В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Очевидно, что это будут стоячие волны, отвечающие разным граничным условиям: на левом конце должен быть узел, а на правом — пучность. На длине шнура при этом укладывается нечетное число четвертей длин волн. Замечание, При возбуждении моды мы задавали закон движения закрепленного конца шнура в виде з(Г) = г, в гйп оМ, что может вызвать у читателя некоторое недоумение— как может двигаться закрепленный конец'? Однако амплитуда колебаний Р с обычно значи- 2 ладываться целое число полуволн, но таРис. 4.!5. ким образом, чтобы на концах шнура были пучности. Закрепим теперь только левый конец шнура и будем двигать кронштейн с малой амплитудой г,а . Условие оптимального возбуждения стоячих волн (мод) получается из тех соображений, что импульс обращается только при отражении от левого конца шнура. Для усиления импульса необходимо, чтобы левый конец в момент времени ? = Л? Лекция 4 тельно меньше амплитуды колебаний в пучностях, поэтому незначительно вибрирующий конец шнура может рас- сматриваться, как неподвижный.
Волны в упругих телах. Как мы видели, силы взаимодействия между соседними нэлеблющимися элементами шнура обеспечивают распространение в нем волн. В упругих телах такие ези силы сводятся к касательным и нормаль- %в ным напряжешгям, возникающим при деформациях сдвига и растяжения(сжатия). Зтим деформациям омпветсгвуют 2 типа волн; поперечные и продольные. Рассмотрим эти волны по отдельности. Ряс.
4.16, Поперечные волны. Если по стержню, изготовленному из упругого материала, ударить молотком в его средней части (рис. 4.17), то к его концам побегут импульсы„ как это имела место в шнуре с грузами, изображенном на рис. 4.1. Однако поперечные смещения частиц стержня будут незаметны для глаза, поэтому для регистрации бегущих по стержню возмущений требуются специальные методы. Поскольку дисперсия волн механической природы в сплошной среде отсутству- п,(х) = б1ку(х) = б— ,а. а.. „' д~ и, (х '- бх) = б1я'у(х+ дх) = б— ох 'нь Здесь б — модуль сдвига, у — угол сдвига. (4,45) О х — йг х х+ Ряс. 4.18. Рис, 4.17.
ет, то скорость их распространения можно рассчитать с помощью волнового уравнения. На рис. 4.18 поыгзаи фрагмент колеблющегося стержня. На средний элемент длиной дх действуют касательные напряжения (слева а,(х) и справа п,(х е дх) ), величины которых пропорциональны деформациям сдвига соседних элементов; Колебания и волны 80 Если площадь поперечного сечения стержня равна 5, то масса элемента дт = 5рдх (р — плотность материала).
Следовательно, уравнение его движения может быть записано в виде; (4.46) Поделив обе части (4.46) на 5 и дх„получаем волновое уравнение 0" а а'. (4.47) 01' р0' Его решением. как мы уже отмечали выше, является любая функция аргу- мента 0=1Тх!с: х(х,1) = х(0) = х 1+ — „ ( х) с 7' (4.48) а скорость распространения волны (4.49) Процессы распространения и отражения поперечных волн в стержне полностью аналогичны таковым в однородном натянутом шнуре, поэтому мы их рассматривать ие будем, Сконцентрируем внимание на закономерностях переноса механической энер- гии бегущей волной, ,г тг =-.Вуз = .6 —.-~, (4.50) 2 2 дх~' называемая объемной плотностью энергии де ормации сдвига. В (4.50) полагаем а.
у= Фу=в дх Помимо этого, единица объема с массой, равной Р, и колебательной скоростью г = дз! д! имеет кинетическую энергию г и„= — ре = — р— Полная энергия единицы объема равна (4.51) в= вт-~и,, = — Π— 4Р— (4.52) Покажем„что в бегущей волне (4.48) и. = и „. Для этого вычислим производные: дз йз 09 <Ь( 11 дз дх 00 оз дх 60дх ЙО~ с,~ 01 д9 01 оО (4.53) Энергия, переносимая волной. В лекции по деформациям упругих твердых тел мы отмечали, что при деформации сдвига в единице объема тела запасается потенциальная энергия Лекция 4 81 Из (4.
53) получаем гйк 1 дл и — =+ — —. или Т=Т вЂ”. (4.54) с Отметим, что в бегущей волне дефориации у какого-либо элемента пропориио- нальны его колебательной скорости и Возводя в квадрат левое равенство (4.54), деля его пополам и учитывая, что с = 6!р,получаем 6 — = -р ---,или и',. =и„. (4.55) Равенство величин и „и ю„позволяет записать полную плотность энергии и в виде; (4. 56) Поскольку волна движется, то она осуществляет перенос механической энергии.
Так, например, за время дг через площадку единичной площади, заштрихованную на рис. 4.19, будет перенесена энергия, равная (4.57) В физике используют понятие плотности потока энерпзи, определяемой количеспюм энергии, переносимой волиои за единицу времени через единичную площадку к — — сдг — ~ ' Рис. 4.19, перпендикулярную направлению распространения волны. Согласно (4. 57), эта плотность равна (4.58) и имеет размерность Я = Дж/(м~ .
с) . Если площадка имеет площадь 05, а ее нормаль и составляет с направлением распространения волны (осью Ох) угол и (рис. 4,20), то количество энергии, переносимое волной через эту площадку за единицу времени (поток энергии) равен Рис. 4,20. (4.59) 0Ф = ис.д5соза Профессором Московского университета Н,А. Умовым в 1874 г. был введен век- торплотностипотока энергии (4.60) (4.61) дФ= 1 Ж=Лксозп где Ж =дЯ п. С подобным представлением потока вектора скорости мы встречались при изучении движения жидкостей. получивший название вектора Умова.
С его использованием поток 0Ф может быть записан в виде 82 Колебания и волны (4.64) (4.65) (4.67) Удобство вектора Умова становится особенно ощутимым, когда волна распространяется в трехмерном пространстве. Тогда поток энергии через произвольную поверхность Я выражается в виде интеграла по этой поверхности: Ф=~1 Ж. (4.62) Я Последняя формула будет использована ниже. Подсчитаем среднее за период значение вектора Умова для бегущей вдоль стержня поперечной гармонической волны я(х, г) = яо з1п(сот — Фх) . (4.63) Обьемная плотность энергии (сумма потенциальной и кинетической энергий) равна г (д.') и =р — =рхосо соз (шг-хх), '(дг! В некоторый момент време- М' ни она распределена вдоль стержня так, как показано на рис. 4.21.
С течеРооог ~ нием времени это распределение смещается вдоль оси Ох со скоростью с. Плотность потока энергии через лю- О х бое сечение к = сопз1 будет периоди- Рис. 4.21, чески возрастать от нуля до максимальной величины рхо со, Поэтому удобно пользоваться средним значением.1 за пери- г г од Т = 2л(ш. Эта величина называется интенсивностью бегущей волны и равна т ) 1'"г = срог яо. 1 1 г г То 2 Важно отметить„что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. В стоячей волне нет переноса энергии, т, к, она является суперпозицией двух бегущих волн, переносящих одинаковое количество энергии в противоположных направлениях.
Однако, локальное движение энергшз в ограниченном пространстве между соседними узлами все же происходит. В самом деле, запишем уравнение стоячей волны (4.34), опустив в нем постоянные фазовые добавки <р, 12 и Ы: х(х,г) = 2зо соя 1хяп як (4.66) Объемная плотность энергии деформации сдвига равна; 1г г г г, г и = — б — =2хо( бяп гхяп шб 2 (дх) а объемная плотность кинетической энергии выражается как: г ив = — Р— ~ =2хош Рсоа (хсоз Ш1=2хо( бсоз (хсоз шт, (4.68) г г г г г г г г 2 (дг~ г поскольку с (г Локальное движение энергии наглядно демонстрирует рис.4.22, на котором показан фРагмент стоЯчей волны в моменты вРемени гг — — 0 и тг — — Гг ь Т 1 4 (а) и соответствУю- щие распределения и т(б) и г „(в).
11!!! !!!1~111~! Лекция 4 83 Видно, что при ~ =~,, когда эле- менты стержня проходят положение рав- новесия и имеют максимальные скорости, деформация отсутствует (вт = О) „а вся энергия запасена в виде кинетической энергии ж„. и локализована вблизи пучности. Однако через четверть периода колебаний частицы стержня сместят- 0 а) 0 б) ся на максимальные расстояния и остановятся (ю„. = О) . Энергия будет запасена в виде потенциальной энергии и и локализована вблизи узлов.
Это означает, что энергия из области вблизи пучности за четверть периода колебаний перетекает в обе стороны по направлению к узлам. Затем она движется в обратном направ- 0 в) г .4.гг. смещения витков пружины происходят вдоль направления распространения волны, поэто- му волна называется продольной. Рис. 4.23. ленин, и этот процесс повторяется многократно. Поток энергии через узлы отсутствует. Среднее за период значение потока энергии через любое сечение х = сопя| будет равно нулю (1 = О) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
