А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 76
Текст из файла (страница 76)
133, в). По закону Гука, при растяжении или сжатии пружины возникает противодействующая сила, пропорциональная растяжению или сжатию, т. е. выражение для силы со стороны дружины имеет вид / = — йх, и мы приходим к уравнению линейного осциллятора. Таким образом, тело, колеблющееся на пружине, является моделью линейного осциллятора, 57. Гармонические колебания х+а~х=О, (57.3) гдв а' = Ит ) О. Производные по времени обозначаются точками. Гармонические функции. Непосредственной проверкой убеждаемся, что решением уравнения (57.3) являются ейп Ы и соз Ы. Это уравнение является линейным. Сумма решений линейного уравнения и произведение какого-либо решения на произвольную постоянную величину также составляет решение.
Поэтому общее решение уравнения (57.3) имеет вид (57.4) х (г) = А| з1п гвг + Ая соз вг, где А, н А, — постоянныв. Функция такого вида называется гар- монической. Если в разложении для силы наряду с членом, пропорциональным первой степени отклонения, сохранить также и член, пропорциональный х' или х~, приводящий к нелинейности колебаний, то получающаяся при этом колебательная система называется ангармоническим осциллятором. Ее основные особенности будут рассмотрены в з 58. Однако, как было показано, почти все физические системы при достаточно малых отклонениях ведут себя как линейные осцилляторы.
Это связано с математической возможностью разложения силы в ряд по формуле (57.1). Спрашивается, в чем же тогда состоит физическое содержание закона Гука? Оно сотоит не в том, что сила пропорциональна отклонению, а в том, что этот закон силы справедлив в большой области отклонений. Иначе говоря, физическое содержание закона Гука состоит в утверждении, что в формальном математическом разложении (57Л) линейный член х~' (0) играет главную роль не только при очень малых величинах х, но и при достаточно больших. Другим примером линейного осциллятора являются физический и математический маятники при достаточно малых углах отклонения, которые были рассмотрены в $51. В качестве модели линейного осциллятора можно взять либо грузик на пружине (рис.
133, а), либо маятник. Тот факт, что большинство физических систем при малых отклонениях ведут себя как линейные осцилляторы, обусловливает чрезвычайно большую важность изучения его движения для всех областей физики. Уравнение гармонических колебаний. Уравнение (57.2) движения линейного осциллятора удобно представить в таком виде: Глава $3. КО3%БАНИЯ Амплитуда, частота, фаза. Выражение (57.4) целесообразно преобразовать к другому виду: А, ! Ы+А,~В 1=1 А,'+А',( ' впво-)- ' сщ~~) А~ -~- А,' А,'-~-А~ =.4Сы~чю~~+ ьч~ю~г)=.4вы~~г+Ч1 <575> пе по в в Ч=АЛ'А',-~-А'„в!~у=А~ф А1-~-А'„ваяв о обозначение А = р'А*,+ А,'.
Таким образом, уравнение гармонических колебаний (57.4) может быть представлено в виде (57.6) График атой функции с обозначением 'входящих в (57.6) величин показан на рис. 134. Величина А нааывается амплитудой, ю— частотой гармонического колебания, а величина, стоящая в аргументе синуса (или косинуса), юг + «р — фазой колебания.
Значение фазы у при г = 0 называют начальной фазой или просто фазой. Как видно иа (57.6), величина х повторяется через промежутки времени Т = 2я/в. Такая функция называется периодической, а Т— ее периодом. Поэтому гармонические колебания являются периодическими. Однако, конечно, не всякая периодическая функция является гармонической. Гармонической она будет лишь тогда, когда ее можно представить в виде (57.6) с определенными частотой, фазой н амплитудой. Представление гармонических колебаний и комплексной форме.
При изучении гармонических колебаний приходится их складывать, разлагать на составляющие, решать более сложные, чем (57.3), уравнения н т. д. Все это значительно упрощается, если воспользоваться теорией комплексных чисел н представлением гармонических колебаний в комплексной форме. В декартовой системе координат действительная часть комплексного числа откладывается по оси абсцисс, а мним໠— по оси ординат (рис. 135).
Далее используем формулу Эйлера (57.7) которая дает возможность выразить любое комплексное число х = х + ~у в экспоненциальной форме (рис. $35): (57.8) Величина р называется модулем комплексного числа, а — фазой. 434. График функции гармонической (57.9) х, = р,еем . хт = р,е'" Почему прн рввнове снн системы в точке в=О, если >'(0)=0.
то должно быть >"(0)=0! Если в предыдущем случае Г'[О)чьО, то может лн быть >'"(0)Ф01 ха Ае*'кы+е> (57ЛО) $33. 12 Механика и теории отноентеианоети 37. Гармонические колебарвня Каждое комплексное число х может быть представлено на комплексной плоскости в виде вектора, проведенного из начала координат в точку с координатами (х, у). Складываются комплексные числа по правилу параллелограмма. Поэтому для сокращения можно говорить о комплексных числах как о векторах, если речь идет об их сложении. Умножение комплексных чисел лучше производить в комплексном виде: х = х,гз = р,р,е' «' + "*>, Таким образом, при перемножении ком- плексных чисел модули перемножаются, а фазы складываются.
Здесь мы не будем более подробно останавливаться на изложении этих чисто математических вопросов. Для более полного ознакомления с ними можно обратиться к любому курсу по алгебре комплексных чисел. Вместо действительной формы записи гармонических колебаний (57.Б) можно воспользоваться комплексной формой: Графическое представление комплексиыи чисел и деиствий иад ними Глава 13. КОЛЕБАНИЯ Представление гармонических колебаний в комплексной форме В чем состоит физическое содержанме закона Гукал Прм каких условиях анализ малых отклонений системы от положений равновесия не удается свести к учету пикейного членал Чем определяются частота, амплитуда и фаза гармонических колебаним1 Величина х в (57.10) является комплексной и не может давать реального физического отклонения, которое характеризуется вещественной величиной х вида (57.6). Однако мнимая часть этой величины может рассматриваться как действительное гармоническое колебание (57.6), выражаемое синусом.
С другой стороны, действительная часть (57.10), равная А соз (Ы+ + гр), также представляет собой вещественное гармоническое колебание. Поэтому гармоническое колебание можно записать в форлле (57.10) и производить все необходилтые расчеты и рассуждения. В окончательном результате для перехода к физическим величинам необходимо взять действительную или мнимую часть полученного выражения. Как это делается, будет видно на многих примерах в последующем.
График гармонического колебания в комплексной форме (57.10) изображен на рис. 136. Значение различных величин, входящих в формулу (57.10)„видно непосредственно на рисунке: А — амплитуда, гр — начальная фаза, отт + гр — фаза колебания. Комплексный вектор А вращается вокруг начала координат против часовой стрелки с угловой частотой ол = = 2я/Т, где Т вЂ” период колебаний.
Проекции вращающегося вектора А на горизонтальную и вертикальную оси являются действительными физическими колебаниями, которые нас интересуют. Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты. Пусть даны два гармонических колебания с одинаковой частотой, но с раалвчными начальными фазами и амплитудами: х, = А, соз (олг+ гр,), хл = Аз соя (о)1+ грт). Требуется найти суммарное колебание х = х, + х,. Гармонические колебания (57.11), будучи представленными в видо (57ЛО), составляют ее действительную часть.
Поэтому искомый результат сло- 57. Гармонические колебания 355 Сложение гармонических колебаний, предстааленных Аг~~зтг !сват! Агсоатг А!сват! а комплексной форме х = х1+ х, = А соа (сог+ ф), жения колебаний (57.11) является действительной частью комплексного числа: х = х1 + ха = А ге' ем + оп + А ге' <"'~+ еп = е'е' (А,е1е~ +..4ав1лн) (57.12) Сложение двух величин в скобках легко производится в векторной форме (рис. 137). На рнс. 137 непосредственно видно, что А,есе + Ахеян = Аеьр, (57.13) А'=А1+А',+2А,Аасоз(ф,— ср,), (57.13а) А1а1пф,+Аха|пфа (57 13б) А, соаф,+А, соэф," Следовательно, вместо (57.12) получим х=х, +ха=Аз' ам+о>, (57.14) где А и ф определяются формулами (57ЛЗа) и (57.13б).
Отсюда следует, что сумма гармонических колебаний (57Л1) дается формулой где величины А и ф имеют то же значение, что и в (57.14) Свойства суммы гармонических колебаний можно выяснить непосредственно по рис. 137, Ясно, что вся картина, изображенная на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
