А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 79
Текст из файла (страница 79)
(59.5) Сомножитель Ао ехр (ор8) не равен нулю. Следовательно, равным нулю должен быть другой сомножитель: — ро+2(ур+ыо —— О. (59.6) Глава 13. КОЛЕБАНИЯ 366 (59.8) А е-т~е-т. !ис у=(Ь!2т) ~о». (59.9) (59 10) х= А,е- т' соз Ы, График затухающих колеба- ний Наной смысл имеет понятие периода затухающих колебаний, хотя они непериодические! йз каких соображений можно заключить, что частота затухающих колебаний должна быть болыне частоты соответствующих собственных колебаний без затухания! Что такое логарифмический декремент затухания! Подставляя зти аначения для !1 в (59.3), находим искомое решение: Наличие знаков «-+.» в решении отражает тот факт, что уравнение (59.2) является уравнением второго порядка и, следовательно, должно иметь два независимых решения, которые получаются при различных знаках.
При не очень больших коэффициентах трения В этом случае а»" — уз» 0 и, следовательно, Й является вещественной величиной. Поэтому ехр (!Ю) есть гармоническая функция. В вещественном виде колебание, описываемое равенством (59.8), представляется формулой причем взята действительная часть комплексного колебания (59.8). Это есть колебание, амплитуда которого уменьшается, а частота й постоянна. График этого колебания изображен на рис. 143.
Это колебание не является периодическим и тем более оно не является гармоническим. Период гармонических (периодических) колебаний определяется как время, через которое колебание повторяется. В случае (59.10) колебания не повторяются,поэтому понятие периода теряет смысл. Тем не менее удобно говорить о периоде этих колебаний, понимая под периодом промежутки времени, через которые смещение обращается в нуль. В этом же смысле можно использовать представление о частоте колебаний 1« = 2и!Т. За амплитуду колебаний принимается величина А = А»с — т', даваемая формулой (59.10) и имеющая смысл максимальных отклонений при последовательных колебаниях.
эт. Затухающие колебания За7 Из формулы (59.10) видно, что амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,7 раза в течение времени тоот — 1/у. (59А1) В т 55 говорилось об экспоненциально быстром уменьшении физических величин. На основании сказанного там естественно назвать время т,„, временем затухания. Величина у называется декрементом затухания. Логарифмический декремент затухании. Сам по себе декремент затухания у не очень много говорит об интенсивности затухания колебаний. Например, в течение времени Ь| амплитуда уменьшается з от*' раз. Но в зависимости от периода колебаний за зто время происходит различное число колебаний. Если колебаний произошло много, то за каждое колебание имело место небольшое изменение амплитуды.
Если же колебаний произошло немного, то за каждое колебание амплитуда изменялась значительно. Ясно, что в первом случае в определенном смысле колебания затухают медленнее, чем во втором. Поэтому величину затухания необходимо отнести к естественному масштабу времени колебания, т. е. к периоду колебаний. Интенсивность затухания характеризуется затуханием мх амплитуды за один период колебания и поэтому вместо декремента затухания у удобно пользоваться так называемым логарифмическим декрементом аатухания. Найдем амплитуды колебаний в два последовательных промежутка времени, разделенных периодом колебания Т: Ат=Аое т'', Ао=Аое тп,+ т (59.12) Отсюда следует А,/А =етт.
(59.13) Поэтому изменение амплитуды колебаний за период характеризуется величиной з = уТ, называемой логарифмическим декрементом зату- хания. Из (59.13) находим 0 = 1п (А,/Ао). (59А4) Ах= Аое-т1, Аж+1=А,е-тп +лт>. (59.15) Логарифмический декремент затухания есть логарифм отношения амплитуд колебаний через один период. Логарифмическому декременту затухания можно дать и другую интерпретацию. Рассмотрим уменьшение амплитуды колебаний в течение Ф периодов, т. е.
за время УТ. Вместо формул (59,12) можно написать Глава 13. КОЛ!БАНИЯ 368 Поэтому отношение амплитуд, рааделенных интервалом времени в Ф периодов, равно А пу+ ~/А, = етпуг = елп. (59Л6) При ЖО = 1 амплитуда уменьшается в е раз. Поэтому можно ска- зать, что логарифмическим декрементом затухания 8= 1РФ (59.17) У = ВОе Ъ = 2 3I УПт. (59.18) Пр лал лееш уа л е ере у'ш е,. Пол а = + 63, где 6=)~у' — о,' является вещественной величиной, можно формулу (59.3) представить в виде х = Апе-<т~~»', (59Л9) причем очевидно, что у +- б = у ~- 3/у' — уа,' и О, Эта простая экспоненциальная функция никакого колебания не содержит. Ее график приведен на рис.
144. Все эти явления очень хорошо демонстрируются на колебаниях маятника, помещенного в жидкости с различной вязкостью. Если вязкость очень велика (например, в глицерине), то маятник из называется величина, обратная числу периодов, в течение которых амплитуда затухает в е раз. Такая интерпретация дает очень наглядное представление об интенсивности затухания: амплитуда затухает в е раз в течение числа колебаний, равного обратной величине логарифмического декремента затуханий. Если, например, О = 0,01, то колебания затухают лишь примерно после 100 колебаний.
В течение 10 колебаний амплитуда изменяется очень мало, примерно на 1/ и своего первоначального значения. Благодаря этому при рассмотрении процессов, происходящих лишь в течение небольшого числа периодов, в первом приближении можно считать колебания незатухающими. По-другому обстоит дело при большем логарифмическом декременте затухания. Если О = 0,1, то уже после 10 колебаний они полностью затухнут. За несколько колебаний затухание уже значительно. Поэтому при рассмотрении процессов, происходящих даже в течение нескольких периодов, нельзя в 'качестве приближения считать колебания незатухающими.
Случай большого трения (у ~ суп). При увеличении трения период колебания увеличивается. При большом трении движение вообще перестает быть колебательным. Это наступает при условии очень большого Случай трения нииаима колебаний Г|раитииасми наа (59.20) эт. Затухакнцне колебания отклоненного положения медленно опускается к среднему положению.
Это движение ни в каком смысле не напоминает колебание. Расчет затухания исходя из потерь энергии на трение. Как уже было отмечено, энергия колебаний осциллятора расходуется на преодоление сил трения и вследствие этого уменьшается. Поэтому закон уменьшения амплитуды можно найти, исходя непосредственно из работы сил трения. Работа сил трения за один период колебаний равна ЛЮ= — — Ь кгЬ= — Ь кзй= т Ь'и'з = — Ь )гз згпз гог а = — — Т, 2 где учтено, что рассматривается случай малого затухания, так что в течение одного периода можно пренебречь в первом приближении изменением амплитуды 1г колебаний скорости.
С другой стороны, потеря энергии на совершение работы против сил трения за один период есть разность кинетических энергий частицы через один период, равная ЛИ' = —, (р', — ) за) = =-2(Р,— ) з) (Р,+ Рз)="2 2~ ~Р, (59.2~) где принята во внимание малость уменьшения амплитуды за один период колебаний. Приравнивая правые части соотношений (58.21) и (58.20), получаем ЬР 2 Т=лттг Ь(г или — = — — тг. (59.22) Л'и' Ь Т 2т Период Т при слабом затухании является малым промежутком времени в сравнении с тем, когда затухание заметно.
В течение времени Т изменение амплитуды скорости колебаний Л'г' мало. Поэтому в (59.22) можно считать, что (Л$'/Т) м НУЯ1, и тогда Обратнал величина логарифмического декремента затухания равна числу периодов, в течение ноторы» амплитуда затухает в е раз.
Чем больше логарифмический денремент, тем сильнее затухание колебаний. Какие важные особенности затухания колебаний характеризуются декрементом затухания3 Прн каком условии затухающее колебание вырождается в экспо« ненниальное уменьшение отклонения от положения равновесия без какого-либо колебательного движения! Глава 13.
КОЛЕБАНИЯ 370 получаем уравнение для изменения амплитуды скорости колебаний со временем: ык — = — уУ ~й (59.23) где учтено, что (Ы2т) = у есть декремент затухания. Хорошо известно, что решение уравнения (59.23) имеет вид У = Рэе 1'. (59.24) Это затухание амплитуды скорости полностью соответствует затуханию амплитуды смещения, которое дается формулой (59.10), выведенной при строгом решении уравнений движения. Поэтому проведенный расчет показывает, что энергия осциллятора действительно расходуется на преодоление сил трения. 60.
Вынужденные колебания. Резонанс Внешняя сила. Наряду с трением на линейный осциллятор моя ет действовать какая-либо другая внешняя сила. Характер движения линейного осциллятора при этом изменится в зависимости от особенностей действующей силы. Наиболее важным является случай гармонической внешней силы. В дальнейшем будет показано, что более сложные случаи изменения внешней силы со временем сводятся к этому простейшему.
Поэтому будем считать, что внешняя сила действует на линейный осциллятор по следующему закону: Р = Рэ сов эя, (60Л) (60.2) Разделив обе части на т, получим уравнение в виде, аналогичном (59.2): х+2ух+о,'х =(Рэ)т) сова!, (60.3) где величины у и ы имеют те же значения, что и в (59.2). Переходный режим. Если считать, что внешняя периодическая сила начала действовать на линейный осциллятор в некоторый момент времени, то его движение в течение определенного промежутка времени зависит от движения в момент начала действия силы. Однако с течением времени влияние начальных условий ослабевает и движение осциллятора переходит в режим установившихся гармонических колебаний. Каковы бы ни были условия в момент начала действия внешней силы, после некоторого промежутка времени осциллятор будет совершать одни и те же установившиеся гармо- где Р— амплитуда силы, а — ее частота.
Уравнение движения. Вместо (59.2) движение описывается следующим уравнением: тх = — йх — Ьх+ Рэ соз Ы. 60. Вынужденные колебания. Резонанс нические колебания. Процесс установления колебаний называется переходным режимом. Прн рассмотрении переходного режима самым важным является вопрос о его продолжительности.
Она определяется временем затухания колебаний, которые имелись в момент начала действия внешней силы. Зто время нам известно — оно равно т = 1/у. Это есть тот промежуток времени, после которого можно забыть о первоначально существовавших колебаниях и рассматривать ~только установившиеся под действием внешней силы колебания. С другой стороны, если начальных колебаний не было, то вынужденные колебания не мгновенно достигнут своей стационарной величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
