А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Это значение и„р и будем принимать в дальнейшем, хотя оно в некоторых пределах зависит от роста и массы парашютиста, ориентировки его тела относительно направления движения, от атмосферных условий и т. д. Направим ось Х по вертикали, вверх, а начало координат х = 0 поместим на уровне Земли.
Поскольку сила сопротивления воздуха при тех скоростях, с которыми мы в рассматриваемом случае имеем дело, пропорциональна квадрату скорости, уравнение движения можно записать в виде Гл а за 12. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 34? С учетом этого выражения для х уравнение (55.5) перепишем в виде <Ь (ипр и?. Отсюда, интегрируя, получаем: 1 пер+ и ,— 1п 2ппр пер †пцр Потенцпруя это выражение, находим 1 — ехр ( — 2е(/ппр) и = — ип пР 1+ ехР ( — 2ф/ппр) Для начального периода падения, когда жить экспоненты в ряд и ограничиться ех р ( — 2д(/ип р) 1 — 2ф/ипр. В этом случае из формулы (55.6) имеем и= — лг, (55.6) 2д(lипр ч, 1, можно разлолинейным по г членом: (55.7) ! (' 1 — ехр ( — 2д~/ппр) ип "" ~ 1+ехр ( — 2рг/ппр) с(( = ~ ( 2 ехр ( — 2д8/ппр) сЫ.
1+ ехр ( — 2ХС/ппр)/ (55.9) Это означает, что в начальной стадии практически происходит свободное падение, а сила сопротивления воздуха не играет существенной роли. При дальнейшем увеличении скорости роль силы сопротивления воздуха возрастает и становится определяющей при скоростях, близких к предельным. В атом случае имеем (2д(/ипр) *> 1 и можем пренебречь экспонентой в знаменателе формулы (55.6). Тогда она примет вид (ипр — и)/и,р — — ехр ( — 2л(/и„р).
(55.8) Таким образом, при 1 = 10 с скорость отличается от предельной примерно на е-4 1/50, т. е. на 1 м/с. Поэтому можно считать, что парашютист достигает предельной скорости примерно через 10 с после начала падения. График скорости парашютиста в зависимости от времени падения показан на рис. 128. Интегрируя обе части равенства (55.6) по времени, найдем путь, проходимый парашютистом при падении: 343 2 4 б 8 10 !2 14 55. Движение лри наличии жидного трения Принимая во внимание, что ехр ( — 2пт/пп ) М= 1+ ехр ( — 2ст/ип„) 2 гт 1п (1+ ехР ( 2ат/ипр)1 2п Огй=дх, нз (55.9) получаем /~о — х = ппр 2 = Опр (55.10) д (+ ехр ( — 24т/пп„) ) ' где Ьв есть высота, с которой начинается падение парашютиста.
Из этой формулы определяем, что за 10 с парашютист пролетит около 350 м. Весь остальной путь до открытия парашюта он движется почти равномерно с предельной скоростью. Зависимость пути от времени показана на рис. 129. Предельная скорость снижения человека с открытым парашютом несколько меньше 10 м/с, Поэтому при открытии парашюта скорость парашютиста в короткий промежуток времени уменьшается от 50 и/с до примерно 10 м/с, что связано с возникновением больших ускорений и, следовательно, больших сил, действующих на парашютиста. Действие этих сил называется динамическим ударом. При выпрыгивапии парашютиста из быстролетящего самолета, скорость которого может достигать нескольких сотен метров в секунду, картина движения его коренным образом меняется. После выбрасывания парашютиста нз самолета его скорость в короткий промежуток времени уменьшается от скорости самолета до примерно 50 м/с.
Ускорение парашютиста при этом очень большое, а следовательно, большой и динамический удар. Поэтому при катапультировании из самолетов, летящих с большой скоростью, особенно из сверхзвуковых, принимаются специальные меры, обеспечивающие безопасность летчика непосредственно после момента ката пул ьтировани я. 0 10 20 30 40 50 бО -п,м с т 28. Зависимость скорости свободного падения парашютиста от времени 10 20 30 пп Ь,-100 Ь;300 ао-200 т19. Зависимость пути при свободном падении парашюти- ста от времени Глава 12. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 344 зб. Тренне качения Доказательство существования. Пусть цилиндр скатывается с наклонной плоскости без скольжения.
Динамика движения цилиндра при наличии лишь сил трения покоя была рассмотрена в $ 51, Предположение о качении без скольжения означает, что соприкасающиеся точки цилиндра и плоскости не скользят друг относительно друга вдоль поверхности соприкосновения. Поэтому между ними действуют силы трения покоя. Именно силы трения покоя составляют тангенциальную силу Т на рис. 109, которая вместе с силой тд з!и а приводит к .вращению цилиндра, Представим себе, что поверхность наклонной плоскости и цилиндр абсолютно недеформируемы.
Тогда они должны соприкасаться между собой по геометрической линии. В этом случае никаких других сил, кроме силы Т трения покоя, не возникает. На линии соприкосновения материальные частицы цилиндра и наклонной поверхности не испытывают взаимных перемещений в направлении силы трения. Поэтому работа силы трения равна нулю и никаких потерь на трение нет. Следовательно, качение без скольжения абсолютно недеформируемого цилиндра по абсолютно недеформируемой поверхности не должно сопровождаться потерей энергии на трение, хотя сила трения покоя существует и обеспечивает качение. Если к оси цилиндра приложена очень большая сила, то качение без скольжения невозможно.
В атом случае угловая скорость вращения цилиндра меньше, чем требуемая для обеспечения качения без скольжения, вращение цилиндра «не успевает» за перемещением его оси с линейной скоростью и начинается скольжение в местах соприкосновения цилиндра и плоскости. При скольжении сила трения равна максимальной силе трения покоя (если не учитывать возможной зависимости силы сухого трения от скорости). Однако, поскольку в этом случае частицы цилиндра и плоскости, соприкасающиеся друг с другом, взаимно перемещаются по линии действия сил трения, они производят отрицательную работу, вследствие чего кинетическая энергия превращается во внутреннюю.
Это будет справедливо и в том случае, когда цилиндр и поверхность абсолютно недеформируемы. Однако в реальных условиях имеются потери кинетической энергии даже при качении без скольжения. Например, цилиндр, катящийся без скольжения по горизонтальной плоскости, в конце концов останавливается. Если при скатывании цилиндра с наклонной плоскости измерить очень точно его кинетическую энергию в конце скатывания, то она оказывается меньше той потенциальной энергии, которая превратилась в кинетическую, т. е.
имеются потери энергии. Причины этих потерь — силы трения качения, которые не сводятся ни к трению покоя, ни к трению скольжения. Механизм возникновения. Из изложенного ясно, что возникновение сил трения качения связано с деформацией.
Однако нетрудно 56. Трение качения 345 видеть, что абсолютно упругие деформации ие в состоянии привести к появлению каких-либо сил, тормозящих движение (рис. 130). Деформации подвергается как плоскость, так и колесо. Колесо несколько «сплющивается», что в увеличенном размере показано на рис. 130. Пунктиром обозначен нижний обод колеса при отсутствии его деформации.
Силы Гт и Г, являются равнодействующими сил, приложенных к деформированному колесу со стороны участков деформированной поверхности впереди вертикальной линии и позади нее. Полная сила, действующая на колесо, равна Г, + Гз, а момент сил относительно оси колеса равен сумме моментов сил Г и Г,. Момент силы Г, стремится увеличить скорость вращения колеса, а момент силы à — уменьшить ее. При абсолютно упругой деформации вся картина сил симметрична относительно вертикальной линии, проходящей через ось колеса. Следовательно, моменты сил Р, и Г, взаимно компенсируются, а суммарная сила Р, + Г, проходит через центр колеса и имеет лишь вертикальную составляющую, которая уравновешивает его силу тяжести (и всего, что на него опирается).
Никакой горизонтальной силы нет. Следовательно, не возникает и сила трения качения. По-другому обстоит дело, если деформации не являются абсолютно упругими, как это имеет место в реальных ситуациях. В этом случае картина имеет вид, изображенный на рис. 131. Силы Г, и Г различны. Сумма этих сил имеет как вертикальную составляющую, которая уравновешивает силу тяжести колеса, так и горизонтальную, направленную против скорости и являющуюся силой трения качения. Моменты сил Гд и Р направлены противоположно и не равны друг другу. Момент силы Р„тормозящий вращение, больше момента силы Г,, его ускоряющего. Поэтому суммарный момент сил 15б. При абсолютно упругой деформации равнодействующая сил Г~+ Гг проходит через ось колеса и трения качения ие возникает Почему отсутствует трение качения для абсолютно твердык тел! Почему отсутствует трение качения, если деформации абсолютно упруги! чГнч .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
