 73 см!с, Если принять, что частота ч =1О Гц(хотя из турбины исходит многочасз тотный шум)„то амплитуда смещения за = ге! 2кч = 0,0! см. Таким образом, смеше- 1' 27 а„=оз — =6,3 1О смс з -10зд, "сро (5.18) что на пять порядков превосходит ускорение свободного падения д. Учет появления таких громадных ускорений особенно важен в биологических исследованиях с при- менением ультразвука.
Поглощение звука. Наличие вязкости и теплопроводности среды приводит к потере энергии звуковой волны, и эта энергия расходуется на нагревание среды. Волна давления Ьр(г,1), а также волны смещения з(гд) и скорости п(«д) = дз(д1 по мере распространения затухают. Здесь г — радиус-вектор, задающий положение точки в трехмерном пространстве, в которой фиксируются возмущения давления, смещение частиц и их скорость. В случае гармонической волны, распространяющейся по одному направлению (вдоль оси Ох), возмущения давления записываются в виде Ьр(х,1) =(Ьр)ае гйп аз 1 — — 11, с 11 (5.19) где а — коэффициент затухания. Это уравнение характеризует плоскую волну (возму- щение Ьр в плоскости х = сопз1 одинаково).
В этом случае отсутствует геометрическое расхождение волны. Амплитуда этой волны (Ьр) а е ~ экспоненциально убывает с прой- денным расстоянием. В соответствии с (5,17) интенсивность волны равна ние частиц воздуха даже при таком сильном звуке оказывается малым. 2. Звуки на пределе слышимости на частоте у =10 Гц (ухо человека весьма 3 чувствительно кэтой частоте) имеютамплитудузвуковогодавления (Ьр) =2 10 ~ Ла, асмещениечастицвоздуха ла =0,8 10 ~ см. Уместнозаметить, чтосовременныеметоды измерения смешений в принципе дают возможность зарегистрировать колебания с амплитудой за -10 см, 3. В ультразвуковых волнах с частотами порядка нескольких мегагерц интенсивности могут достигать нескольких сотен Вт!ем~, а с использованием фокусирующих устройств — даже более десятка кВт/смз. Это приводит к появлению огромных ускорений частиц среды, в которой распространяется ультразвуковая волна.
Например, при распространении в воде волны с частотой у =10 Гц и интенсивностью 7= 100 Вт!смз амплитуда ускорения аа — — со за, согласно (5. 15), получается равной Лекция 5 1(бР)о -г, -г г е =ге 2 рос (5.20) где То = — — начальная интенсивность волны. Если пренебречь потерями, связанны- 1 (бР)о 2 рос ми с теплопроводностью, то коэффициент а, согласно гидродинамике, оказывается равным (5.21) 3 2рос где )з — вязкость жидкости или газа. Важно отметить, что а — ш . Этим объясняется г тот факт, что резкий звук выстрела или шелчка кнута, в спектре которого присутствует широкий набор частот, по мере распространения трансформируется в более мягкий, поскольку в спектре остаются преимущественно низкие частоты.
Заметим, что погло- шение звука в воде существенно меньше, чем в воздухе, а в твердых телах еше меньше, чем в воде. Очень низким поглощением звука отличаются такие кристаллы, как сапфир, топаз, берилл„ииобат лития и другие. В заключение отметим, что поглощение звука является главным препятствием, ограничиваюшим применение многих материалов на высоких частотах. кие, как элекгродинамические излучатели„магнитострикционные и пьезоэлектрические преобразователи, представляют собой линейные устройства, благодаря чему они возбуждают акустическую волну той же формы, что и электрический сигнал.
Кроме того, зги устройства обратимы, то есть могут работать и как излучатели, и как приемники звука. В диапазоне слышимых частот широкое распространение получили электродннамические излучатели, принцип действия которых основан на взаимодействии пере- Излучатели звука. Применяемые в акустике излучатели упругих волн можно подразделить на две большие группы, К первой относятся излучатели-генераторы; колебания в них возбуждаются изза наличия препятствия на пути постоянного потока газа или жидкости (сирены, свистки, генераторы Гартмана). Такие генераторы применяются в основном в диапазоне частот до 30 —: 40 кГц. Они отличаются высоким коэффициентом преобразования кинетической энергии струи в акустическую (до 50'М), простотой конструкции и эксплуатации, дешевизной.
Интенсивность звука в непосредственной близости от излучателя может достигать 10 Вт/ем~. К недостаткам этих излучателей относятся широкий спектр излучаемых частот, нестабильность излучаемой мощности, невозможность получения звуковых колебаний заданной формы. Вторую группу излучателей составлянп электроакустические преобразователи.
Свое название они получили оттого, что преобразуют электрические колебания в механические колебания какого-либо твердого тела, которое и излучает в окружакнцую среду акустические волны. Наиболее распространенные электроакустические преобразователи, та- 102 Колебания и волны менного электрического тока с магнитным полем 1телефоны, громкоговорители). В магнитострикционных преобразователях используется эффект магнитострикщпт — дефор- мации твердого тела в магнитном поле. В ультразвуковом и гиперзвуковом диапазонах (до 10 Гц) наиболее широко ю применяются пьезоэлектрические преобразователи, принцип действия которых основан на обратном пьезоэффекте — деформации тела под действием электрического поля.
На рис. 5.7 схематично показан простейший преобразова- тель, основу которого составляет пьезопластинка, вырезанная специальным образом из монокристалла кварца, ниобата лития (Ь|ХЬО ) или другого пьезоматериала. К противоположным поверхностям пластинки (обычно металлизированным или покрытым металлическими электродами) прикладывается переменное напряЬ7 жение Ус частотой ч. Толшина пластинки Р будет при этом периРис.
5,7, одически изменяться с той же частотой, причем это изменение не превосходит нескольких микрон. Вибрирующие поверхности пластинки приводят в движение соприкасающийся с ними воздух. Наибольшая амплитуда колебаний будет при резонансе, когда на толШине 1' укладывается нечетное число полуволн; Х„ 1=п — "; п=1,3,5... 15.22) 2 Отметим, что при четном и на электродах возникли бы электрические заряды одного знака, что невозможно. Резонансные частоты получаются равными с пс ч„= — = —. (5.23) Х„ 21 Например, для пьезокварца при скорости продольных волн с = 5700 мыс и тол- шине пластинки Р = 1 мм резонансные частоты равны ч„=п 2850 кГц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
