В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Поэтому вместо (4.16) следует записать уравнение волны в более усложненном виде; з(х, 1) = зв (х,1) з(п1шв1 — бех -~ <Рв(х, 1)]. (4.17) Здесь амплитУда зв(х, г) и фаза <Рв(х„1) ЯвлЯютсЯ медленно менЯющимисЯ фУнкциями времени на некотором масштабе времени т (сравните с формулой (3.19)). Естественно„что такая волна представляет собой группу гармонических волн, частоты которых располагаются вблизи основной частоты юв в пределах интервала Лоэ = 2к! г . Каждая из волн группы в среде с дисперсией имеет собственную фазовую скорость.
В среде с нормальной дисперсией волны большей частоты будут двигаться медленнее, чем волны меньшей частоты. Возникает естественный вопрос: что является скоростью Лекг4ия 4 з(х г0) Рис. 4.6. группы волн, н если такая скорость существует„то как ее вычислить? Какой физический смысл имеет эта скорость и в чем ее отличие от фазовой скорости? Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим для простоты группу из двух волн с одинаковыми амплитудами яе и с близкими частотами со! и аг, бегущих в положив! еюг тельном направлении оси х.
Будем считать, что Ла = аг — в, << ае = 2 . С такой ситуацией мы уже встречались при анализе биений двух связанных осцилляторов. Зададим дисперсионные свойства среды дисперснонным соотношением го = а(6) . С его помощью вычислим значения 6! и йг двух волновых чисел, соответствующих частотам а, и аг . Тогда уравнение группы волн примет внд: (Лв Л~ з(хд) =хаял(го г — с!х) +хе яп(вг! — Бгх) = 2зо сов — г — — х яп(аег — (ох). (4.18) охм во с= — =— ":о и совпадает с фазовой скоростью волны с частотой ве. Амплитуда квазигармонической волны (4.18) определяется как (4.19) (Лв Л( яо(х, г) = 2за соз — г — — х 2 (4.20) и ее распределение на рнс. 4.6 изображено пунктиром в виде медленно меняющеися вдоль х огибающей волны основной частоты ве.
Точка К на вершине этой огибающей будет двигаться со скоростью, отличающейся от с. Действительно, для координаты хк этой точки, как это следует нз (4.20), можем записать условие Ла Лр — г — — х„= соля. 2 2 (4.21) За время бг она сместится на расстояние дхк, которое находится из равенства: — 61- — б, =О. Жо Ж 2 2 (4.22) 1!~г Здесь Лк = рг — 6! Бе = 2 На рис. 4.6 изображена группа из двух волн в некоторый фиксированный момент времени ге.
Выделим две точки: М и К. Первая из них отвечает фиксированному значению фазы !рм = вег — Бехм, при которой яп !рм = 1. Очевидно, что скорость этой точки, определяемая из условия д!рм = вебг — йодхм = О, равна Колебания и волны 70 Следовательно, скорость движения вершины огибающей будет равна (4.23) й Ах Эта скорость характеризует движение группы волн и называется групповой скоростью. Ее смысл станет еще более понятным, если в пределах интервала Лго в группе будут нахо- диться волны с близко расположенными частотами„как, например, изображено на рис.
4.7а. Сама группа имеет вид одного импуль- а) з(х са длительностью т„, распространяющегося вдоль оси х (рис, 4.7б). Импульс будет двигаться с групповой скоростью и =доз!й., На дис- и — — и т„— персионной кривой (рис.4.7в) эта скорость равна угловому коэффициенту касательной прямой в точке А. «Синусоида» внутри импульса будет его обгонять и двигаться с фазовой скоростью с = оза П в . Численно эта скорость будет равна угловому коэффициенту отрезка ОА.
В среде без дисперсии дисперсионная кривая является прямойлинией а=с', Поэтому О в) Рис. 4,7. на малых расстояниях, поэтому говорить о распространении импульса как целого с групповой скоростью и некорректно. Дисперсиониое уширение импульсов негативно сказывается, например, на скорости передачи информации (количество бит в единицу времени) посредством коротких световых импульсов, бегущих по волоконно-оптическим линиям связи, длина которых достигает нескольких тысяч километров.
Два следующих друг за другом импульса могут расшириться настолько, что сольются в один (станут неразличимыми). Естественно, что приемник, установленный в конце линии, «воспримет» два импульса как один, и часть передаваемой информации будет утеряна. (4.24) Лк т.е. фазовая и групповая скорости совпадают. В среде с нормальной дисперсией, как это видно из рис. 4.7в, и < с. В среде с аномальной дисперсией кривая ю = гв(() должна загибаться вверх и„формально, и > с. Однако обычно эта зависимость настолько нелинейна, что понятие групповой скорости теряет смысл. Действительно, когда импульс, изображенный парис. 4.7б, пройдет очень большое расстояние в диспергирующей среде. то форма его исказится„и он растянется в пространстве. В среде с сильной аномальной дисперсией это искажение происходит уже Лекция 4 71 Волновое уравнение.
Уравнение бегущей гармонической волны в однородном шнуре, где дисперсия отсутствует (ш = сох), по аналогии с (4.1б) имеет вид: з(хд) г яо з!п(огг+ 1х) = хо згп ~+— о (4.25) Знак «-» соответствует волне, бегущей в положительном направлении по оси Ох, а знак х(хд) е к ГТ.--. х ) о (4.26) где з(0) — произвольная функция своего аргумента 0 = г + х/со.
Покажем, что закон движения шнура (4.2б) и, конечно, его частный случай (4.25) ЯвлЯютсЯ РешениЯми некотоРого УРавне- з(хро) ния движения, которое называется всиновымуравне!!иеи. Это волновое уравнение можнополучитьпредельнымпереходом из ! .!~ л! ! !.!! уравнения (3.47). ! ! ! ! На рис.4.8 показан фрагмент колеблющегося шнура. На этом фрагменте изображены три отрезка шнура дли- Рис. 4.8. ной Ах и массой ди каждый. Смещения этих отрезков в некоторый произвольный мо- МЕНТ ВРЕМЕНИ раВНЫ З„! с К(Х вЂ” Атд), ХК = а(Х, ~). З„«! ч я(Х О- АХ, Г). УСКОРЕНИЕ цЕНтд а(х,~) рального отрезка У = ' . Оно записано в виде второй частной производной фунд г кции з(хд) по времени. Учтем далее, что 0 х — !ах х хч-Ах х — х(х+ Ах,1) — з(х,1) дх л~ « -о а о о Ьх ах Й' х«. г (4.27а) х„— х„, .
х(х. с) — я(х — Ат. 1) дх 1пп ! " = 1пп - о а о о Ах ах. г ах Обратим внимание, что сила à — является проекцией на направление ах« смещения х силы Г, приложенной к центральному элементу справа (в точке х -ь дх ! 2 ). дя Аналогично, слева (в точке х — дх ! 2 ) проекция этой силы равна — Р— .
Равноах ~-ь!г действующая этих сил„очевидно, определяется приращением первой производной на длине бесконечно малого элемента !)х: а'. Р(д, а. а~' Ь ~ах „, „д. „ (4.28) «-ьв — в отрицательном. В более общем случае распространения произвольного импульса (группы волн), двигающегося с той же скоростью со, уравнение волны можно записать в виде: Колебания и волны 72 Если теперь учесть, что огл = р,дх (р, — плотность единицы длины, или линейная плотность шнура), то (4.28) примет вид волнового уравнения: (4,29) а!' р ах'' Это волновое уравнение является математическим выражением второго закона Ньютона, в котором ускорение единицы длины шнура и действующая на него сила запи- (4.31) (4.32) Под з может подразумеваться любая колеблющаяся величина: смешение, ско- рость, плотность, давление, электрический ток, электрическое напряжение, напряженность электрического и индукция магнитного полей и др.
Важно подчеркнуть, что если нам удается получить волновое уравнение (вывести его) для какого-либо процесса„то стоящий перед вторыми пространственными про- изводными множитель сразу определяет квадрат скорости распространения волны в среде без дисперсии. Этим приемом часто пользукпся для вычисления скорости распространения волн различной природы. Ниже мы тоже так поступим, когда будем рассматривать волны в твердых телах„жидкостях и газах. саны в виде вторых частных производных смешения х по времени и координате соответственно, С математической точки зрения оно является линейным дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка. Его решение хорошо известно: им может быть любая функция х(0), аргумент которой «сконструирован» в виде (4.26), а Гг скорость с = — .
Убедимся в справедливости этого утверждения. Для этого вычисР1 лим вторые производные в соответствии с правилами дифференцирования функции со х сложным аргументом 9 = г+ —; сО а. свао Ь а. ЬаО й ( дг оо дг ао дх ао дх оо~ с ) ( .39) д'х г("х д х г("х ( 1 ~ аГз доз ахз без ~ св ) Подставляя вторые производные из (4.31) в (4.29), приходим к выводу, что при гг св = — уравнение (4.29) тождественно удовлетворяется, т.е. функция я(9) действиР1 тельно является его решением. Волновое уравнение является одним из фундаментальных уравнений. В разных областях физики это уравнение получается как результат применения соответствующих законов.
описывающих поведение систем различной природы (механических, электромагнитных и др.). В общем случае оио описывает распространение волн в трехмерном пространстве и имеет более сложный вид: Лекция 4 Отражение волны иа конце шнура. Мы уже упоминали в начале этой лекции, что волна, достигнув конца шнура, отразится. Характер этого отражения зависит от условий закрепления конца шнура (граничных условий). Рассмотрим вначале более подробно процесс отражения импульса от зак- репленного конца шнура. На рис. 4.9 показаны последовательные стадии отражения импульса треугольной формы„где пунктиром изображены «падающий» и «отраженный» импульсы. Если длительность импульса равна т„„то его протяженность вдоль струны равнасат„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
