В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Продольные волны. Такие волны могут быль возбуждены ударом молотка по одному из торцов упругого стержня. Возмущение, распространяющееся вдоль стержня, визуально незаметно, однаю основные закономерности такого волнового процесса можно смоделировать, если вместо стержня использовать длинную пружину с большим диаметром витков (рис. 4.23). Если эту пружину подвесить горизонтально на нескольких нитях (не показанных на рисунке) и резко ударить ладонью по левому торцу, то по ней побежит импульс сжатия с некоторой скоростью с.
На рис. 4,23а этот импульс имеет длину стя (т„— длительность импульса, равная длительности удара). Добежав до правого конца пружины, он отразится„ при этом, если конец закреплен (рис. 4.23б), то отраженный импульс будет также импульсом сжатия. Если правый юнец свободен. то отраженный импульс будет импульсом раста- В) с жения (рис. 4 23 в).
Он возникает в момент сме- — ь~ ст„~ч— щения вправо свободного конца пружины, когда до него добежит импульс сжатия. Эта ситу- с ация напоминаег смещение свободного конца ст„ шнура. Отметим, |го в рассмотренном случае Колебания и волны Рассмотрим теперь распространение импульсов сжатия и растяжения в стержне. Мысленно разобьем х+дх стержень на рял элементов длиРис. 4.24. ной дх каждый. При распространении продольной волны концы каждого элемента, отмеченные на рис.4.24 сплошными линиями, будут смещены в новые положения, отмеченные пунктиром. Эти смещения х будем считать положительными, если они происходят в положительном направлении оси Ох, н отрицательными — в противоположном случае.
Пусть левый конец некоторого элемента, имеющий координату х, сместился в данный момент времени г на расстояние з(х, г), а правый конец — на з(х -ь дх, О . Деформация растяжения (сжатия) определяется относительным удлинением элемента дж в(х.~) = к(х з- дхд) — з(хд) дз (4.69) дх дх Отметим, деформации растяжения соответствует в > О, а сжатия — в < О . В отличие от поперечной волны, при растяжении (сжатии) уменьшается (увеличивается) плопюсть среды р. Ее можно представить в виде Р=ро +бр' ~бР~~чро (4.70) Здесь бр — малая добавка к равновесной плотности ро,причем бр может быть как положительной„так и отрицательной. С учетом постоянства массы деформируемого элемента дх можем записать Родх=(ро+бр)(дх~з(х+дх г) — х(х г?1=(ра "бр)дх()~в) (47)) Раскрывая скобки и пренебрегая малой величиной е бр, находим (4.72) ИМПУЛЬС СЖАТИЯ ИМПУЛЬС РАСТЯЖЕНИЯ бр Рис.
4.25. Лекция 4 88 Спустя некоторое время т после удара по торцу стержня (или после резкого оттягивания этого торца) распределение смещений т, деформаций а и возмущений плотности бр в бегущих импульсах сжатия и растяжения будут иметь внл, показанный на рис.4.25. Пункти- ром показаны распределения всех величин в один из последующих моментов времени. Уравнение волны, бегущей вдоль оси Ох, в обоих случаях имеет вид т(х, т) = т(т — х l с).
По аналогии с (454) деформация а = дт! дх и колебательная скорость ь = дх1дт элемента связаны соотношением !)х 1Й г — = — —, или е= —. (4.73) ах с ат ' Полчеркнеьь что в импульсе сжатия (с < О) скорость с совпадает по направлению со скоростью с, а в импульсе тт,(х-~-дх,т) растяжения они имеют противоположные направления. Рассчитаем скорость распространения продольных волн. На рис.
4.2б изображен фрагмент стержня и показан его элемент дх, к концам которого приложены нормальные напряжения а„. Уравнение движения элемента с поперечным сечением равным 5 имеет вид: ! ! ! ! х х-ьдх х Рис. 4.2б. д~, = 5[~„(~+дх,т) — ~„(~,т)1, о т (4.74) !тт ~ где дта = ряЯдх. Чтобы (4.74) преобразовать к волновому уравнению, необходимо связать напряжения п„с деформациями элементов стержня.
Наиболее просто это можно сделать для тонкого стержня. Скорость волн в тонком стержне. Если стержень тонкий„то деформации и напряжения вдоль координаты х связаны известным законом Гука: (4.75) вое уравнение: дю~ Е д~к дт Ра дх Скорость продольных волн получается равной (4,7б) =Г (4.77) Эта скорость превышает скорость поперечных волн (см. формулу (4.49)), поскольку Е ) С. По порядку величины обе скорости совпадают идляразличныхматериалов преимущественно лежат в диапазоне с - (1 0 сэ10 ) м/с. з.
дт п„(х,т) =Е— дх,' где Š— модуль Юнга. Подставляя (4.75) в (4.74) и производя деление на ряЯх, получаем волно- Колебания и волны Скорость волн в толстом стержне. Пусть вдоль оси толстого стержня (оси х) распространяется продольная волна, при этом колеблются элементы стержня, находящиеся вблизи его оси. Один из таких элементов показан на рис. 4.27. Под действием нормального напряжения а, относительное удлинение а, определяется первым уравнением (1.2?), приведенным в лекции по механике упругих тел: а, — (и, +аз)р. в1 = Е (4.78) Это уравнение отражает тот факт. что при удлинении элемента дх„ изображенного на рис.
4.27, плошадь его поперечного сечения уменьшается (связь продольной и поперечной деформаций определяется коэффициентом Пуассона 0<)с<112). Этот элемент потянет к осн стержня окружающие его элементы, развивая напряжения пз и пз . Этн элементы 1лежашне между Х плоскостями х = сопз1 и х+ дх = сопзг) ! 1 х х+дх Рис.
4.27. начнут приходить в движение: снача- напряжения пз и оз исчезнут. Если длительность т„импульса, распространяющегося вдоль оси стержня, вели- Л ка, так что т„» Ьз = —, то в (4.78) можно не учитывать пз и пз . Скорость такого длин2с ного импульса будет определяться формулой (4.77), Такой режим можно реализовать, если Л«ст„. (4.79) Условие (4.79) означает, что поперечный размер стержня Т. значнтсльно меньше длины импульса.
Такой стержень можно считать тонким. Если речь идет о гармонической волне, распространяющейся вдоль стержня, то условие (4.79) имеет вид Ь « Х, (4.80) где ) = сТ вЂ” длина волны, Т вЂ” период колебаний, Так, например, для стального стер- 1Е жня с = — — 5000 м/с. При частоте у = 5000 Гц, Х = с! У вЂ” 1 м, поэтому стержни с Р поперечным размером Е - 1 см могут считаться тонкими. ла — находящиеся вблизи оси стерж- 1.! 2 ня, а затем и элементы, близкие к поверхности. Через время Лг = (Т, — поперечный с размер стержня, с — скорость распространения возмущения) все элементы смесгятся.
и Лекция 4 8Т аналогичные для е2 и аз и сложим все три уравнения: (а1 +п2 +аз)(1 — 2)2) а1та2" аз = Е Для краткости выкладок введем средние значения 1 1 (е1 з а2 1 вз); 3 и = (п1 «-п2 -ьпз). 3 Тогда (4.81) перепишется в виде п(1 — 212) Е С учетом (4.82) уравнение (4.78) видоизменяется: (4.
81) (4.82) а1 -~- = О1. 3 1-~ (4.83) 1 — 212 Е Если положить в толстом стержне е2 = аз = О, то а =е, /3, и искомая связь получится в виде; п1 п1 (1 ь )2)(1 — 2)2) (4.84) ' Е((р) Е(1-р) В этом случае связь деформации и напряжения определяется как модулем Юнга Е, так и следуюшей функцией коэффициента Пуассона 7'(Р) - (,.Р)(1 2Н) Легко убедиться, что при любых возможных значениях коэффициента Пуассона /'((2) > 1. Поэтому скорость продольной волны в этом случае 1Е с= ~ — Др) Ро (4.86) превышает скорость волны в тонком стержне.
Величину Е 7'()2) обычно называют «мо- дулем одностороннего растяжения». Отметим„что наиболее сложен анализ для промежуточного случая, когда А — Х . Для волн с такой длиной волны имеет место дисперсия (фазовая скорость гармонической волны зависит от ее частоты). Распределение амплитуды волны в поперечном сечении стержня вдоль осей х2 и хз аналогично распределению амплитуды для шнура длиной Е со свободными концами при нормальном колебании. Стержень в этом случае выполняет роль волновода. При его плавном изгибании волна распространяется вдоль его оси. Продольные волны переносят энергию, и для них справедливы все рассуждения и выводы„полученные для поперечных волн. Формально во все выражения для плотности энергии 1г„вектора Умова 7 и др, следует вместо модуля сдвига 0 подставить модуль Юнга Е или Е 1(12) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
