В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.3. Рис. 2.4. вдвое энергии колебательной системы, пропорциональной квадрату амплитуды зо(ш) в (2.35), что эквивалентно приближенному соотношению (2.37) Лю которое поясняется рисунком 2.4. При этом условии — --=Ь, т.е. Лш= 25. Ширина 2 лоренцева контура характеризует полосу пропускания колебательной системы, т.е. такую область частот внешней силы, для которых система эффективно откликается на гармоническое внешнее воздействие. Легко видеть, что добротность системы равна 0-- — = —, гоо (2.38) ЬТ Лю т.е, обратно пропорциональна полосе пропускания.
С уменьшением коэффициента Ь АЧХ меняет свою форму, как зто изображено пунктиром на рис. 2.3 для Ь' < Ь. Полоса пропускания пш улгеньшается, добротность Ц' возрастает, и резонанс становится более острым. Фазо-частотная характеристика для двух раз- хо личных коэффициентов затухания изображена на рис. О «1о Ь'< Ь ю 2.5.
Физическое содержание зависимости <ро(ш) мы подй робно обсудили для трех различных режимов вынуж- 2 денных колебаний. Отметим лишь, что с уменьшением я затухания Ь кривая ~ро(го) становится более «чувствиРис 2.5. тельной» к изменению частоты вблизи резонанса. Наряду с резонансом смещений можно говорить о резонансе скоростей 3 и резонансе ускорений у . Колебания и волны 34 Скорость колеблюшейся массы равна; ю = зосоз1п(оя + сро + л/2), (2.39) а ее ускорение: Я =ЗОСООЗ1П(О22+СРО+Л), (2.4О) т.е.
амплитудно-частотная характеристика для скорости получается умножением АЧХ (2.31) на ш, а для ускорения — на со2: "О С'О =ЗОЮ= ~0 „4б2 2 Р о На рис. 2,6 изображены частотные зависимости амплитуд скорости 2 Π— — хосе и ускорения сго = косо . 2 Характерно, что резонанс скорости происходит на частоте ю, = соо „а резонанс ускорения — при со,. > соо. Отметим, что все резонансные частоты связаны между собой: 5 5 5 О' (2.41) Отметим также, что по причинам, рассмотренным ранее„в области низких частот малы как ускорение, так и скорость. В области высоких частот ускорение конечно (зосо2 — 2 ГО ~'т) и обеспечивается лишь внешней силой. Однако скорость по-прежнему незначительна, поскольку тело не успевает разогнаться.
Не представляет труда нарисовать самостоятельно фазо-частотные характеристики для скорости и для ускорения. пользуясь формулами (2.39) и (2.40), поскольку они получаются простым сдвигом ФЧХ для смещения (2. 32) 5 изображенной на рис.2. 5, вверх соответственно на к/2 или на л, В заключение рассмотрим вопрос о подводе энергии к осциллятору при произвольной частоте вынуждающей силы. Средняя за период мощность этой силы равна юо оо со 0 Рис.
г.б. Лекция 2 35 !т 1т !' т Ф = — ) г(!)в(т)й = — ) го Яп ш1. воин~со! + Уо + — )й = — Роса) Яп сот Яп(со! + лро)й = то т, ' о т т 1 = — гасо(в1п штсовл(той+ — Рооо ~япш!совш!в!взрой = — Рооосовэро, т о 2 к где л!то —— !ро + — — сдвиг фаз между скоростью и силой. Мы видим„что максимум 2 подводимой к осциллятору мощности достигается на частоте соо, поскольку при этом максимальны и амплитуда скорости с „и совэро (!ко —— О) . При других частотах вынуждающей силы эта мощность быстро уменьшается и стремится к нулю, как при ш — эб,такипри ш-э Баллистический режим колебаний.
Рассмотрим колебания системы, к которой приложена произвольная сила г(!), действующая в течение промежутка времени Лт, значительно меньшего периода собственных колебаний: от «т. Отклик системы на тяюе воздействие будет пропорционален импульсу действующей силы: ! Ж р = — )' р(!)й. (2.42) то В самом деле, при кратковременном воздействии (в течение времени 5!) маятник не успевает заметно сместиться из положения равновесия, однако будет обладать ускорением Я = —. р'(т) (2.43) Прн записи (2.43) мы пренебрегли силой вязкого трения. По окончании действия силы маятник приобретет скорость ! Ьс р (2.44) то пропорциональную импульсу силы. Далее маятник будет совершать собственные гармонические колебания с амплитудой г'о р во= сОо шло (2.45) Если параметры т и Ш известны, то можно определитьр,измеряя амплитуду первого колебания после воздействия. В качестве пригиера рассмотрим процедуру измерения заряда.
протекающего по электрической цепи, с использованием баллистического гальванометра. Этот гальванометр содержит рамку, которая может совершать крутильные колебания. Рамка имеет увеличенный (по сравнению с обычным гальванометром) момент инерции, что увеличивает период ее собственных колебаний до нескольких секунд. Т.к, рамка находится в магнитном поле постоянного магнита„то при протекании через нее электрического тока на рамку будет действовать момент сил, пропорциональный току.
При протекании кратковременного тока рамка приобретает угловую скорость и затем за четверть периода Колебания и волны колебаний отклоняется на некоторый максимальный угол, который пропорционален интегралу от протекшего через рамку тока, т.е. величине протекшего заряда. Установление колебаний. Мы уже отмечали, что если прнложип к покоящемуся маятнику гармоническую силу в момент времени с = О, то маятник начнет постепенно раскачиваться, как это качественно изображено парис.2.7а.
Установление колебаний связано с тем фактом, что наряду с вынужденными колебаниями на частоте а будут возбуждены и собственные колебания на частоте Гааз -5т, япорые, конечно, будут затухать. Из математики известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения (2.10) при 5 < ао имеет вид: у(г) с яо,е яп(~/ао — 5 г+срс)+уояп(аг+сро), (2.50) представляющий собой суперпозицню собственных затухающих колебаний на частоте ао — 5 и незатухающих вынужденных колебаний на частоте со. Из (2.50) видно, что 2 2 колебания установятся лишь тогда, когда затухнут собственные колебания. Это произойдет по истечении времени 1 '-~ум (2.51) За это время в систему езакачиваетсю~ энергия, поскольку до установления колебаний работа внешней силы превышает работу сил трения.
В установившемся режиме имеет место баланс поступающей и расходуемой энергий. В частности, если а=т~в~ — 5, то (2.50) приз(0) = О, у(0) =0 н 5«ао, как нетрудно показать, имеет вид у(с) =хо(1 — е ')яп(ас — х/2), (2.52) Л посколькуприэтихусловиях уо =ус, ср с Отметим, что формула (2.51) определяет лишь порядок величины (временной масштаб) Ж . Для практических целей время установления (равно как и время затухания) колебаний принимают равным Ж „=(3 —:5)т, — Ю о уст Ряс.
2, 7б. Риц 2. 7а. Лекция 2 На фазовой плоскости (рис. 2.7б) фазовая траектория будет постепенно «раскручиваться» из начала координат и стремиться к предельному циклу — эллипсу, изображенному на рисунке пунктирной линией. Характеристики различных колебательных систем (осцилляторов). Интересно сопоставить основные характеристики различных колебательных систем (иногда их для краткости называют осцилляторами) Примерами таких осцилляторов могут быть механические (рассмотренные выше), электрические (известные из школьного курса физики, например, колебательный контур), оптические (например, электрон в атоме) и другие системы.
Вначале обратимся к характеристикам наиболее распространенного осцнллятора — маятника. представляющего собой тело, подвешенное на нити. Маятник является одним из древнейших физических приборов. С помощью крутильных маятников были открыты законы гравитационного и электрического взаимодействий, измерено давление света„выполнено множество других физических экспериментов. В последнее время предложен и реализуется ряд новых экспериментов для изучения фундаментальных свойств материи, в которых очень малые силы измеряются с помощью крутильных маятников. Чувствительность таких экспериментов зависит оттого, насколько ослаблены сейсмические возмущения„действующие на маятник, а также от стабильности его параметров, например, упругих свойств нити подвеса. Но даже если устранены все внешние возмушаюшие воэдействия, остается один принципиальный источник флуктуаций его амплитуды и фазы колебаний.
Это хаотическое тепловое движение молекул в нити подвеса и подвешенном теле. Действующая на него флуктуационная сила зависит от температуры и от добротности маятника. Чем выше добротность маятника„тем медленнее затухают его колебания и диссипирует его энергия, превращаясь в тепло, т.е. хаотическое движение молекул. Это означает, что ослабевает и обратный процесс раскачки маятника хаотическим движением молекул, т.е. уменьшается флуктуационная сила, действующая на маятник. Для того, чтобы уменьшить затухание, тело и нить подвеса изготовляют из высококачественного плавленого кварца — материала с низкими потерями упругой энергии, а также принимают специальные меры для исключения других источников диссипации энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
