В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Поскольку через время, равное периоду биений, колебания группы частиц в центре шнура восстановятся, то очевилно, что период биений равен упоминавшемуся несколько ранее времени Лг = 2йс. Определим скорость с, исходя из представления о биениях, как суперпозиции нормальных колебашш. Для этого вначале перепишем дисперсионное соотношение (3.55) в виде йа .
1(рл ) ш = 2ьлз1п г = 2ьгз1п— 2 2~Мч-1~ (4. 1) Колебания и волны 64 0 ш =Йа1 = р; р=1,П,Ш, ... Гак (4.2) й.1 Здесь использовано приближение гйпх=х при х «1. Эта зависимость оз (1 ) Р Р изображена на рис. 4.2. Обратим внимание„что низшие частоты располагаются эквидистаитно; Ага = сол — ш, = оэш — сон — — ... Поэтому период биений (см. также формулу (3. 14)) полу- чается равным; Ж= 2к 2(М е 1) Лш 12 (4.3) Если учесть, что длина шнура 1 = а(М+ 1), то скорость движения импульса в среде без дисперсии равна: (4.4) Если мы будем увеличивать число масс Хна шнуре фиксированной длины„тем самым уменьшая расстояние а, то мы сделаем предельный переход к непрерывному рас- пределению масс — т.е.
к однородному весомому шнуру, при этом (4.5) р, =и1а является массой единицы длины однородного шнура (иногда употребляют термин «плотность единицы длины»). Поэтому окончательно для скорости распространения импульса произвольной формы по шнуру имеем =К (4.6) И Строго говоря. при наличии многих частот в спектре колебаний, даваемых формулой (4.1), биения %~ не будут периодическими — начальная конфигурация не повторяется.
Визуально это будет проявляться в искажении формы бегущих импульсов, если длина импульса У„> а (импульс «накрывает» мало частиц)„а И, шнур достаточно длинный. Говорят, что искажение импульса связано с дисперсией «среды» (шнура с массами), по которой импульс распространяется. Это искажение будет ничтожным, если и ю Ран 4.2, 1„» а (группа состоит из большого числа колеблюшихся масс). Так обычно и происходит при распространении возмущений в твердом теле, где а -10 ю м (расстояние между узлами кристаллической решетки, около которых колеблются атомы).
Если 8 „» а, то в спектре колебаний доминируют низшие моды, которые характерит~югся волновыми числами 1р, где р = 1, П, 1П, ... << М. Частоты этих мод получаются нз формулы (4,1): Лекция 4 65 Например, в случае тонкого резинового шланга с линейной плотностью р, — 0,1 кг!м, натянутого с силой à — 10 Н, скорость движения импульса получается равной са -30 м/с. Такая сравнительно небольшая величина скорости позволяет легко наблюдать распространение и отражение импульса. Итак, подведем некоторые итоги. 1. Если пренебречь периодической структурой среды, то скорость св распространения импульса ие зависит от его формы, а сам импульс при распространении не искажается (нет дисперсии).
2. Если ось х направить вдоль шнура и задать начальное возмущение (в момент г = О) в виде з(х), то с течением времени возмущение шнура будет иметь вид: 1 1 з(х сог) ~ ~(х" сор) . (4.7) 2 2 Первое слагаемое описывает возмущение, бегущее со скоростью са в положительном направлении оси х, указанном на рис. 4.1, а второе соответствуег импульсу, рас- пространяющемуся в противоположном направлении. 3. У концов невесомого шнура с массами оба импульса отражаются.
Отраженный импульс имеет противоположную полярность (направление смещения з) по сравнению с падающим. Аналогичные граничные условия реализу- сО ются для сплошного массивного шнура с закрепРпс. 4.3. ленными концами (рис. 4.3). 4. В области перекрытия бегущих импульсов образуется колебание, называемое стоячей волной. Так мы приходим к понятиям бегущих и сгсячих волн, при этом стоячая волна может рассматриваться как суперпозиция волн, бегущих в пропвоположных направлениях. Возбуждение волн. Рассмотрим колебания невесомого шнура с грузами, правый конец которого закреплен, а левый под действием внешней силы в момент времени г = 0 начинает смещаться по гармоническому закону: () о (4.8) Под действием этой силы грузы, связанные друг с другом отрезками натянутого шнура, рано или поздно начнут совершать вынужденные гармонические колебания с частотой ць Естественно, что систему грузов (по аналогии с системой с двумя грузами) можно заметно раскачать лишь в случае резонанса, когда частота ш совпадает с одной из нормальных частот шр .
Вначале придут в движение грузы вблизи левого подвижного конца шнура„а с течением времени в колебания будут вовлекаться все новые грузы. Такие колебания представляют собой волновой процесс (волну), распространяющийся «слева — направо» с некоторой скоростью ср.
На рис. 4.4 изображены положения колеблющихся масс в некоторый момент времени 1а. Поскольку грузы колеблются «попе- Колебания и волны х,(х„,г, Рис, 4.4. рек» направления распространения (оси Ох), то волна называется поперечной. Эта волна добежит до правого закрепленного конца шнура и отразится. После этого будут существовать две волны: исходная бегущая (иногда ее называют падающей волной) и отраженная волна, которая бежит навстречу падающей. Спустя время йа = 2И с отраженная волнадостигнег левопэ конца, снова отразится, и «сформируется» мода колебаний.
Конфигурация этой моды задается волновым числом ( (см. соотношение (4.1)). Рассмотрим подробнее падающую волну с этим й . Пространственный период Х изображенный на рис. 4.4 как минимальное расстояние между массами, колеблющимися в фазе, называется длиной волны. Длина волны связана с волновьпи числом 1 соотношением: (р = 2х/Х„.
Если силы вязкого трения, приложенные к каждому из грузов, малы, то амплитуды колебаний всех грузов будут одинаковы и равны ха . Теперь мы можем записать уравнение бегущей вазны — уравнение, описывающее смещение любой из масс в произвольный момент времени. Для частоты ш, волнового числа я и амплитуды вв оно имеетвид; в (х„,г) =вагап(ш г — 1 х„); х„= а; 2а; ...; на; ...; Ма. Выражение у= в ~ — х х„называется фазой волны. Уравнение(4.10) отражает тот факт, что все массы колеблются с одинаковой частотой ш, имеют одинаковую амплитуду вв, однако эти колебания различаются по фазе <р . Определим теперь скоросп ар движения этой волны. Для этого проследим за движением гребня волны, вершина которою в неююрый момент времени находится в точке М. Пуси за время Лг этот гребень сместится на расспжние Ах„» а .
Поскольку на вершине гребня массы имеют максимальное положительное смещение, то фаза их колебаний поспжнна и равна шрг — 6рх„=- . х р р р (4.11) (4.10) Поэтому ш,,ра — 1: Лх„=0 (4.12) Отсюда скорость ср получается равной ах„шр (4.13) р Скорость с называется фазовой скоростью гармонической волны с частотой ш = 2лч . Проанализируем зависимость этой скорости от волнового числа, пользуясь дисперсионным соотношением (4.1). Для этого перепишем его с учетом (4.4) в виде: Лекция 4 с, к12 ~(а 2 Рнс.
4.5а. Рас. 4.5б, б а гйп ю =с( (4.14) р= ор' Р 2 График зависимости (4.14) называется дисперсионной кривой и изображен на рис. 4.5а, На этой кривой точками отмечены значения частот ю и волновых чисел 1.р, Пунктиром изображена прямая оз = с ( . Она получается из (4.14) предельным переходом при а — + О (непрерывная среда). Из формулы (4.14) или из рис.
4.5а можно сделать ряд принципиально важных выводов. 1) Из нелинейной зависимости ю = го(б ), описываемой формулой(4.14), следует, что фазовая скорость гармонической волны ср — — юр Ир зависит от 6 (или от ю ): р а з)п (4.15) р — о' 2 Зависимость (4.15) изображена на рис. 4.5б. Это явление носит название дисперсии среды по отношению к распространяющейся в ней волне. Эквивалентным является выражение «дисперсия волны в среде». Если фазовая скорость волны не зависит от 1, как, например, в случае непрерывной Р' среды, то говорят, что дисперсия отсутствует. 2) Для маленьких волновых чисел (й а « 1, или Х~ » а) дисперсия мала.
Скорость таких «длинных волн» с = со, н среда может считаться сплошной. р 3) С увеличением волнового числа б (а значит и ю ) скорость г„, как это р следует из (4.15), убывает. Такое поведение скорости называется нормальной дисперсией. Следует отметить, что в оптике, помимо этой, реализуется н другая ситуация, когда фазовая скорость света в некотором диапазоне частот может возрастать с увеличением частоты.
В этом случае дисперсия называется аномальной. 4) Дисперсионная кривая заканчивается, когда волновое число и частота достигают максимальных значений бк и юн. Онн получаются из (414) и (41) при К » 1: к озя — — 2Й. а Колебания и волны 68 Это означает, что волны с частотой ю > юл в такой среде распространяться не могут Действительно, при частоте ш= шл длина волны Хк = 2к/(л = 2ш Волны с меньшей длиной волны не могут существовать, поскольку на длине распространяющейся волны должно находиться не меньше двух колеблющихся грузов. Заметим, что в некоторых случаях, например, при распространении электро- магнитных волн в твердом теле и в плазме, кривая дисперсии может начинаться с некоторой точки на оси частот ш(0) .
В таких средах могут распространяться электромагнитные волны только с частотами ш, лежащими внутри интервала ю(0) < ю < сок. В качестве примера укажем. что для кристаллов величина Руа — 15 Н!м (г— упругая сила, величина которой определяется межатомным взаимодействием). Если принятьмассуионаравной и-6 10 кг,то юл — — 2~ — -3 1О с . Этачастота,каки — 26 1г 13 -1 частоты колебаний молекул СО и Н О, лежит в инфракрасной области электромагнитного спектра.
Поэтому при распространении ИК вЂ” излучения в кристаллах ионы могут совершать резонансные колебания. В этом частотном оптическом диапазоне может су- шествовать сильная дисперсия света. Отметим, что при распространении волн в протяженных средах проблемы «настройки» частоты ш внешнего воздействия, порождающего волну, на частоту ю одной из мод среды не существует. Любое воздействие внешней силы, даже сколь угодно близкой к гармонической„на самом деле всегда будет квазигармоническим, характеризуемым узким интервалом частот око « ю.
С другой стороны, для протяженной среды к частоте ю будут близки частоты со мод с большими номерами р (р » 1) . Разность частот двух соседних мод 6юр —— гор„— шр, как это легко видеть из рисунка 4.5. будет настолько малой, что 5ю «зщ Следовательно„для любой частоты ю внешнего воз- Р действия, прикладываемого к границе среды, по ней побежит волна, которую в ряде случаев можно приближенно считать гармонической; з(х Г) = зе з1п(ш! — Ь). (4.16) Группа волн и ее скорость. Как и внешнее воздействие, волна, возникающая в среде, будет, строго говоря, квазигармонической, т. к. 5ю «Лю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
