Главная » Просмотр файлов » В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны

В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 13

Файл №1111878 В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны) 13 страницаВ.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878) страница 132019-05-06СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Поскольку через время, равное периоду биений, колебания группы частиц в центре шнура восстановятся, то очевилно, что период биений равен упоминавшемуся несколько ранее времени Лг = 2йс. Определим скорость с, исходя из представления о биениях, как суперпозиции нормальных колебашш. Для этого вначале перепишем дисперсионное соотношение (3.55) в виде йа .

1(рл ) ш = 2ьлз1п г = 2ьгз1п— 2 2~Мч-1~ (4. 1) Колебания и волны 64 0 ш =Йа1 = р; р=1,П,Ш, ... Гак (4.2) й.1 Здесь использовано приближение гйпх=х при х «1. Эта зависимость оз (1 ) Р Р изображена на рис. 4.2. Обратим внимание„что низшие частоты располагаются эквидистаитно; Ага = сол — ш, = оэш — сон — — ... Поэтому период биений (см. также формулу (3. 14)) полу- чается равным; Ж= 2к 2(М е 1) Лш 12 (4.3) Если учесть, что длина шнура 1 = а(М+ 1), то скорость движения импульса в среде без дисперсии равна: (4.4) Если мы будем увеличивать число масс Хна шнуре фиксированной длины„тем самым уменьшая расстояние а, то мы сделаем предельный переход к непрерывному рас- пределению масс — т.е.

к однородному весомому шнуру, при этом (4.5) р, =и1а является массой единицы длины однородного шнура (иногда употребляют термин «плотность единицы длины»). Поэтому окончательно для скорости распространения импульса произвольной формы по шнуру имеем =К (4.6) И Строго говоря. при наличии многих частот в спектре колебаний, даваемых формулой (4.1), биения %~ не будут периодическими — начальная конфигурация не повторяется.

Визуально это будет проявляться в искажении формы бегущих импульсов, если длина импульса У„> а (импульс «накрывает» мало частиц)„а И, шнур достаточно длинный. Говорят, что искажение импульса связано с дисперсией «среды» (шнура с массами), по которой импульс распространяется. Это искажение будет ничтожным, если и ю Ран 4.2, 1„» а (группа состоит из большого числа колеблюшихся масс). Так обычно и происходит при распространении возмущений в твердом теле, где а -10 ю м (расстояние между узлами кристаллической решетки, около которых колеблются атомы).

Если 8 „» а, то в спектре колебаний доминируют низшие моды, которые характерит~югся волновыми числами 1р, где р = 1, П, 1П, ... << М. Частоты этих мод получаются нз формулы (4,1): Лекция 4 65 Например, в случае тонкого резинового шланга с линейной плотностью р, — 0,1 кг!м, натянутого с силой à — 10 Н, скорость движения импульса получается равной са -30 м/с. Такая сравнительно небольшая величина скорости позволяет легко наблюдать распространение и отражение импульса. Итак, подведем некоторые итоги. 1. Если пренебречь периодической структурой среды, то скорость св распространения импульса ие зависит от его формы, а сам импульс при распространении не искажается (нет дисперсии).

2. Если ось х направить вдоль шнура и задать начальное возмущение (в момент г = О) в виде з(х), то с течением времени возмущение шнура будет иметь вид: 1 1 з(х сог) ~ ~(х" сор) . (4.7) 2 2 Первое слагаемое описывает возмущение, бегущее со скоростью са в положительном направлении оси х, указанном на рис. 4.1, а второе соответствуег импульсу, рас- пространяющемуся в противоположном направлении. 3. У концов невесомого шнура с массами оба импульса отражаются.

Отраженный импульс имеет противоположную полярность (направление смещения з) по сравнению с падающим. Аналогичные граничные условия реализу- сО ются для сплошного массивного шнура с закрепРпс. 4.3. ленными концами (рис. 4.3). 4. В области перекрытия бегущих импульсов образуется колебание, называемое стоячей волной. Так мы приходим к понятиям бегущих и сгсячих волн, при этом стоячая волна может рассматриваться как суперпозиция волн, бегущих в пропвоположных направлениях. Возбуждение волн. Рассмотрим колебания невесомого шнура с грузами, правый конец которого закреплен, а левый под действием внешней силы в момент времени г = 0 начинает смещаться по гармоническому закону: () о (4.8) Под действием этой силы грузы, связанные друг с другом отрезками натянутого шнура, рано или поздно начнут совершать вынужденные гармонические колебания с частотой ць Естественно, что систему грузов (по аналогии с системой с двумя грузами) можно заметно раскачать лишь в случае резонанса, когда частота ш совпадает с одной из нормальных частот шр .

Вначале придут в движение грузы вблизи левого подвижного конца шнура„а с течением времени в колебания будут вовлекаться все новые грузы. Такие колебания представляют собой волновой процесс (волну), распространяющийся «слева — направо» с некоторой скоростью ср.

На рис. 4.4 изображены положения колеблющихся масс в некоторый момент времени 1а. Поскольку грузы колеблются «попе- Колебания и волны х,(х„,г, Рис, 4.4. рек» направления распространения (оси Ох), то волна называется поперечной. Эта волна добежит до правого закрепленного конца шнура и отразится. После этого будут существовать две волны: исходная бегущая (иногда ее называют падающей волной) и отраженная волна, которая бежит навстречу падающей. Спустя время йа = 2И с отраженная волнадостигнег левопэ конца, снова отразится, и «сформируется» мода колебаний.

Конфигурация этой моды задается волновым числом ( (см. соотношение (4.1)). Рассмотрим подробнее падающую волну с этим й . Пространственный период Х изображенный на рис. 4.4 как минимальное расстояние между массами, колеблющимися в фазе, называется длиной волны. Длина волны связана с волновьпи числом 1 соотношением: (р = 2х/Х„.

Если силы вязкого трения, приложенные к каждому из грузов, малы, то амплитуды колебаний всех грузов будут одинаковы и равны ха . Теперь мы можем записать уравнение бегущей вазны — уравнение, описывающее смещение любой из масс в произвольный момент времени. Для частоты ш, волнового числа я и амплитуды вв оно имеетвид; в (х„,г) =вагап(ш г — 1 х„); х„= а; 2а; ...; на; ...; Ма. Выражение у= в ~ — х х„называется фазой волны. Уравнение(4.10) отражает тот факт, что все массы колеблются с одинаковой частотой ш, имеют одинаковую амплитуду вв, однако эти колебания различаются по фазе <р . Определим теперь скоросп ар движения этой волны. Для этого проследим за движением гребня волны, вершина которою в неююрый момент времени находится в точке М. Пуси за время Лг этот гребень сместится на расспжние Ах„» а .

Поскольку на вершине гребня массы имеют максимальное положительное смещение, то фаза их колебаний поспжнна и равна шрг — 6рх„=- . х р р р (4.11) (4.10) Поэтому ш,,ра — 1: Лх„=0 (4.12) Отсюда скорость ср получается равной ах„шр (4.13) р Скорость с называется фазовой скоростью гармонической волны с частотой ш = 2лч . Проанализируем зависимость этой скорости от волнового числа, пользуясь дисперсионным соотношением (4.1). Для этого перепишем его с учетом (4.4) в виде: Лекция 4 с, к12 ~(а 2 Рнс.

4.5а. Рас. 4.5б, б а гйп ю =с( (4.14) р= ор' Р 2 График зависимости (4.14) называется дисперсионной кривой и изображен на рис. 4.5а, На этой кривой точками отмечены значения частот ю и волновых чисел 1.р, Пунктиром изображена прямая оз = с ( . Она получается из (4.14) предельным переходом при а — + О (непрерывная среда). Из формулы (4.14) или из рис.

4.5а можно сделать ряд принципиально важных выводов. 1) Из нелинейной зависимости ю = го(б ), описываемой формулой(4.14), следует, что фазовая скорость гармонической волны ср — — юр Ир зависит от 6 (или от ю ): р а з)п (4.15) р — о' 2 Зависимость (4.15) изображена на рис. 4.5б. Это явление носит название дисперсии среды по отношению к распространяющейся в ней волне. Эквивалентным является выражение «дисперсия волны в среде». Если фазовая скорость волны не зависит от 1, как, например, в случае непрерывной Р' среды, то говорят, что дисперсия отсутствует. 2) Для маленьких волновых чисел (й а « 1, или Х~ » а) дисперсия мала.

Скорость таких «длинных волн» с = со, н среда может считаться сплошной. р 3) С увеличением волнового числа б (а значит и ю ) скорость г„, как это р следует из (4.15), убывает. Такое поведение скорости называется нормальной дисперсией. Следует отметить, что в оптике, помимо этой, реализуется н другая ситуация, когда фазовая скорость света в некотором диапазоне частот может возрастать с увеличением частоты.

В этом случае дисперсия называется аномальной. 4) Дисперсионная кривая заканчивается, когда волновое число и частота достигают максимальных значений бк и юн. Онн получаются из (414) и (41) при К » 1: к озя — — 2Й. а Колебания и волны 68 Это означает, что волны с частотой ю > юл в такой среде распространяться не могут Действительно, при частоте ш= шл длина волны Хк = 2к/(л = 2ш Волны с меньшей длиной волны не могут существовать, поскольку на длине распространяющейся волны должно находиться не меньше двух колеблющихся грузов. Заметим, что в некоторых случаях, например, при распространении электро- магнитных волн в твердом теле и в плазме, кривая дисперсии может начинаться с некоторой точки на оси частот ш(0) .

В таких средах могут распространяться электромагнитные волны только с частотами ш, лежащими внутри интервала ю(0) < ю < сок. В качестве примера укажем. что для кристаллов величина Руа — 15 Н!м (г— упругая сила, величина которой определяется межатомным взаимодействием). Если принятьмассуионаравной и-6 10 кг,то юл — — 2~ — -3 1О с . Этачастота,каки — 26 1г 13 -1 частоты колебаний молекул СО и Н О, лежит в инфракрасной области электромагнитного спектра.

Поэтому при распространении ИК вЂ” излучения в кристаллах ионы могут совершать резонансные колебания. В этом частотном оптическом диапазоне может су- шествовать сильная дисперсия света. Отметим, что при распространении волн в протяженных средах проблемы «настройки» частоты ш внешнего воздействия, порождающего волну, на частоту ю одной из мод среды не существует. Любое воздействие внешней силы, даже сколь угодно близкой к гармонической„на самом деле всегда будет квазигармоническим, характеризуемым узким интервалом частот око « ю.

С другой стороны, для протяженной среды к частоте ю будут близки частоты со мод с большими номерами р (р » 1) . Разность частот двух соседних мод 6юр —— гор„— шр, как это легко видеть из рисунка 4.5. будет настолько малой, что 5ю «зщ Следовательно„для любой частоты ю внешнего воз- Р действия, прикладываемого к границе среды, по ней побежит волна, которую в ряде случаев можно приближенно считать гармонической; з(х Г) = зе з1п(ш! — Ь). (4.16) Группа волн и ее скорость. Как и внешнее воздействие, волна, возникающая в среде, будет, строго говоря, квазигармонической, т. к. 5ю «Лю.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
58,1 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее