Главная » Просмотр файлов » В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны

В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 14

Файл №1111878 В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны) 14 страницаВ.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878) страница 142019-05-06СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Поэтому вместо (4.16) следует записать уравнение волны в более усложненном виде; з(х, 1) = зв (х,1) з(п1шв1 — бех -~ <Рв(х, 1)]. (4.17) Здесь амплитУда зв(х, г) и фаза <Рв(х„1) ЯвлЯютсЯ медленно менЯющимисЯ фУнкциями времени на некотором масштабе времени т (сравните с формулой (3.19)). Естественно„что такая волна представляет собой группу гармонических волн, частоты которых располагаются вблизи основной частоты юв в пределах интервала Лоэ = 2к! г . Каждая из волн группы в среде с дисперсией имеет собственную фазовую скорость.

В среде с нормальной дисперсией волны большей частоты будут двигаться медленнее, чем волны меньшей частоты. Возникает естественный вопрос: что является скоростью Лекг4ия 4 з(х г0) Рис. 4.6. группы волн, н если такая скорость существует„то как ее вычислить? Какой физический смысл имеет эта скорость и в чем ее отличие от фазовой скорости? Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим для простоты группу из двух волн с одинаковыми амплитудами яе и с близкими частотами со! и аг, бегущих в положив! еюг тельном направлении оси х.

Будем считать, что Ла = аг — в, << ае = 2 . С такой ситуацией мы уже встречались при анализе биений двух связанных осцилляторов. Зададим дисперсионные свойства среды дисперснонным соотношением го = а(6) . С его помощью вычислим значения 6! и йг двух волновых чисел, соответствующих частотам а, и аг . Тогда уравнение группы волн примет внд: (Лв Л~ з(хд) =хаял(го г — с!х) +хе яп(вг! — Бгх) = 2зо сов — г — — х яп(аег — (ох). (4.18) охм во с= — =— ":о и совпадает с фазовой скоростью волны с частотой ве. Амплитуда квазигармонической волны (4.18) определяется как (4.19) (Лв Л( яо(х, г) = 2за соз — г — — х 2 (4.20) и ее распределение на рнс. 4.6 изображено пунктиром в виде медленно меняющеися вдоль х огибающей волны основной частоты ве.

Точка К на вершине этой огибающей будет двигаться со скоростью, отличающейся от с. Действительно, для координаты хк этой точки, как это следует нз (4.20), можем записать условие Ла Лр — г — — х„= соля. 2 2 (4.21) За время бг она сместится на расстояние дхк, которое находится из равенства: — 61- — б, =О. Жо Ж 2 2 (4.22) 1!~г Здесь Лк = рг — 6! Бе = 2 На рис. 4.6 изображена группа из двух волн в некоторый фиксированный момент времени ге.

Выделим две точки: М и К. Первая из них отвечает фиксированному значению фазы !рм = вег — Бехм, при которой яп !рм = 1. Очевидно, что скорость этой точки, определяемая из условия д!рм = вебг — йодхм = О, равна Колебания и волны 70 Следовательно, скорость движения вершины огибающей будет равна (4.23) й Ах Эта скорость характеризует движение группы волн и называется групповой скоростью. Ее смысл станет еще более понятным, если в пределах интервала Лго в группе будут нахо- диться волны с близко расположенными частотами„как, например, изображено на рис.

4.7а. Сама группа имеет вид одного импуль- а) з(х са длительностью т„, распространяющегося вдоль оси х (рис, 4.7б). Импульс будет двигаться с групповой скоростью и =доз!й., На дис- и — — и т„— персионной кривой (рис.4.7в) эта скорость равна угловому коэффициенту касательной прямой в точке А. «Синусоида» внутри импульса будет его обгонять и двигаться с фазовой скоростью с = оза П в . Численно эта скорость будет равна угловому коэффициенту отрезка ОА.

В среде без дисперсии дисперсионная кривая является прямойлинией а=с', Поэтому О в) Рис. 4,7. на малых расстояниях, поэтому говорить о распространении импульса как целого с групповой скоростью и некорректно. Дисперсиониое уширение импульсов негативно сказывается, например, на скорости передачи информации (количество бит в единицу времени) посредством коротких световых импульсов, бегущих по волоконно-оптическим линиям связи, длина которых достигает нескольких тысяч километров.

Два следующих друг за другом импульса могут расшириться настолько, что сольются в один (станут неразличимыми). Естественно, что приемник, установленный в конце линии, «воспримет» два импульса как один, и часть передаваемой информации будет утеряна. (4.24) Лк т.е. фазовая и групповая скорости совпадают. В среде с нормальной дисперсией, как это видно из рис. 4.7в, и < с. В среде с аномальной дисперсией кривая ю = гв(() должна загибаться вверх и„формально, и > с. Однако обычно эта зависимость настолько нелинейна, что понятие групповой скорости теряет смысл. Действительно, когда импульс, изображенный парис. 4.7б, пройдет очень большое расстояние в диспергирующей среде. то форма его исказится„и он растянется в пространстве. В среде с сильной аномальной дисперсией это искажение происходит уже Лекция 4 71 Волновое уравнение.

Уравнение бегущей гармонической волны в однородном шнуре, где дисперсия отсутствует (ш = сох), по аналогии с (4.1б) имеет вид: з(хд) г яо з!п(огг+ 1х) = хо згп ~+— о (4.25) Знак «-» соответствует волне, бегущей в положительном направлении по оси Ох, а знак х(хд) е к ГТ.--. х ) о (4.26) где з(0) — произвольная функция своего аргумента 0 = г + х/со.

Покажем, что закон движения шнура (4.2б) и, конечно, его частный случай (4.25) ЯвлЯютсЯ РешениЯми некотоРого УРавне- з(хро) ния движения, которое называется всиновымуравне!!иеи. Это волновое уравнение можнополучитьпредельнымпереходом из ! .!~ л! ! !.!! уравнения (3.47). ! ! ! ! На рис.4.8 показан фрагмент колеблющегося шнура. На этом фрагменте изображены три отрезка шнура дли- Рис. 4.8. ной Ах и массой ди каждый. Смещения этих отрезков в некоторый произвольный мо- МЕНТ ВРЕМЕНИ раВНЫ З„! с К(Х вЂ” Атд), ХК = а(Х, ~). З„«! ч я(Х О- АХ, Г). УСКОРЕНИЕ цЕНтд а(х,~) рального отрезка У = ' . Оно записано в виде второй частной производной фунд г кции з(хд) по времени. Учтем далее, что 0 х — !ах х хч-Ах х — х(х+ Ах,1) — з(х,1) дх л~ « -о а о о Ьх ах Й' х«. г (4.27а) х„— х„, .

х(х. с) — я(х — Ат. 1) дх 1пп ! " = 1пп - о а о о Ах ах. г ах Обратим внимание, что сила à — является проекцией на направление ах« смещения х силы Г, приложенной к центральному элементу справа (в точке х -ь дх ! 2 ). дя Аналогично, слева (в точке х — дх ! 2 ) проекция этой силы равна — Р— .

Равноах ~-ь!г действующая этих сил„очевидно, определяется приращением первой производной на длине бесконечно малого элемента !)х: а'. Р(д, а. а~' Ь ~ах „, „д. „ (4.28) «-ьв — в отрицательном. В более общем случае распространения произвольного импульса (группы волн), двигающегося с той же скоростью со, уравнение волны можно записать в виде: Колебания и волны 72 Если теперь учесть, что огл = р,дх (р, — плотность единицы длины, или линейная плотность шнура), то (4.28) примет вид волнового уравнения: (4,29) а!' р ах'' Это волновое уравнение является математическим выражением второго закона Ньютона, в котором ускорение единицы длины шнура и действующая на него сила запи- (4.31) (4.32) Под з может подразумеваться любая колеблющаяся величина: смешение, ско- рость, плотность, давление, электрический ток, электрическое напряжение, напряженность электрического и индукция магнитного полей и др.

Важно подчеркнуть, что если нам удается получить волновое уравнение (вывести его) для какого-либо процесса„то стоящий перед вторыми пространственными про- изводными множитель сразу определяет квадрат скорости распространения волны в среде без дисперсии. Этим приемом часто пользукпся для вычисления скорости распространения волн различной природы. Ниже мы тоже так поступим, когда будем рассматривать волны в твердых телах„жидкостях и газах. саны в виде вторых частных производных смешения х по времени и координате соответственно, С математической точки зрения оно является линейным дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка. Его решение хорошо известно: им может быть любая функция х(0), аргумент которой «сконструирован» в виде (4.26), а Гг скорость с = — .

Убедимся в справедливости этого утверждения. Для этого вычисР1 лим вторые производные в соответствии с правилами дифференцирования функции со х сложным аргументом 9 = г+ —; сО а. свао Ь а. ЬаО й ( дг оо дг ао дх ао дх оо~ с ) ( .39) д'х г("х д х г("х ( 1 ~ аГз доз ахз без ~ св ) Подставляя вторые производные из (4.31) в (4.29), приходим к выводу, что при гг св = — уравнение (4.29) тождественно удовлетворяется, т.е. функция я(9) действиР1 тельно является его решением. Волновое уравнение является одним из фундаментальных уравнений. В разных областях физики это уравнение получается как результат применения соответствующих законов.

описывающих поведение систем различной природы (механических, электромагнитных и др.). В общем случае оио описывает распространение волн в трехмерном пространстве и имеет более сложный вид: Лекция 4 Отражение волны иа конце шнура. Мы уже упоминали в начале этой лекции, что волна, достигнув конца шнура, отразится. Характер этого отражения зависит от условий закрепления конца шнура (граничных условий). Рассмотрим вначале более подробно процесс отражения импульса от зак- репленного конца шнура. На рис. 4.9 показаны последовательные стадии отражения импульса треугольной формы„где пунктиром изображены «падающий» и «отраженный» импульсы. Если длительность импульса равна т„„то его протяженность вдоль струны равнасат„.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
58,1 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее