В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2.1, иным способом, не прикладывая непосредственно внешнюю силу Г(1) к массе т. Достаточно лишь эту силу приложить к левому концу свободной пружины так, чтобы этот конец двигался по гармоническому закону с(г) = с з(позг(рис, 2.2). Тогда удлинение пружины составит величину а — г„а сила упругости, приложенная к массе щ, будет равна — й(э — ч). Поэтому уравнение движения массы и запишется в виде: тй = — Г» — й(э — «).
(2.8) Если принять во внимание, что сила упругости пружины в отсутствие смещения груза (э = 0) равна ~«) =<(г) = ~аз~люб (2.9) то уравнение (2.8) полностью эквивалентно уравнению (2.6). Сила (2.9) выполняет роль внешней гармонической силы в классической схеме„изображенной на рис. 2.1. Эта сила Лекция 2 29 легко может быть визуализирована, поскольку ее величина и направление однозначно определяется смешением подвижного левого конца пружины. Это, в свою очередь, дает возможность наглядно продемонстрировать фазовые соотношения между силой г(1) (или смеШением Р(1)) и смещением х(Г) колеблющейся массы. Перепишем уравнение (2.
8) следующим образом; Уо- 2бз+ шоз — — — з(п огб г гог (2. 10) где ~о = 4~о. Решение этого уравнения будем искать в виде гармонического колебания (2.7), где амплитуда з и фаза ср могут быль определены, если подставить (2.7) в (2.10). Мы сделаем это несколько позднее, а пока рассмотрим три важных режима вынужденных колебаний. Медленные колебания. Если частота вынуждающей силы ш значительно мень- ше ого, то скорость з и ускорение Х колеблющейся массы будут очень малыми. Поэтому можно пренебречь первыми двумя членами в левой части уравнения (2.10) и записать его в приближенном виде: г ~0 озоз = гп (2.11) Его решение очевидно: л(Е) = гйпщо = — ыпшЕ.
(2.12) шшо В этом режиме смещение груза пропорционально внешней силе и не зависит от величины его массы аь Решение (2.12) является, по существу, математическим выражением закона Гука для статической деформации пружины. Поэтому этот режим можно назвать квазистатическим (почти статическим). Амплитуда колебаний в соответствии с этим законом равна хо = Г %, а смещение з(1) изменяется в фазе с внешней силой. В схеме, изображенной на рис. 2.2, это эквивалентно тому, что смещение массы и практически повторяет смещение левого конца пружины: х(1) = — з(п ю1 = — з(п юг = г(г), ~о, )4о (2.13) Е поскольку го = кс, .
Это и не удивительно, т.к. для движения массы лг с пренебрежимо малым ускорением У не требуется больших деформаций пружины: Ф) — Ь(1) = О. Быстрые колебания. Если оз» ого, то период вынужденных колебаний Т = 2к!ш мал. Это означает, что масса лг испытывает действие лишь внешней силы г(г). а сила упругости Ь и вязкого трения 13 малы.
Действительно. за половину короткого периода колебаний, когда масса движется в одном направлении, она не успевает набрать как заметную скорость Я „так и сместиться на достаточную величину з от положения равновесия. Поэто- му в уравнении (2,10) можно опусппь члены, содержащие з и х, и записать его в другом приближенном виде: Колебания и волны 30 й = — а(пап "о (2.14) лг Интегрируя это уравнение два раза, находим закон движения колеблющейся массы; го "о я(г) — з!гг аг — ып(аг л). лга ага (2.15) пружины и масса лг всегда движутся в противоположных направлениях: г з(г) = — з(п аг = — — с(г).
(ьо . ао (2.16) г По абсолютной величине смещение массы лг в а ! аг »1 раз меньше смещения левого конца пружины, т.е. практически не будет заметным. Резонансный режим. Если частота а = а, то вынужденные колебания происходят на собственной частоте колебаний. Это означает„что У~ ао~ — 0. г Следовательно, уравнение (2.10) при учете (2.17) примет вид; (2.17) го 2Й = зш ась Интегрируя его, получаем выражение для смещения: з(г) = гйп(а г — л/2). го 2бшао Последнее выражение удобно переписать в вцле (2.18) (2.19) Ф) = — а ып(аог — л/2), го 11 (2.20) л где О = — добротность маятника.
Если добротность Д » 1, то амплитуда колебаний ЪТ может во много раз превышать амплитуду медленных квазистатических колебаний (сравните с (2.12)). Поэтому такой режим называется резонансным. Велики также амплитуды скорости и ускорения. Поскольку скорость й, как следует из (2.18), изменяется в фазе с внешней силой, то с энергетической точки зрения это весьма благоприятно для «подкачкил энергии в колебательную систему. Работа внешней силы за период колебаний равна: г Гг г ТггТ А = 1Г(г).ь(г)й = о 1ыпг а Фбг = о (2.21) 2бш о 4бгл н значительно превосходит работу этой силы в обоих рассмотренных выше режимах.
Такая большая работа необходима для компенсации значительных потерь из-за силы вязкого трения. Из (2.15) следует„что смешение по отношению к внешней силе запаздывает по фазе на л (8го = — л), а амплитуда, как мы и предполагали„убывает с увеличением частоты. В схеме, изображенной на рис. 2.2, в таком режиме левый подвижный конец Лекция 2 Для большей наглядности последнего результата обратимся к схеме с подвижным левым концом пружины, где, как это видно из решения (2.20), я(г) =чо0з(п(озог в/2) .
(2.22) Амплитуда смещения правого конца пружины в Д раз превосходит амплитуду смещения левого конца. При прохождении массой и положения равновесия з = О, когда ее скорость максимальна, левый конец пружины смещен на максимальную величину со в направлении скорости движущейся массы. В этот момент времеви мощность силы упругости пружины имеет максимально возможное положительное значение при заданной величине с . В последующие моменты времени эта мошность будет оставаться положительной, что, естественно, обеспечивает наиболее эффективную передачу энергии движущемуся с трением телу, Если сила (2.5) меняется с произвольной частотой ю, то амплитуда я и фаза гро, входяшие в решение (2.7), могут быть найдены, как было сказано выше, подстановкой решения (2.7) в уравнение (2.10).
Такую подстановку можно осуществить наиболее про- его, если воспользоваться методом комплексных амплитуд, широко применяемым в различных областях физики: теории колебаний, теории волн, электромагнетизме, оптике и др. Метод комплексных амплитуд. Если в формуле Эйлера (1. 53): е ч = сов гр ч (тйп ф под гр понимать фазу гармонических колебаний ф = озг + гро, (2.23) то каждому такому колебанию а(г) можно поставить в соответствие комплексное число з(Г) = зое' = зое' 'е' с ко соь(юг + ~Ро) + Ио з1п(озГ + гро) (2.24) Из (2.24) видно, что решение (2,7) является мнимой частью комплексного выражения: 41) = зо я1п(ох+ 'Ро) = (ш зовя (2.25) где т = я еам — комплексная амплитуда, которая несет информацию об амплитуде а, и начальной фазе що колебаний.
Надо отметить, что метод комплексных амплитуд является, фактически„аналитическим выражением метода векторных диаграмм, Если в последнем методе колебание с частотой ш полностью залаегся вектором яо, то в методе комплексных амплитуд колебание задается числом бо на комплексной плоскости. Поскольку с комплексными числами удобно и просто производить математические операции„то мы используем это обстоятельство для получения решения уравнения вынужденных колебаний (2.10). Вынужденные колебания с произвольной частотой.
Будем искать решение уравнения (2. 10) в комплексном виде; з(г) = зое' (2.2б) Вынуждающую силу в правой части (2.10) также запишем в комплексной форме: Р (1) = гое (2.27) где Р' = Го — действительное число, поскольку для простоты мы положили, что начальная фаза в выражении для силы (2.5) равна нулю. Колебания и волны 32 Тогда уравнение (2.10) можно записать в виде: оо-ь2Ы ьаох = — ое'"'. (2.28) Комплексную амплитуду х = е еа' легко находим подстановкой (2.26) в (2.28): 2 - юг ~О вк ( аз +2йа+а~)хоек" = (2.29) Отсюда получаем: го ео = гл(ао а о 22(ба) Из (2.30) нетрудно найти амплитуду колебаний хо = Ц: (2.30) (2.31) ифазУ (Ро =аг8хо: (ао а ) =(ао а) (ао+а) =(ао а) 4озо1 4бза2 4бза2 о.
С учетом приближений (2. 34) формула (2.31) примет вид: (2.34) (2.35) В физике безразмерную функцию 1 НР (2,36) называют лоренцевой, а график этой функции называют лоренцевым контуром. Ширину Ла этого контура, определяющую остроту резонанса, находят из условия убывания 11пее 2ба (2.32) Кеха со -ао 2 2 полностью определяющие вынужденные колебания (2.25). Зависимость амплитуды е от частоты а, задаваемая формулой (2.31), называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а зависимость что(а), описываемая форму- лой (2.32), называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).
На рис. 2.3 изображена АЧХ, которая отображает нарастание амплитуды ео при приближении а к соо. Это явление получило название резонанса смещений. Интересно, что максимальное значение ампли- туды, в Д раз превосходящее статическое смещение Г Й, достигается на частоте а, =Д-26', (2.33) которая несколько меньше как собственной частоты а, так и частоты затухающих коле- баний Д вЂ” б' Для практических целей для частот а, лежащих вблизи частоты а, формула (2 3! ) может быть значительно упрощена. Так, можно положить Лекция 2 ),о О,2 оо Оло Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
