В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 10
Текст из файла (страница 10)
КоО Ю лебания установятся при.4 = д (точка К на граРис. 2,13. фике). Амплитуда установившихся колебаний (2.71) (2.72) оу по определится из равенства 1 оу т оу 1 а' ш' 31 а', ш' 2 8 (2.73) Отсюда (2.74) Заметим, что теперь мы можем легко учесть силы вязкого трения, для чего в правую часть уравнения (2 68) следует добавить член — Га.
Это приведет к тому, что к, в (2.74) будет уменьшен на величину Г. Поэтому (2.74) изменится: 2 ),-Г оует (2.75) Из последнего выражения следует, что при Г>)г, колебания не могут самопроизвольно начаться. Колебания и волны Автоколебательные системы находят широчайшее применение в технике. Так, например, духовые и смычковые инструменты, органные трубы, генераторы электромагнитного излучения в приемно-передающих линиях связи, оптические квантовые генераторы (лазеры) н др. представляют примеры автоколебательных систем.
Однако, автоколебания могут играть и негативную роль, начиная от безобидных колебаний деталей кранов водопроводных систем, «ревущнх» при достаточном напоре воды, до опасных колебаний крыльев самолетов, получивших название вфлаттер». В ноябре 1940 г. подвесной мост через реку Такома в США разрушился из-за крутнльных автоколебаний, возникших под действием дувшего вдоль реки ветра. 47 ЛЕКЦИЯ 3 Свободные незатухающие качебания в системах с двумя степенялт свободы. Нормальные колебания (моды/, Парч/иальные и нормальные частоты. Биения. Понятие спектра колебаний. Методика анализа колебаний двух связанных осч/шотторов.
Затухание колебаний и диссипация энергии. Вынужденные колебания. Резонанс. Колебания систем со многими степенями свободы. Дисперсионное соотношение.. Наблюдая колебания массы т, подвешенной на легкой пружине жесткости ки нельзя не обратить внимание на то, что, наряду с вертикальными колебаниями груза, возникают и так называемые маятниковые колебания (из стороны в сторону) — см. рис.
3.1. Наиболее сильными эгн маятниковые колебания будут тогда„когда частота вертикальных колебаний /'Як, / т будет равна удвоенной частоте маятниковых колебаний ч/К/а (а — длина растяну- /с той пружины при неподвижном грузе). Такой результат легко понять, бь если рассматривать маятниковые колебания как резонансные параметрические колебания, при этом параметр маятнша — длина пружины а — меняется при верчикальных колебаниях на величину 4-Ла (см. предыдучцую лекцию). В течение некоторого времени маятника- ~а 1 ... ~аФ вые колебания могут усиливаться за счет уменьшения энергии вертикальных колебаний.
Затем процесс пойдет в обратном направлении: Рис, 3,1. маятниковые колебания начнут ослабевать„и возвращая» энергию усиливаюпчимся вертикальным колебаниям. Следовательно, вертикальные колебания не будут гармоническими, что связано с наличием маятниковых колебаний, соответствующих возбуждению второй степени свободы. При определенных условиях могут возникать и крутильные колебания груза вокруг вертикальной оси пружины. Опыт показывает, что наиболее сильными эти колебания будут в том случае, когда их частота /кз / / (к — коэффициент жесткости пружины при ее скручивании, рассмотренный в лекции по деформации твердого тела, ./ — момент инерции тела относительно вертикальной оси) будет примерно в два раза меньше частоты верппильных колебаний. В общем случае в этой системе могут происходить четыре типа колебаний, соответствующих четырем степеням свободы: одно вертикаль- ное, два маятниковых в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях и одно крутильное. Таким образом, перед нами возникает задача изучения основных закономерностей колебаний в системах с двумя, тремя и более степенями свободы, затем можно рассмотреть и колебания сплошной среды, как системы с бесконечно большим числом степеней свободы.
Свободные незатухающие колебания в системах с двумя степенями свободы. На рис. 3.2 изображены три различные колебательные системы с двумя степенями свободы. Первая из них (а) — это два различных пружинных маятника, связанные пружиной с жестко- Колебания и волны !о! ш! т~ тит ~2 а) О Я! Рис. 3.2. рисунке указано стрелками. Опыт показывает, что при произвольном способе возбуждения колебания не будут гармоническими: амплитуда колебаний каходой из масс будет периодически меняться во времени. Однако можно создать такие начальные условия, при которых каждый груз будет совершать гармонические колебания с одной и той же частотой ек Ят(т) = зо! з!тт(ок+ тр); (3.1) «з (т) = зот зтп(шт т- тр). Частота этих колебаний со определяется свойствами системы. Отношение 6 яоя кот (3.2) также определяется параметрами системы.
Эта безразмерная алгебраическая величина с называется коэффициентом распределения амплитуд при гармоническом колебании. Отметим, что з,, и лот могут иметь любой знак. Если с > О, то смещения обеих масс всегда происходят в одну сторону (синфазные колебания), а при с < Π— в противоположные стороны (противофазные колебания). Гармонические колебания (3.1) называются нормальными колебаниями, или модами, а частота ш называется нормальной частотой.
Таким образом, мода характеризуется двумя параметрами: частотой ш и коэффициентом с, определяющим «конфигурацию» моды. Практика показывает, что в системе с двумя степенями свободы могут существовать сиифазные гармонические колебания с частотой шт и противофазные гармонические колебания с частотой шп > ш,. Следовательно, в системе могут быть возбуждены две моды: зт(т) = зо! з'п(штт+трт)' т т кт (т) = Лот зтп(ютт ! трт)т ,т т т т зт г яоз тзо! ~О (3.3) ! мода стью то'. Вторая (б) — два груза с массами и ! и т„закрепленные на натянутом некоторой силой Р невесомом резиновом шнуре.
Третья (в) — два связанных пружиной тГ различных маятника, каждый из которых состоит из груза, подвешенного на невесомом стержне. Колебания грузов в каждой из трех систем описываются двумя временными зависимостями их смещений зт(т) и зт(т). Положительное направление смещения з на Лекция 3 сложную систему, состоящую из двух парциальных систем. Эти парциальные системы, соответ/с' ствующие случаю (а) рнс. 3.2, показаны на рис. 3.3: каждая из этих парциальных систем имеет собственную частоту колебаний, которая Рис.
З.З. называется парцнальной частотой. Величины этих парциальных частот, соответственно, равны: (3.6) Совершенно очевидно, что частота ио! — это частота колебаний массы а! в системе двух связанных маятников, когда масса я!з неподвижна (заблокирована вторая степень свободы), Аналогично, с частотой ю! будет колебаться масса и! . когда неподвижна масса и! . Теперь перейдем к определению нормальных частот оз! и о!и . Вспомним, что квадрат частоты гармонических колебаний равен отношению возвращающей силы к смещению груза э и величине его массы и. Под- а) берем начальные смещения масс !а, и и!з такимобркюм„чп»быдла обеих масс эти отношения (а, следовательно, и частоты) были бы одинаковы.
Такой подбор легко О зо! ! О зоз зг ! б) угадывается для симметричной системы (т ! = тз = т, !с! = кз = /с), (рис. 3.4), у !опорой парциальные о Ю! Рис. 3.4. О зм хг и в) частоты совпадают: з! (!) = оо! Я!п(юп!»'Рп)' и и П мода эз (!) = хо! з!п(оэп!» (Ри)' и и (3.4) л и 6и =зог1зо! к О. Нетрудно теперь понять, что любое колебание связанной линейной системы с двумя степенями свободы (а именно такие системы мы будем далее рассматривать) может быть представлено в виде суперпозицни двух нормальных колебаний (3,3) и (3.4): з!(!) =з!(!)» з! (!) =хо! з»п(ю!!»»Р!)» зо! з"з(юи!» !Ри)! ! и 1 и и и; (3.5) кз(!) Яо(!)» Яз (!) Доз 3!п(щ!!» СР!)» юоз гйп(юи!» сри)' Не прибегая пока к детальному математическому исследованию, проанализируем поведение системы с двумя степенями свободы, пользуясь основными идеями„ развитыми в предыдущих лекциях. Представим /с' любую из систем, изображенных на рис.
3.2, как Колебания и волны 50 (3.7) смесппь в разные стороны на одни л паковые расстояния 002 = — хм (позиция в), то пружина /о удлинится на величину 2хщ . Поэтому л к правой массе будет приложена 0 01 о а) ~02 возвращающая сила, равная л ° л — ((гог + 2/1 Ъог), а на левую массу будет действовать в противо- в) 1 , оО! положном направлении сила — (~Ь0! +2/!хо!) . После отпускал ° л ния грузы будут совершать противофазные гармонические колебания со второй нормальной частотой оог 1 о 01 л 02 а Рис.
3.5. /! е 2/с' (3.9) Конфигурация второй моды характеризуется коэффициентом распределения с = — 1. и Если грузы, изображенные на рис. 3.5а, сместить на произвольные расстояния (например, в одну сторону на величины хм и лог, как это изображено на рис. 3.5б), то это эквивалентно суперпозиции двух типов начальных смещений: в одну сторону на одинаковые величины (позиция в) 1 1 ~01 ~02 (~01 '1 ~02), 2 (3.10) и в разные стороны (позиция г) на величины л п ~0! ~02 (~02 ~01) . 2 Поскольку колебательная система линейна, то синфазные колебания, возникающие после отпускания грузов в позиции (в), будут происходить независимо от присутствия (3.11) Если оба гРУза сместить впРаво на оДинаковые РасстоЯниЯ зм —— 002, то сРеДнЯЯ 1 1 пружина /г' (пружина связи) не будет деформирована (позиция б).
После отпускания пружина будет оставаться недеформированной. Поэтому каждый из грузов будет совершать гармонические колебания с одной и той же частотой Г 01, =,~, (3.8) которая и является первой нормальной частотой. Конфигурация этого сннфазного колебания (моды) задается коэффициентом распределения амплитуд сг = ~-1.
Если теперь обе массы /! /о Лекция 3 х (Г) = — созоЬГ-~ — сов апд зм, зм 2 2 (3. 12) х (1) = — созго,1- — созгопк зы зщ г ' г Производя суммирование тригонометрических функций в (3.12), получим: ,озп оз~, юп +аз~ . з,(~) ь кщ соз 1 соз 2 юп оз~ озл + га~ зз(1) в кщ ап ' Г соз 2 2 Временные зависимости (3.13) изображены на рис. 3.6. (3.13) Рис.
З.б. противофазных колебаний, возникающих при отпускании грузов в позиции (г). Смещения обоих грузов с течением времени будут описываться формулами (3. 5), в которых амплитуды определяются равенствами (3. 10) и (3.11), а начальные фазы ф, = <рп — — л ! 2 . Проанализируем более подробно колебания в системе, изображенной на рис, 3.5. Пусть мы сдвинули левую массу вправо на расстояние зщ „а правую массу оставили в несмещенном положении (зщ — — О) . После отпускаиия обоих грузов в системе возник- 1 з пут колебания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
