А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Можно показать, что время установления стационарного режима вынужденных колебаний после начала действия силы также равно т = 1/у. Установившиеся вынужденные колебания. В этом случае надо считать, что сила Р соз и/ начала действовать очень давно, т. е. в бесконечно далекий прошедший момент времени. Таким образом, принимаем, что уравнение (60.3) справедливо для всех моментов времени. Для его решения опять удобно воспользоваться комплексной формой гармонических колебаний, записав в этой форме силу, стоящую в правой части. Уравнение (60.3) принимает следующий вид: х+ 2ух+ а'„х = (Г,/т) е'"', (60.4) а его решение дается действительной частью решения уравнения (60.4). Зто решение ищем в виде х = Ае1з'.
(60.5) Здесь Л не является, вообще говоря, действительной величиной. Подставляя это выражение в (60.4), получим А ели ( — (Р+ 2/ур+ юа) = (Го/т) е'~'. (60.6) Зто равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, т. е. время 1 должно исключаться из него. Из этого условия следует, что (э = ю,. Найдя из (60.6) величину А н умножив ее числитель и знаменатель на и,' — ь' — 2/ув, можем написать 1 О Рр 1 ~ о м — м 2(у'э о (60.7) т ь) — ш~+ 2~ум п1 ((о„'— оРР+ 4у~оР Л = Аое'т, (60.8) (60. 8а) Я'„ 1 А о— У( „"— '~'+4уЧэ 2ум атум 18(р=— (60.86) Комплексное число (60.7) удобнее представить в экспоненциальной форме (см. (57.8)): 372 Глава 13.
КОз%ЬАНИЯ !аз. Амплитудная резонансная кривая Прн небольшом затузаннн резоненснал частота ораз банана н собственной оа Рваонанс наступает тогда, когда в системе возникают условия для наиболее эффективной передачи внвргии от источника внешней силы н колеблющейся системе. Что такое переводныйный режим и чем определяется его продолжительность! Чему равна частота вынужденнык колебаний при гармоническом внешнем воздействии! Какие особенности амплитудной резонансной кривой Вы можете указать! Какое свойство резонансной кривой карактеризует добротность! (60.11) Следовательно, решение (60.5) в комплексной форме имеет вид х = Аое' !от+ в>, (60.9) а его действительная часть, являющаяся решением уравнения (60.3), равна х = А, соз (и! + ф, (60.
$0) где А о и тр даются формулами (60.8а) и (60.86), а а — частота внешней силы. Таким образом, под влиянием внешней гармонической силы осциллятор совершает вынужденные гармонические колебания с частотой этой силы. Фаза и амплитуда этих колебаний определяются как свойствами силы, так и характеристиками осциллятора. Рассмотрим изменение фазы и амплитуды вынухсденных колебаний. Амплитудная резонансная кривая. К рнвая, описывающая зависимость амплитуды вынужденных установившихся колебаний от частоты внешней силы, называется амплитудной резонансной кривой.
Ее аналитическое выражение дается формулой (60.8а), а графическое изображение приведено на рис. 145. Максимального значения амплитуда достигает при частоте внешней силы, близкой к частоте собственных колебаний осциллятора (в ы,). Колебания с максимальной амплитудой называются резонансными, а само явление «раскачки» колебаний до максимальной амплитуды при то тоо называется резонансом. Частота боо в атом слУчае называетсЯ Резонансной.
Прн отклонении частоты внешней силы от резонансной амплитуда резко уменьшается. Рассмотрим физическую картину явления в различных областях частот. Наибольший интерес представляют колебания при малом трении. Поэтому будем предполагать, что у ~ ьо. СлУчай 1: бо ч~ тоо. Из фоРмУлы (60.8а) получаем для амплитуды следующее выражение: Ао стат ~~ хо/патов. 60.
Вынуждена а колебания. Резонанс Физический смысл этого результата состоит в следующем. При очень малой частоте внешней силы она действует на систему как постоянная статическая сила. Поэтому максимальное смещение (амплитуда) равно смещению (60Л1) под действием статической силы Ро т. е. хаах = (Рай) = (Ро/таю), где й = та„' — коэффициент упругости возвращающей силы.
Йз условия а «а, следует, что в уравнении движения (60.3) член х, обусловленный ускорением, и член 2ух, означающий скорость, много меньше члена а',х, связанного с упругой силой, поскольку х ~ ах, х ~ — азх. Поэтому уравнение движения сводится к следующему: а,'х = (Ро/т) соз а~, (60Л2) решение которого имеет вид х= (Р,/та',) соз аг. (60.12а) Это означает, что в каждый момент смещение является таким, каким оно должно быть, если бы сила не изменялась со временем и равнялась ее мгновенному значению. Силы трения роли не играют.
С л у ч а й 2: а )) а,. Из формулы (60.8а) получаем для амплитуды следующее выражение: А Ро/тоР. (60Л3) Физический смысл этого результата состоит в следующем. При очень большой частоте внешней силы член, обусловленный ускорением х, много болыпе каждого из членов, связанного со скоростью и упругой силой, потому что! х ! — ! азх ~ ~! аох ~;! х ! ! а'х~~ =~ 1 2ух ! ! 2уах ~. Поэтому уравнение движения (60.3) принимает вид х (Ро/т) соз аг, (60.14) а решение его представляется формулой х — (Ре/таз) соз Ы. (60Л4а) Таким образом, силы упругости и силы трения в сравнении с внешней силой не играют никакой роли в колебаниях.
Внешняя сила действует на осциллятор так, как если бы никаких сил упругости и сил трения не было. С л у ч а й 3: а аа Это есть случай резонанса. При резонансе амплитуда имеет максимальное значение, для которого из формулы (60.8а) при условии у «' ао получаем (60.15) Физический смысл этого результата заключается в следующем.
Член, связанный с ускорением, равен члену, обусловленному упругой силой, т. е. х = — а'х = — а,'-'х. Это означает, что ускорение Глава 13. КОЛЕБАНИЯ 374 создается силой упругости, а внешняя сила и сила трения взаимно компенсируются. Уравнение (60.3) имеет вид 2ух = (Га/и) соз юог, и его решение записывается следующим образом: х = (Ро/2ул>е>о) з1п о>о/. (60.16) (60.16а) Строго говоря, максимум амплитуды достигается не точно при о> = о>„а вблизи этого значения. Точное значение может быть найдено по общему правилу путем приравнивания производной от А, в (60.8а) по о> нулю.
Однако прп не очень большом трении, когда у < о>о, смещение максимума от а> = о>о весьма незначительно и не имеет смысла принимать его во внимание. Добротность. Важной характеристикой свойств осциллятора является рост амплитуды его колебаний в резонансе в сравнении со статическим ее значением, т. е. со смещением под действием постоянной силы. Из формул (60.11) и (60.15) следует: 4о реа а>о Ло стет 27 2>'2' 0 ' (60.17) где 0 — логарифмический декремент затухания. Величина 1) называется добротностью системы. Добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы.
Из формулы (60.17) видно, что чем меньше затухание осциллятора, тем более энергично он раскачивается в резонансе, поскольку Ао реа = Ао стаф = Ао стат (и/0), как видно пз (60.17). Важной характеристикой резонансных свойств является не только увеличение амплитуды в резонансе, но н интенсивность этого увеличения. Другими словами, валено не только значение резонансной амплитуды, но и насколько энергично уменьшается эта амплитуда при отклонении от резонансной частоты.
Это свойство характеризуется понятием полуширины резонансной кривой. Однако эта величина определяется не относительно амплитуды колебаний, а относительно квадрата амплитуды. Это связано с тем, что такая важнейшая характеристика линейного осциллятора, как энергия, дается не амплитудой смещения, а ее квадратом. Вид резонансной кривой квадрата амплитуды аналогичен рис.
145. Эта кривая изображена на рис. 146 вместе с указанием полуширины резонансной кривой: полушириной резонансной кривой называется расотояние в частотах Ло> от частоты резонанса (о> = о>о) до той частоты, где квадрат амплитуды убывает в 2 раза. Нетрудно вычислить эту полу- ширину. 375 Аг — „4г (Г, (60. $8) 146.
1 1 (60.19) Если затухание мало, то что происходит с фазой вблизи резонанса1 как ведет себя фаза при несколько бопьсием затухании! (60.20) А<о у уУ 1 1 ото а)о 2~г 2 9 ' (60.21) или 2Лто = сооф. (60.22) бб. Вынужденные колебтаюп. Резонанс Вблизи резонанса а = тоо можно счи- тать о ~ ~ („е т)з(4 тот т (ото — от)' (ото+ от) + 4у'то =(-');- Го'12 1 т / 4«т"„- (йто)'+4у'тое, ' где учтены частоты, близкие к резонансной, когда Лто (( тоос то = ото. Поскольку в резонансе Ао роз = (с о/пт)Ч4ухото, условие уменьшения амплитуды в два раза в сравнении с резонансным принимает вид 2 4у'сое 4>т„е(Ьто)'+ 4у'со„' и, следовательно, для полуширины резо- нансной кривой находим т.
е. полуширина равна декременту затухания: чем меньше затухание, тем меньше ширина и острее резонансная кривая. Более удобно формулу (60.20) выразить через логарифмический декремент затухания и добротность. Разделим обе части (60.20) на оэо и учтем (60Л7): Таким образом, ширина 2Лот резонансной кривой равна частоте резонанса, деленной на добротность.
При увеличении добротности возрастает резонансная амплитуда и уменьшается ширина резонансного максимума. Однако, как это следует из (60.17) и сказанного выше о переходном режиме, с увеличением Резонансная кривая квадра- та амплитуды По мех олределяется перине ре- яоненсе аот/2 Добротность, равная обратной величине логаритрмичесного денремента затуканиц умновеннпй на я, карантеризует интенсивность «расначни> нолебании" в резонансе и его остроту.
Добротность нанизывает, во снольно раз амплитуда в резонансе больше амплитуды статического отнлонения при одной и той те амплитуде силы. Ширина резонансной кривой определяется относительно не амплитуды лолебаниц а и ва др а т а амплитуды. 376 Глава 13. КОйЕБАНИЯ Фвзоввя резонансная кривая Ори малом затузани» е очень малом ннтераеле частот аблизи резонансно» фаза быстро менлетсл от значений. близни» н нулю, до значений, бензина и Л, т. а. на резонансной частоте лроиолодит «лереаорот» фазы Ускорение всегда отстает ло фазе от силы и телу больше, чем больше ее частота.
/7ри резонансе отставание равно тс/2. ззрн каном условии анализ воздействия на систему периодической, но не гармонической, силы сводится к простому прнменениуо результатов анализа для гармонической силы! Чем в принципе определяется заракгер воздействия на систему непериодической силыу добротности возрастает время установления вынужденных колебаний. Фазовая резонансная кривая. Другой валяной характеристикой вынужденных колебаний является соотношение их фазы и фазы внешней силы. В формуле (60.10) для смещения это соотношение определяется величиной ~р, поскольку зависимость силы от времени дается функцией соэ Ы. Если <р ( О, то смещение запаздывает по фазе от внешней силы.
Зависимость фазы ~р от частоты, выражаемая формулой (60.8б), называется фазовой резонансной кривой (рис. 147). При очень малых частотах оу ~ ав фаза ~р мала и отрицательна. Зто означает, что смещение отстает по фазе от силы на очень небольшую величину: с возрастанием частоты отставание смещения по фазе от силы увеличивается. При резонансе смещение отстатет от силы по фазе на я/2. Зто означает, что в тот момент, когда сила достигает максимального значения, смещение равно нулю, а когда сила равна нулю, смещение максимально. При дальнейшем возрастании частоты отставание смещения от силы продолжает увеличиваться и при очень больших частотах оу ".з аь приближается к я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
