А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 70
Текст из файла (страница 70)
рис. 115). Пусть к гироскопу приложен момент внешних сил. Гироскоп вращается вокруг своей оси с очень большой угловой скоростью ат, поэтому возможная нутация его оси вращения по поверхности конуса вокруг геометрической оси (см. рис. 113) очень мала. При рассмотрении движения оси гироскопа под действием момента внешних сил ею можно пренебречь. Поэтому будем считать, что ось вращения все время совпадает с осью симметрии гироскопа и момент импульса Х = Ует.
Ось вращения совпадает с центральной главной осью инерции гироскопа, причем она выбирается так, чтобы быть устойчивой. Вокруг этой осн осуществляется свободное устойчивое вращение. Зто направление оси устойчивого вращения сохраняется. Например, если, взявшись за основание карданного подвеса, изменять произвольным образом его ориентировку, то шарниры будут вращаться таким образом, чтобы ось сохраняла неизменное направление в пространстве.
Поэтому если кардая укреплен на каком-либо теле, например на ракете, то при произвольном движении ракеты ось сохраняет неизменное направление в пространстве относительно системы неподвижных звезд. Находясь на ракете, в любой момент можно определить ее ориентировку в пространстве, зная положение ракеты относительно 324 Глава 11. ДИМАляИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА т$4. Карданный подвес обеспекивает беспрепятственное изменение взаимной ориентировки тела и подвеса, с которым оно связано Прецессией назыеаетсн движение оси гироснона нод действием внешнего момента син, нриножениби' н ней, оси.
Это обстоятельство делает гироскоп важнейшим навигационным инструментом при полете ракет. Он является также главным элементом автопилота — устройства, которое обеспечивает автоматическое управление полетом самолета. Известны также многие другие его применения. О некоторых из пих будет сказано позднее. Допустим, что точка подвеса гироскопа ке совпадает точно с его центром масс. Тогда при ускоренном движении кардана под действием сил инерции к оси гироскопа прилагается момент сил. Если кардан установлен на земле, то сила тяжести также создает момент сил, приложенных к оси гироскопа. При наличии момента сил эта ось начинает двигаться и изменяет свое направление в пространстве.
Это движение под действием момента внешних сил нааывается прецессией гироскопа. Направление и скорость прецессии. Основное свойство гироскопа, которое объясняет его поведение под действием сил, состоит в том, что вектор момента импульса Я примерно совпадает с вектором угловой скорости то, направленным примерно вдоль центральной главной оси гироскопа, вокруг которой происходит вращение. Строго говоря, эти три вектора не совпадают.
Однако отклонения от совпадения очень малы и имн будем пренебрегать. Поэтому будем считать, что вектор г1 = Уто всегда совпадает с центральной главной осью гироскопа. Такое совпадение обеспечивается гироскопическими силами. Их природа будет выяснена в гл. 14. Здесь же заметим лишь, что они обусловлены так называемыми кориолисовыми силами. К гироскопу удобно применить уравнение моментов ЗЯБ =М, (52Л1) поскольку изменение Я описывает непосредственно движение его оси.
Зная М, 1г ИЗ. Процессия гироскопа Ось быстрого врвщеиии гиросио- ла, веитор угловой сиорости Н и момент импульса Х считаем сов- падающими всегда можно определить направление движения оси по соотношению ИХ = МШ. На рис. 115 ось гироскопа расположена горизонтально, а сила Г создает момент М = 1Р, перпендикулярный плоскости черте>ка. Если бы гироскоп не находился в быстром вращении, то под действием силы Г его ось должна была бы наклониться вправо.
Но наличие вращения полностью изменяет результат действия силы. Поскольку ИХ = Мй, конец оси начнет двигаться в горизонтальной плоскости. Если при этом Г сохраняет постоянное значение (например, если Г создается грузом, подвешенным к гироскопу на некотором расстоянии от точки опоры), то движение конца происходит с постоянной угловой скоростью ьб. Ось гироскопа вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку опоры гироскопа, с угловой скоростью прецессии. В результате прецессии полная скорость вращения е + И не совпадает с осью гироскопа. Однако, ввиду того что га ' ь ь1, это несовпадение незначительно, и по-прежнему, несмотря на наличие прецессии, можно считать, что угловая скорость быстрого вращения все время совпадает с осью гироскопа и с моментом импульса Х. О тта.
Вектор Й изменяется лишь по напрааланию, его абсо- лютное значение сохраняет ся 51. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскоган йр М «1 1Ч Ге (52.12) Период гироснопичесного маятника гарантеризует способность его оси вращения согранять неизменное направление в пространстве при действии на него момента внешник сил. Гироскопический маятник Глава 11. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Угловая скорость вращения легко может быть вычислена.
На рнс. 116 изображен ход прецессии гироскопа в горизонтальной плоскости. Точка О есть след осн прецессии. Очевидно, что сйЧ = = ММ = ФНу. Отсюда согласно определению находим угловую скорость: Характерной особенностью прецессии является то, что она не имеет «инерции» вЂ” прецессионное движение прекращается в момент прекращения действия момента снл, как это видно непосредственно из (52.11).
Поэтому ее поведение аналогично не скорости, а ускорению, потому что ускорение прекращается одновременно с прекращением действия силы. Гироскопический маятник. Рассмотрим случай, когда ось гироскопа закреплена в одной точке и подвешена за нить на ее конце (рис. 117; ср. с рис. 115). Кроме того, в этом случае ось расположена не горизонтально, а под углом а к вер- 51. Движение твердого тела, закрепленного в точке.
Гироскопы 32У тикали. Непосредственно видно, что М = тя1 з1п а, о1т' = = Ж ып ась = тра з(п аот н, следовательно, Й = (Йрlог) =- (тфlдг). Таким образом, угловая скорость не зависит от угла наклона оси гироскопа к вертикали. Это связано с тем, что при изменении угла изменяются одновременно момент силы и расстояние в горизонтальной плоскости от оси вращения до конца вектора Х. Независимость скорости прецессии такого гироскопа от угла наклона его оси дало повод назвать его гироскопическим маятником. Период обращения этого маятника Т = 2тт!й = 2и1в!тя1 при достаточно больших значениях момента инерции 1 н угловой скорости вращения в и малой величине 1 может быть очень большим и составлять минуты и даже часы. Математический маятник с таким большим периодом имел бы громадную длину.
Длина математического маятника, период колебаний которого равен периоду прецессии гироскопического маятника, называется приведенной длиной гироскопического маятника. Поскольку период математического маятника с длиной 1„равен Т = 2а)11~/д, приведенная длина рассмотренного гироскопического маятника равна 10 = я (1в/эта), т. е.
при достаточно больших 1ю и малых 1 может быть действительно очень большой. Яйцеобразный волчок. Если волчок опирается на подставку очень острым концом, то его ось прецессирует, двигаясь по поверхности конуса, как это было только что рассмотрено. Это гироскопический маятник, но точка его опоры находится ниже центра массы. Если же волчок опирается на достаточно широкий конец, так что нельзя считать, что он соприкасается с поверхностью в одной точке на оси вращения, явление значительно усложняется. Если волчок имеет яйцеобразную форму и при вращении опирается на поверхности своим более острым концом, то его ось стремится принять вертикальное положение, а при опоре на более тупой конец ось сначала опускается до горизонтального положения, а затем принимает вертикальное положение, но таким образом, чтобы вращение волчка продолжалось уже на более остром конце.
Такое поведение обусловливается действием сил трения (см. гл. 12), которые создают момент, вызывающий движение оси волчка в вертикальной плоскости. Пусть на гироскопический маятник действуют некоторые факторы, которые стремятся увеличить скорость его прецессии, например сила Г, приложенная к оси в направлении ее прецессии (рис. 118, а). Нетрудно видеть, что эта сила создает относительно точки закрепления гироскопа момент М, направленный вверх, который и вызовет подъем оси гироскопа. Из аналогичного рассмотрения можно заключить, что факторы, приводящие к уменьшению скорости прецессии, приводят к опусканию оси. Применим этн соображения к движению яйцеобразных волчков.
На рис. 118, б, в изображен такой волчок, движущийся на остром и тупом концах. Соприкасаясь с поверхностью стола не по оси 328 Глава 11. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА б) гг х в) 11З. Подаем и опускание яйцеобразного волчка оси вращения, волчок начинает катиться по столу благодаря наличию сил трения в точке соприкосновения со столом. Непосредственно видно на рис. 118, 6, что это качение приводит к дополнительному движению оси вращения в том же направлении, в каном она движется из-за прецессии, скорость прецессии при этом увеличивается и, следовательно, ось гироскопа будет подниматься.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
