В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Так как )1 = тшсз, то (1.64) оконча- Лекция 1 Е(1 йЕт Рис. 1.15. При экспоненциальном законе убывания энергии со временем добротность Д оказывается постоянной величиной, которую, как и логарифмический декремент затухания 9, можно легко оценить по числу колебаний Ж = лМ= 31г', совершенных системой до их 0 полного прекращения (за время Зт амплитуда колебаний уменьшается в ез = 20 раз, то есть колебания практически полностью затухают). Следует отметить, что добротность не только характеризует затухание колебаний, но и является важной величиной, определяющей параметры вынужденных колебаний, осуществляемых под действием внешней периодической силы (см, далее).
Рассмотрим теперь случай 5 = оз, когда корни характеристического уравнения кратные: Х, = 3 = — б. При этом частота ш= з(в~ — 5 = О, то есть колебания отсутству- Г 2 2 ют. Общее решение, как нетрудно проверить подстановкой, имеет следующий вид; х(г) = (Яо + Сг)е (1.69) где независимые постоянные з и С определяются, как и раньше, начальными условиями. Возможный вид зависимости з(г) при разных начальных условиях изобра- жен на рисунке 1.16. Их характерной особенностью является то, что они пересекают ось 01 не более одного раза, и возврат к равновесному состоянию у сис- темы, выведенной из него, происходит за время порядка нескольких т.
Такой режим движения называется критическим. Рис. 1.16. Наконец, если б > го, то общее решение (1.52) является суммой двух убывающих с течением времени экспонент, поскольку — б +з~б — ша ~< О. Возможный вид зависимостей з(г) похож на то, что изображено на рис. 1.16, но возврат к равновесию осуществляется медленнее, чем в критическом режи- ме, поскольку вязкое трение больше. Данный режим движения называется апериодическим, или закритическим. Колебания и волны Отметим, что наиболее быстрое возвращение системы к положению равно- весил происходит в критическом режиме, а в колебательном и апериодическом режимах этот процесс длится дольше. Поэтому, например, гальванометры — приборы для электрических измерений — работают обычно в режиме, близком к критическому, когда процесс установления их показаний, то есть смещения з рамки к усюйчивому от- Рис. 1.17.
клонениюз „„имеет наименьшую длитель- усе ность (см. рис, 1. 17). Иллюстрацией к рассмотренным закономерностям затухающих колебаний являются фазовые портреты„построенные для колебательного (5 < го ), а также критического и апериодического (б > оз„) режимов (рис. 1.18). При б < ш„фазовый портрет представляет собой совокупность спиралей, стягивающихся в особую точку типа «фокус». На рис. 1.18 изображена одна из таких спиралей. За каждый оборот радиус спирали уменьшается в е" раз. Для критического и апериодического режимов 5 > ш„фазовые траектории сходятся в особую точку типа чузел».
Затухание колебаний в системах с сухим трением. На практике мы часто имеем дело с системами, в которых главную роль играет сила сухого трения, не зависящая от скорости. Типичный пример — пружинный маятник, груз которого скользит по шероховатой горизонтальной поверхности„или колебательная система у стрелочных измерительных приборов, основу которой составляет вращающаяся рамка, испытываю- Лекция 1 25 щая действие сил сухого трения в оси вращения. Хотя сила г сухого трения и не меняю ется по величине, тем не менее она меняет свое направление при изменении направления скорости.
В силу этого необходимо записать два уравнения Я+шок=- — для з>0; (1.70) гл г, я'+воя=+ ' для а<0. (1.71) г 51 г .~- шов! г = 0. (1.72) Фазовые траектории, соответствующие этому уравнению, представляют собой эллипсы с центрами, имеющими координаты з = —, (з, = 0) для верхней полуплосглшо кости з > О, и з„=+ — (зг =0) для нижней полуплоскости а<0. Чтобы нарнсошю~~ вать фазовый портрет, необходимо сомкнуть фазовые траектории верхней и нижней по- луплоскостей на их общей границе з = О.
Из построенного на рис. 1.19 фазового портрета видно„что движение пре- кращается после конечного числа колебаний. Чрезвычайно важно, что система не обязательно придет к состоянию з = О, а может остановиться, попав в зону застоя зо — к . Зона застоя тем болыпе, чем больше сила г', . Из фазового портрета легко определить убывание амплитуды колебаний за один период. Это измене- ние амплитуды в два раза превышает про- тяженность зоны застоя: Рис. 1.19. 4г„' гь4=А(1) —.4(1+7)=2(~+ з ) г (1.73) лгшо Таким образом, в отличие от экспоненциального закона (1.56), характерного для вязкого трения.
амплитуда колебаний убывает со временем линейно. На рис. 1.20 показана зависимость от времени смещения колеблющегося тела при сухом трении. Число совершаемых системой колебаний до их прекращения зависит от начальной амплитуды А, и его можно оценить по формуле: '~о .4о г5А 2(, „— ) (1.74) Г,, Если в (1.70) использовать переменную Ч = з +, а в (1.71) — зг = з — — „то оба г ' г ." лгшо глюо уравнения примут одинаковый вид; Колебания и волны Оно зависит от начальной амплитуды Ае. Частота колебаний Г ша = ~ — остается такой же, как и при отсутствии силы трения (см. 11.72)).
Колебания продолжают- ся до тех пор„пока их амплитуда остается больше половины Рис. 1.20. ширины зоны застоя х — з . При этом в реальных условиях колеблющаяся масса останавливается в случайном положении внутри этой зоны (в точке Р на рис. 1.20). 2-( ЛЕКЦИЯ 2 Вынужденные колебания под действиеи гармонической силы. Режимы медленных, быстрых и резонансных колебаний Амплип1удно-часпютные и фаза-частотные характеристики. Баллистический релсим колебаний. Установление колебаний Хараюперистики различных колебагпельных систем. Параметрические колебания. Автои лебапия, В предыдушей лекции мы рассмотрели свободные затухаюшие колебания, возникаюшие при начальном кратковременном воздействии внешних сил на колебательную систему.
Между тем, в повседневной практике мы сталкиваемся с незатухаюшими колебаниями, для поддержания которых необходимо подводить энергию к колебательной системе, чтобы компенсировать ее энергетические потери. Одним из распространенных способов поддержания незатухающих колебаний является непрерывное воздействие на колеблюшуюся массу периодической силы (вынуждающей силы) Р(г) = Р(г + Т), (2. 1) меняющейся во времени б вообще говоря, произвольно в пределах периода длительнос- тью Т. Если, например, такую силу приложить к колеблющейся массе описанного выше пружинного маятника (рис.
2.1)„то уравнение ее движения примет вид: тй = — Гз — Ь О- Р(г). (2.2) (2.3) . (2л З(Г) = ~ЗОи ЗШ Пг' фи и=ь (2.4) Опыт показывает, что если сила внезапно начинает действовать (например, в момент времени Г = 0), то маятник начнет постепенно раскачиваться, и спустя какое-то время его колебания установятся. По порядку величины время установления таких вынужденных колебаний будет совпадать с временем затухания т = 5 ' = 2т(1". Далее мы сконцентрируем внимание именно на установившихся колебаниях, Естественно, что параметры таких колебаний бу- Ргг1 дуг зависеть от конкретного вцда сипы Р(1).
Из математики хорошо известно, что любую периодическую фун- 0 3 кцию можно представить в виде ряда Фурье: . (2к Р(г) = ЕРО„О11з~ ~— пг+ р„ и=ь Физический смысл этого представления состоит в том„что периодическое воздействие Г(г) эквивалентно одновремснному воздействию постоянной силы Р и набоРа ГаРМОНИЧЕСКИХ СИЛ С СООтВЕтетВУЮЩИМИ аМПЛИтУДаМИ Гьи„иаЧаЛЬНЫМИ фаЗаМИ ЗГ„И 2к 2к ЧаСтОтаМИ Щи = — П = ГОП, КРатНЫМИ НИЗШЕЙ (ОСНОВНОЙ) ЧаСтетЕ Щ = — . Т Т Чтобы получить полную картину вынужденных колебаний под действием силы (2.3), необходимо принять во внимание линейность уравнения (2.2). Это позволяет представить его решение з(1) как сумму гармонических колебаний; Колебания и волны 28 происходящих с установившимися амплитудами х „и фазами Ш„на частотах ш, соответствующих гармоник вынуждающей силы (2.3).
Каждое слагаемое в (2.4) может рассматриваться как вынужденное гармоническое колебание, происходящее под 2л действием внешней гармонической силы с амплитудой г и частотой ш = — л. 0 ' ° =Т Амплитуды л „и фазы Ш„требуют определения, и мы переидем сейчас к их нахождению. Вынужденные колебания под действием гармонической силы. Пусть внешняя сила меняется по гармоническому закону (2.6) Е(г) =Е,айзшь Уравнение (2.2) в этом случае принимает вид: ий =-Гу-/ы-~-РО ашшь (2.6) Под действием этой силы маятник в установившемся режиме будет совершать гармонические колебания з(г) = ка з(п(ш1 "'Ро).
(2.7) Как показывает опыт, амплитуда л, и начальная фаза е), (т.е, сдвиг фазы между смещением э и силой Г) установившихся колебаний зависят не только от амплитуды силы г (что очевидно из уравнения (2.6)), но и от того, насколько частота вынуждающей силы со отличается от собственной частоты колебаний маятника ша — — э(к У ль Наиболее сильно маятник будет раскачиваться, когда эти частоты практически совпадают: оз = ш .
Прежде чем приступить к нахождению л, и ф „ ~(г) заметим, по для механических колебательных систем не так просто с технической точки зрения осушествить о ~ о воздействие гармонической силы непосредственно на Рис. 2.2. движущуюся массу. Гораздо проще это сделать для электрических и оптических колебательных систем, например, для колебательного контура, подключенного к внешнему источнику переменного напряжения. Легко, однако, видеть, что можно поддерживать вынужденные колебания маятника„изображенного на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
