А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Спрашивается, какая доля первоначальной массы вернется из такого полета? По формуле (46.12б) находим М М е-т Мо/500. Скорость, необходимая для преодоления притяжения Луны, равна примерно 2,5 км/с. Поэтому характеристическая скорость Глава 10. ДИНАМИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 294 посадки на Луну и подъема с ее поверхности равна 5 км/с, а полета на Луну и возвращения на Землю оценивается примерно в 28 км/с. Но здесь не учтена возможность осуществления маневра.
Зто заставляет несколько увеличить последнее значение. Но, с другой стороны, при возвращении на Землю можно воспользоваться аэродинамическим торможением, что позволяет несколько снизить зту величину. В результате имеем, что характеристическая скорость полета па Луну не очень сильно отличается от указанной (28 км/с). Характеристическая скорость полета на Марс и Венеру несколько больше. Если считать и' ~ 4 км/с, то на Землю после полета на Луну будет возвращена примерно 1/1500 часть стартовой массы ракеты.
Хотя зти величины являются грубой прикидкой, они дают достаточно хорошую оценку возможностей ракет с химическим топливом. 47. Репятивистские ракеты Уравнение движения. При выводе уравнения (46.4) было подчеркнуто, что оно справедливо как при малых, так и при больших скоростях. В релятивистском случае массу М надо считать релятивистской, т. е. М = М'/)/ 1 — и'/с', (47.1) где М' — переменная масса покоя ракеты. (Мы обозначили ее буквой со штрихом, чтобы подчеркнуть, что зто есть масса в движущейся системе координат, связанной с ракетой.) В процессе движения масса покоя ракеты уменьшается.
С учетом сказанного уравнение (46.4) в релятивистском случае имеет следующий вид: (47.2) Нетрудно учесть также наличие внешних сил, действующих на ракету, но в атом нет необходимости. Преобразуем зто уравнение к виду (46.6). Для зтого продифферепцируем левую часть по т н один из полученных членов, пропорциональный т, перенесем в правую часть. Тогда имеем (47.3) Оно полностью аналогично уравнению (46.6) с релятивистской массой (М = /)Ха/)' 1.— и'/ст/. Однако в (47.3) разность и — т не является скоростью истечения газов относительно ракеты, потому что в релятивистском случае для сложения скоростей надо пользоваться формулой (18.6).
47. Релятивистские ракеты Зависимость конечной массы от скорости. Для получения в релятивистском случае формулы, аналогичной формуле Циолковского, необходимо решить уравнение (47.3). Будем считать, что ускорение происходит в полонсптельном направлении оси х, тогда уравнение (47.3) приобретает вид М' Ни Н ~ М вЂ” = (и„— и) — ~ ут=Жэ а — * а ~ у~ .'и ) (47.4) По формуле сложения скоростей (18.6) имеем для скорости выбра- сываемых газов относительно ракеты (47.5) Далее учтем, что (47.6) с7с 1 )/ 1 — и%с / )/ 1 — ит/"с с/1 сс 11 — ит/ст) /Х й Следовательно, уравнение (47.4) после переноса второго члена Э7.6) .
у ~м ~в р~ш~ ~ бщю ~о и г 1ф 1— принимает вид М' ' ии 1 си ( НМ' 1 — — *~ — = (и„— и) 1 — -"/сс ст / А х Ж (47.7) Теперь, заменив величину и„— и по формуле (47.5) череа скорость и', получим после сокращения на общий множитель [1 — ии„/сх) релятивистское уравнение движения в следующем простом виде М' — ", =(1--й)"' ™ (47.8) Примем во внимание, что для ускорения ракеты скорость выброса газов должна быть направлена против скорости движения ракеты, т. е.
и,„' = — и', где и' есть абсолютное значение этой скорости. Теперь можно переписать (47.8) в аналогичном уравнению (46 10) виде: йЫ' 1 Ии (47.9) М' и' 1 — ит/сс 1 1 1 1 1 — ит/сс 2 1 — и/с 2 1 + и/с ' Пусть.в начальный момент масса ракеты была Мс, а скорость ис. Как и в (46.10), проинтегрируем левую и правую части этого равенства в соответствующих пределах. Интеграл в правой части по и с учетом того, что Глава 10. ДННАМйЕ(А ТЕП ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 296 является элементарным. В результате интегрирования получаем Отсюда следует, что ЛГ' с (1+ и/с) (1 — ис/с) М'„' 2и' (1 — и/с) (1+ ис/с) или М' ( ((+и/с) (1 — и„/с) ) — с/эи' ЛХ,', ) (1 — и/с) (1+ ис/с) 1 (47.10) Эта формула для релятивистского случая заменяет формулы (46.12) для нерелятивистских ракет.
Особенно простой внд, пригодный для анализа, она приобретает для и, = О, т. е. когда разгон ракеты начинается из состояния покоя: , ' 1 — и/с ' с "и' (1+и/с ~ (47.11) В случае малых конечных скоростей (и С, 'с) зта формула переходит в (46.12б) для нерелятивистского случая (с и = 0). В самом деле, перепишем правую часть (47.11) при (и/с) ~ 1 и и'/с ~ 1 в виде ('+') '-" — ~~1+2 ')"-"'~ "'"'=е-~чи (47.12) где учтено, что с+и 1+и/с ! и ~ ~ и) ~1+ — )~1+ — ~--.,и1+2 —, и с — и 1 — и/с ~ с)~ с/ с 1ип 1+ — „) =е.
/ и со~ Предполон;им, что ракету надо ускорить до скорости с/2 с помощью химического топлива, когда и' = 4 км/с. Какая доля первоначальной массы будет ускорена при этом? Учитывая, что с = 3 ° 10" км/с, из формулы (47.11) получаем М'=М'~ — ~ ' ' ' =М„'/Задо ~с'=М;/10-' ~'. 1/З '3 ° ю~,'с ° 4 с ~ з/2 ~ (47.13) Представить себе число 10""' невозможно. Поэтому об ускорении ракет до релятивистских скоростей на химическом топливе не может быть и речи.
47. Релятивистские ракеты 297 т. е. окончательной скорости с/2 достигнет лишь примерно 10-о стартовой массы ракеты. Поэтому более или менее обнадеживающих результатов в достижепии релятивистских скоростей можно ожидать только в случае, если и' блиако к скорости света. Это приводит к идее соадания реактивной тяги излучением фотонов. Такие, в настоящее время лишь теоретически мыслимые, ракеты называются фотонными.
Фотонные ракеты. Для фотонных ракет и' = с и, следовательно, уравнение (47.11) принимает вид М, /1 — и/с ')1~ ~ 1+и/с / (47.15) Как видно на этой формулы, до скорости с/2 было бы воаможно ускорить массу М' = М;,/)/3, т. е. больше, чем половину стартовой массы. Таким образом, этн ракеты были бы весьма эффективными. Пусть и отличается от скорости света на очень маленькую величину, наприл1ер на 10-4, т. е. (н/с) ж 1 — 10 4. Тогда иа (47.15) получаем М' — Мо 10 '/3/2 (47.16) т.
е. вполне приемлемый реаультат. Однако фотонные ракеты в настоящее время с технической точки арения являются лишь фантазией. Однако и с другими видами топлива дело обстоит не намного лучше. Для ядерных ракет, использующих энергию деления, и' ж 10' км/с. В атом случае вместо (47 13) находим з ~о~ М' = Мо/3-' '"' — Мо/6" = Мо/10о, Глава 11 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА )р~(1=Р, ЫХ~й = М, (48 1) (48.2) 48. Уравнения движения 49. Момент инерции 50.
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела 51. Плоское движение. Маятники 52. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы равнение движения центра масс У и уравнение моментов системы материальных точек являготся замкнутой системой уравнений движения твердого тела, т.е. с их помощью без каких-либо других дополнительных условий н уравнений можно полностью определить движение твердого тела в заданных внешних силовых полях. Необходимо лишь знать начальные условия движения. 48. Уравнения движения Система уравнений.
Твердое тело является системой материальных точек, расстояние между которыми постоянно. Поэтому все утверждения и уравнения $23, касавшиеся системы материальных точек, справедливы и для твердого тела. Как было отмечено в $ 23, уравнения (23.6) н (23.15), которые здесь необходимо еще раз выписать: не являются в строгом смысле уравнениями движения системы материальных точек.
Определить движение системы материальных точек — зто значит указать движение каждой ее точки. Однако два векторных уравнения (48.1) и (48.2) не дают такой возможности даже для двух материальных точек, если только они пе связаны жестко между собой. Чтобы найти двнгкение системы материальных точек, 48. Уравнения движения 299 х =та+[а>.
г >. (48.3) Угловая скорость е> выражается через производные по времени от углов Эйлера. Следовательно, скорость всех точек твердого тела полностью определяется их положением и производными по времени от величин, которые характеризуют положение точек. Отсюда следует, что р, г', Х и М, входящие в (48.1) и (48.2), выражаются через те >не величины. Уравнения (48,1) и (48.2) в координатах являются п>естыо скалярными уравнениями. Таким образом, имеется шесть уравнений для шести величин, характеризующих положение твердого тела, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
