В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Лекция 1 В первом уравнении использована проекция Р",(з) результирующей силы Г на направление скорости в виде Г„= — тда(пег = — тдз(п(эИ). В рассматриваемых примерах возвращающая сила Р;(з) является, вообще говоря, нелинейной функцией смешения з. Поэтому точное решение уравнений (1.2), которые являются нелинейными, получить не удается. Далее мы рассмотрим некоторые примеры таких нелинейных колебаний.
Здесь же мы будем считать смешения малыми по сравнению с длиной нити или длиной недеформированной пружины. При таких предположениях возврашаюшая сила пропорциональна смещению: Я г',(я) = — тя — ', рт (~) (1.3) Выражение слева записано при учете условия з(п(згб) = ай', а справа — с использованием закона Гука, справедливого при малых деформациях пружины с жесткостью lс. С учетом (1.3) уравнения (1.2) примут одинаковый вид: Ы о я — э; ( 2 ~2 у г— Щ' т (1.4) Различаются лишь коэффициенты в правых частях этих уравнений„которые численно равны отношению возврашаюшей силы при единичном смешении к массе колеблюшегося тела и имеют размерность [с 2). Если использовать обозначения г к г ого = ° юо = о — г ° о— (1.5) то уравнения (1.4) примут вид уравнения незатухающих гармонических колебаний, или уравнения гармонического осциллятора: Н х — = — И я.
12 о (1.6) Решением уравнения (!.6) является семейство гармонических функций я(2) = хо з(п(ого'+'ро) в чем легко убедиться. дважды продифференцировав функцию з(г) по времени: (1.7) 6Ь б~ 8 ггг =ооого соя(гоог+'Ро) г = ооюо з("(юог+'Ро) Ж Заметим, что если уравнение движения приводится к виду (1.6), то его решением являются гармонические функции (1.7) с частотой ого, равной корню квадратному из коэффициента при ж Значения этих гармонических функций в начальный момент времени (при г = О) определяются начальной фазой д2 (см. ниже) и амплитудой колебаний з . У одной и той же системы эти значения могут быть различными при разных способах возбуждения колебаний.
Колебания и волны Чтобы возбудить собственные колебания, надо вначале (при 1= О) либо отклонить тело (задать начальное смещение з(0)), либо толкнуть его (задать начальную скорость 6Ь вЂ” (О) = е(0)), либо сделать и то„и другое одновременно.
Знание начальных условий !(г (смещения и скорости) позволяет определить амплитуду з„и начальную фазу колебаний <Р из очевидных уравнений; з(0) = Ф)1!, = зо в(п(юо1 +!Ро) !, = зо з!и!Ро1 (1.8) (1.9) го толчка. Р!!с, 1.2, т=г 1 — ', (1.11) Другим примером являются колебания физического маятника — тела произвольной формы массы щ, закрепленного на горизонтальной оси О' так, что его центр масс находится в точке О, удаленной от оси на расстояние а. При отклонении маятника от вертикали на небольшой угол а он будет совершать свободные гармонические колебания под действием силы тяжести, приложенной к центру масс (рис.
1.2). Если известен момент инерции тела ! относительно оси вращения, то уравне- ние вращательного движения запишется в виде !( Я ,У вЂ” = М = — л!8аз!па. г1! (1.12) Если считать, что при вращении, например, против часовой стрелки угол а увеличивается, то момент силы тяжести М вызывает уменьшение этого угла и, следовательно, при а > 0 момент М < О. Это и отражает знак минус в правой части (1.12). ! ! ! ! ! ! \ ~Ь е(0) = = зошо соз(гво1+ !Ро) = зошо соя!Ро !!!1 =о !са Решение этих уравнений имеет вид: е~ (О) ю,з(0) ьв = з (О)-ь ! '* 'Ро = щего (1,10) озо е(0) Важно отметить, что амплитуда колебаний з, равная величине максималь- ного смещения тела от положения равновесия, может превосходить начальное смещение а(0) при наличии начально- Наряду с круговой частотой со колебания характеризуются циклической частотой ч = ю / 2х, равной числу колебаний за единицу времеви, и периодом колебаний Т = 1 ) ч, равным длительности одного колебания.
Период гармонических колебаний (равно как и частоты гс и у ) не зависит от начальных условий и равен Лекция 1 Для малых углов отклонения уравнение (1.12) переходит в уравнение гармонических колебаний Ыи тяа г ,,г Т (1.13) из вида которого сразу ясно, что частота щ и период Тколебаний соответственно равны 7=2 тяа оз о— (1.
14) Сравнивая выражения для периода колебаний физического (1.14) и математического (1.11) маятников, легко видеть, что оба периода совпадают, если (1. 15) То "та г Т=2л тяа (1. 16) Изменение периода колебаний прн удалении оси вращения от центра масс О в обе стороны на расстояние а показано на рис.
1.3. Т Легко видеть, что один и тот же период колебаний может реализоваться относительно любой из четырех осей, рас- положенных попарно по разные стороны от центра масс. Можно показать, что сумма расстояний а, и аз равна приведенной а длине физического маятника: 1 = а, + аз . а,О а', . 1.3, а", а а, В силу симметрии графика ясно, что (=аз -~а, (1.17) Зто обстоятельство позволяет для любой оси вращения О+ определить сопряженную ось О'.
Период колебаний относительно этих осей одинаков, а расстояние между ними равно приведенной длине физического маятника. На рис. 1.4 изображены положения осей О' и О, при этом ось вращения, удаленная на расстояние аз, при такой форме маятника находится вне его. Поэтому физический маятник характеризуется приведенной длиной (1.15), которая равна длине математического маятника с таким же периодом колебаний. Период колебаний физического маятника (а, следовательно, и его приведенная длина 4) немонотонно зависит от расстояния а. Это легко заметить, если в соответствии с теоремой Гюйгенса — П(тейнера момент инерции / выразить через момент инерции / относительно параллельной горизонтальной оси, проходящей через центр масс: ,У=,У т таз.
Тогда период колебаний (1.14) будет равен; Колебания и волны 10 Рис. 1,4. Метод векторных диаграмм. Гармонические колебания (1.7) допускают наглядную графическую интерпретацию. Ее смысл состоит в том, что каждому гармоническому колебанию с частотой ю можно поставить в соответствие вращающийся с угловой скоростью ш вектор„длина которого равна амплитуде хо, а его начальное (стартовое) положение задается углом <ро, совпадающим с начальной фазой (рис.
1. 5). Вертикальная проекция вектора х изменяется со временем; х(!) = з гйп !р(!). Мгновенное положение вектора х определяется углом <р(!), который называется фазой и равен: 'р(!) =озо!"'Ро. (1.18) шо При угловой скорости (круговой частоте) ю вектор совершает ч = — оборотов о (цнклов) в секунду, а продолжительность одного оборота (период) равна отношению угла 2л к угловой скорости озо: Т = 2л1оз . С помощью векторных диаграмм легко осуществить сложение гармонических колебаний. Так, если необходимо сложить два колебания с одинаковыми частотами (!) 51(!) 52(!) гол 31п (що! 'р!) лот 31п (соо! 'рз) яо 31п (юо! 'ро)" Я 0 р(1) гр о / Рип 1.5. с / / ! с Физический маятник применяется для измерения ускорения свободно!а падения.
С этой целью измеряют зависимость периода колебаний маятника от положения оси вращения н по этой экспериментальной зависимости находят в соответствии с формулой (1.17) приведенную длину. Определенная таким образом приведенная длина в сочетании с измеренным с хорошей точносп ю периодом колебаний относительна обеих осей позволяет рассчитать ускорение свободного падения.
Важно отметить, что прн тамэм способе измерений не требуется определение положения центра масс, что в ряде случаев повышает точносп юмерений. Лекция 1 Рис. 1.бб. то амплитуду за и начальную фазу <ро суммарного колебания з(!) с той же частотой юо можно легко рассчитать из рис. 1.6а, на котором графически изображена операция сложения векторов з =за + з в момент времени!=О: за = (50! Соя!р! ! Яаг соз!рг) ч (50! 3!п(р! +юог з1п!рг) г г 50! 31П'р! е заг 8!и'рг (ра — — агс!я зш соз<р, + заг соз<р, Ясно, что вертикальная проекция вектора з„будет также изменяться по гармоническому закону с частотой гоо, поскольку взаимное расположение векторов зо! и лог не изменяется с течением времени. Из этой диаграммы наглядно видно, что суммарное колебание з(!) опережает по фазе колебание зг(!) и отстает по фазе от колебания хг(!).
Полная фаза для каждого из трех колебаний в произвольный момент времени отличается от их начальных фаз на одну и ту же величину шаг, которую при построении векторных диаграмм не учитывают. При этом колебание изображается неподвижным вектором (рис.! .бб), а частота колебания предполагается известной. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Рассмотрим колебатель- ную систему, состоящую из точечного груза массы л! и четырех связанных с ним пружин (рнс. 1.7)— усложненный вариант рассмотренного выше пружин- ного маятника. Если масса движется по гладкой горизонтальной поверхности (на рисунке показан вид сверху)„то ее мгновенное расположение описывается двумя смещениями из положения равновесия — точки Ск з!(!) и зг(!). Такая система обладает двумя степенями свободы. Будем считать смещения малыми, чтобы, во — первых, выполнялся закон Гука, и, во — вторых, при смещении вдоль Рис. 1.7.
Колебания и волны 12 направления х1 деформации пружин с жесткостью 4 не приводили к сколыоэ — нибудь заметному вкладу в возвращающую силу Г1 = -2111 э1. Аналогично, при смешении в перпендикулярном направлении эг возвращающая сила Гг = — 22сгэг. При таких условиях колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях происходят независимо друг ог друга: Я1(г) ЯО!з (в012+ 'р!), Ьг(г) = Ъогз (в021 грг)' (1.19) Здесь собственные частоты гармонических колебаний равны 12111 ВО1 =~ г В02 (1.20) а амплитуды и начальные фазы определяются начальными условиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
