А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Если нить недостаточно прочна, то она может порваться. Физический маятник. Физическим маятником называется твердое тело, подвешенное на горизонтальной осп в поле тяготения (рис. 111). Движение маятника как целого отсутствует. Поэтому уравнение движения (48.1) нет необходимости йинетичесная энергия катящегося цилиндра слагается из нинетичесник энергий поступательного движения центра масс и вращения. Поэтому лри снатыеании ло нанлонной ллосности снорость центра масс цилиндра меньиге, чем если бы он соснальзмвал без вращения, Почему дпп плоского движение целесообразно уравнение движения и уравнение моментов записывать относительно точки, через которую проходит центрапьнав гпаанал ось, лерпенднкуллрнав плоскости даиженмМ йО Физический маятник Гла за 11. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 314 писать.
Уравнение моментов имеет следующий вид (рис. 111): (51.13) 1 (сЬа(с!с) = — тф а(п а, со = с(а(й, Знак минус в уравнении означает, что момент сил направлен против увеличения угла а; 1 есть момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса.
Если угол отклонения мал, то с большой точностью можно считать, что з)п а = а, и переписать уравнение (51ЛЗ) в виде (Ра пу( — + — а=О. лР (51Л4) Решениями этого уравнения являются функции з1п (тф(1)'Я! или соз (тя!(1)'*!. Маятник совершает колебания с малой амплитудой, частота и период которых определяются формулами: й = ~/ туЦ1, Т = 2я(й = уф 1(тд!.
(51.15) Такие колебания называются гармоническими. Их свойства будут рассмотрены в гл. 13. Здесь же отметим лишь некоторые обстоятельства. Пусть физический маятник состоит из материальной точки массы т, подвешенной на невесомом твердом стержне длиной 1 и колеблющейся около точки О. Такой маятник называется математическим. Заметив, что для него как твердого тела 1 = тР, из (51.15) находим период колебаний математического маятника: Г=о ~'еР/тЗ=2 ~1Я. (51Л6) Обозначим через 1, момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через его центр массы. По теореме Гюйгенса имеем 1 = 1, + т(о, и формула (51.15) для периода колебаний физического маятника принимает зид Т = 2я 'г' (1о+ тР)(тд1 = 2я )/ (1о(тдц)+ (!(я).
(51 Л7) Сравнение формул (51.16) и (51.17) показывает, что математический маятник, длина которого равна расстоянию между точкой подвеса и центром масс физического маятника, имеет меньший период, чем физический маятник. Чтобы период колебаний математического маятника был равен периоду колебаний физического маятника, его длина должна быть больше. Длина математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника, называется приведенной длиной соответствующего физического маятника. Из сравнения формул (51.16) и (51Л7) видно, что приведенная длина физического маятника равна )„р —— (1(т1). Точка физического маятника, расположенная на расстоянии 1 р от точки 51.
Плоское движение. Маятники — = сс = — й в1п а, Й = те~1. сто Ю (51.18) При интегрировании отсчет удобно вести от положения максималь- ного отклонения а„когда скорость маятника равна нулю (ао = О). Имеем а а ~ас(а= — й ~ в1пада. (51.19) а, Преобразуем подынтегральные вырансеяия: с1 !а~',. ав ~ сс сЬ = аа Й = —;! -, ~ Й = д ', — ~, вгп а Ыа = — — Ы сов а ',2/' и из (51.19) находим а'= 2й(сова — сова„). (51.20) Это равенство выражает закон сохранения энергии для маятника.
Переписав уравнение (51.20) в виде = )/ай, 3'сов а — сов а„ (51.21) можно интегрированием найти решение задачи в неявном виде: а — = )/211. 4~ 3~ сова — сова, подвеса на прямой, проходящей через центр тяжести, называется центром качаний. Если физический и математический маятники с приведенной длиной колеблются около одной и той же оси, то материальная точка математического маятника и центр качания физического маятника движутся синхронно, если их вначале одинаково отклонить и одновременно отпустить колебаться. Основное свойство центра качаний физического маятника состоит в том, что при подвесе маятника на ось, проходящую через этот центр, период колебаний не изменится.
Таким образом, при переносе точки подвеса в центр качаний прежняя точка подвеса становится новым центром качаний, т. е. точка подвеса и центр качания обратимы. Доказательство следует непосредственно из теоремы Гюйгенса и формулы для периода колебания маятника. Если амплитуды колебаний физического маятника не очень малы, то от уравнения (51 13) нельзя перейти к (51.14). В этом случае необходимо решать нелинейное уравнение (51.13): Глава 11.
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 31б Воспользовавшись формулой соз а = 1 — 2 ыпв (а/2), получаем а = 2)/ /сс. о Ув(п' (а,/2) — в! и' (а/2) (51.22) Введем новую переменную интегрирования 0 с помощью соотно- шения ып 0 = з1п (а/2)/ып (а,/2). Тогда равенство (51.22) принимает следующий вид: (51.23) д8 у— У1 — в(пв (а,/2) вш' 0 (51.24) Интеграл, стоящий в левой части, называется эллиптическим.
Он хорошо изучен. Составлены таблицы его значений, с помощью которых можно проанализировать колебания маятника с любыми углами отклонений. Однако для не слишком больших углов целесообразно представить этот интеграл приближенной аналитической формулой, удобной для анализа. В случае ып' (ив/2) (( 1 можно подынтегральное выражение (51.24) разложить в ряд и ограничиться двумя членами: (0 д0 (1+ — ып'(ав/2) ып' 0+ ... ( 1 г' 1 — в(п' (ав/2) вш' 0 1 .
ав~ в(п2Р 2 ~ 2 = р+ — ып' — (р — — )+... (51.25) р+ — ып —. (Р— — ) — )/Ус(, (51.26) где ып 1) определяется равенством (51.23): в( и р = ив (сс/2)/ып (а,/2). Отсюда видно, что когда угол отклонения а изменяется от О до ив, т. е. проходит '/4 периода Т колебаний, величина )1 изменяется от О до л/2 н из уравнения (51.26) находим 242~22 / — + — ыпв Ф ( — — ) = )/ /с (Т/4), откуда (51.27) Таким образом, связь между временем колебания и углом отклонения маятника дается в виде 52. Движение твердого тела, закрепленного в точке.
Гироскопы 317 Сравнивая эту формулу с (51.15) для периода малых колебаний и принимая во внимание выражение для 7г в (51.18), можно ее переписать в виде Т вЂ” То (1+ — яп' — ) (51.28) з2. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы Рассмотрение картины плоского движения упрощается тем обстоятельством, что вектор угловой скорости сохраняет в этом случае постоянное направление в пространстве, перпендикулярное плоскости движения, и не изменяет своей ориентировки относительно тела.
При движении твердого тела около одной закрепленной точки все эти упрощающие обстоятельства исчезают: вектор угловой скорости, вообще говоря, изменяет направление в пространстве и свою ориентировку относительно тела, т. е. мгновенная ось вращения меняет свою ориентировку. Удобно рассматривать это движение в системе координат, жестко связанной с телом. Начало координат естественно поместить в точку закрепления тела. Она находится в покое.
Получающиеся при этом уравнения движения называются уравнениями Эйлера. Уравнения Эйлера. Уравнение движения центра масс тела имеет вид т — - = т —; ((о, го|) =Г, Ыте И (52 1) где го — радиус-вектор центра масс тела, проведенный из точки его закрепления. Реакции связей включены в Г. Оси связанной с телом системы координат ((', 1', Ы') удобно направить по главным осям инерции.
В этом случае тензор инерции сводится к трем своим главным значениям 1„1„1„а момент импульса приобретает простой вид: Дг, = 1,о„Л', = 1,о„У, = 1зо„причем о„о„о, — компоненты угловой скорости относительно движущихся вместе с телом осей координат. В уравнении моментов где Т,=2л)/1/тр1 есть период малых колебаний. Пусть, например, максимальное отклонение и, = 60'. Поскольку з1п 30' = '/„то заключаем, что период больших колебаний маятника в этом случае отличается от периода малых колебаний примерно ,на 89',.
Отсюда можно сделать вывод, что линейное приближение довольно хорошо описывает движение физического маятника не только при очень малых углах отклонения, но и при достаточно заметных углах. Глава 11. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 318 (48.2) производная ИХ/й вычисляется относительно инерциальной системы координат. Необходимо определить эту величину относительно движущейся системы координат, жестко связанной с телом.
Пусть некоторый вектор А аадан компонентами относительно системы координат (Г, Г, й'): А = ГА;. + 1'А „'+ й'А;. (52.2) С течением времени изменяются компоненкы А', А;, А; относительно движущихся осей координат и ориентировка осей координат относительно инерциальной системы отсчета.
Имеем (52.3) — „А,;.+-~д,-А;,+ — А;=[в, ГА;.)+[о, )'АД+[а, й'А;~= = [гв, ГА;.+)'А,',+ (г'А 1 = [в, А1. (52.4) Позтому формула (52.3) может быть записана в виде дА дА — = — +[ю, А), ~й дс где (дА/д/) = Г (пА„'./й) + 1' (с)А„'/й) + )г' (НА;/й) есть производная от А, вычисленная в предположении, что оси (Г, 1', )г') неподвижны. Эта формула справедлива для любых векторов А. Применяя ее к величине Х в (48.2), можем представить уравнение моментов следующим образом: дн аг +[ (52.э) Принимая во внимание, что дт„ = /,-ю„, У вЂ” / ю, У, = /, ю„ уравнение (52.5) перепишем в компонентах отйосительно двн™- Скорость точки вращающегося тела, радиус-вектор которой г, равна (пгlй) = [в, г1. Аналогично, следя за концом вектора Г, проведенным нз точки на осн вращения, находим (й'/й) = (в, Г1.
Такой же вид имеют производные от 1' и и'. Следовательно, 52. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы жущейся системы координат: 319 1„— "," +(1, — 1„) в„в, =М„, (52.6) 1+(1т1)вваМ Подчеркнем еще раз, что все величины в этом уравнении отнесены к движущимся осям координат, жестко связанным с телом, а штрихи же не проставлены лишь для упрощения написания формул. Эти уравнения называют уравнениями Эйлера. Они в принципе всегда позволяют определить движение тела, закрепленного в одной точке, хотя практически решение моя'ет быть весьма сложным и трудновыполнимым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
