А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 66
Текст из файла (страница 66)
А при вычислении 1„, надо принять во внимание, что диск симметричен относительно оси у. Поэтому при каждом значении у имеется две симметричные точки, координаты з которых равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку. Следовательно, соответствующие члены в сумме для 1щ сократятся, и получается, что 1вт = О. Таким образом, выбранная ось действительно является главной.
Третья главная ось однозначно определяется двумя найденными, будучи перпендикулярна им обеим. Проверим, что ось г действительно является главной. Имеем: 1„= ~„т; (гг — ц'), 1,„= — '~; т,г;хн 1ту — — — ~т, т,з;у;. Геометрический смысл величин, входящих в определение осевого момента инерции Главные оси круглой пластины. проходящие черев точку средней плоскости, не совпадающую с центром Глава 11. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Так как х; = О, то 1„= О. А равенство 1,„= 0 было только что доказано, поскольку 1,„= 1д,.
Если круглая пластйнка имеет значительную толщину, то она называется круглым цилиндром. Все изложенные о главных осях пластинки соображения остаются, конечно, справедливыми и для цилиндра. В шаре относительно любой его точки главные оси могут быть найдены следующим образом. Одна из главных осей проходит через центр шара, а две другие ориентированы произвольным образом в плоскости, перпендикулярной первой оси. Доказательство того, что данные оси являются главными, основывается на простых соображениях симметрии, из которых следует, что центробежные моменты 1„.„, 1„, и другие в этом случае равны нулю. Центральные главные оси определяются с помощью таких же соображений, но провести их надо через точку центра масс.
В случае бесконечно тонкой пластинки одна из центральных главных осей перпендикулярна плоскости. Положение двух других центральных главных осей в плоскости пластинки зависит от ее формы. Для круглого диска — это любые две взаимно перпендикулярные оси. У цилиндра центр масс расположен на середине высоты в центре кругового сечения. Одна центральная главная ось совпадает с осью цининдра, а две другие ориентированы произвольно в средней круговой плоскости цилиндра, взаимно перпендикулярно друг другу. В случае шара любые три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр шара, являются его центральными главными осями.
Вычисление момента инерции относительно оси. Для этого используется формула (49.6). Однако удобнее применить интегрирование, переходя к непрерывному распределению масс. Пусть плотность тела есть р (х, у, з). Тогда в элементе объема пУ = пЫудг заключена масса роУ. Если вычислять момент инерции тела относительно оси з, то формула (49.6) принимает следующий вид: 1„= ) р (х, у, г) (уй+ х') Йх Ыу сЬ (49.7) ь/2 1~~ — ра ~ пз)(у +х)пхпу~ (49.8) и интеграл распространяется на весь объем тела. В качестве примера определим момент инерции однородного цилиндра радиуса В и высоты й относительно оси, совпадающей с его осью.
Направим ось г системы координат вдоль оси цилиндра, а начало системы координат (точка О) поместим на оси в середине высоты (рис. 107). Плотность цилиндра постоянна, т. е. р = р0 = = сопз$. Интеграл (49.7) записывается так: 305 49. Момент инерции (49.9) (49АО] тех. 1„= тЛ3/2. где Я вЂ” площадь сечения цилиндра. Вы- числение удобно вести в цилиндрической системе координат, ось симметрии которой направлена вдоль оси х. Мы имеем: х = г соз тр, у = г з1п <р, х'+ уз = гз, ох с1р = г ог гйр. Поэтому вместо (49.8) получаем л~а л, ае Д4 1, = рв сЬ гз й' с/ср =ро/г — '2п. — лгз Ь Принимая во внимание, что объем цилиндра равен пЛ„Ь и, следовательно, величина гп = пЛ'„/з рв является его массой, окончательно находим Аналогично вычисляются и другие моменты. В этом следует поупражняться.
В частности, момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр, равен 2ггсЛвх/5, где лт — масса шара, Л вЂ” его радиус. Момент инерции тонкого диска относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости, дается формулой (49АО), а его момент относительно оси, проходящей через центр диска и лежащей в плоскости диска, равен тЛ /4. Теорема Гюйгенса. Вычисление моментов инерции относительно оси во многих случаях облегчает теорема Гюйгенса, которая связывает моменты инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс тела (рис. $08). Ось А,Ва пусть будет осью, проходящей через центр масс.
Радиус- вектор точки то отсчитываемый от этой оси в плоскости, перпендикулярной оси, обозначим через В;, а от оси АВ, параллельной оси А,В„но не проходящей через центр масс, — через г;. Проведем от оси АВ к оси А,В, в этой плоскости вектор а. Выбор системы иоординат для вычисления одного из главных моментов инерции цилиндра Хотя и иаеестны строгие математичесние правила нахотдения главны» осей, ео многих елены» случаях найти ати оси удается иа сообрангений симметрии, не прибегая и математичесним расчетам. В' Ва! 106. „1 ! 1 1 Ав! (49А3) 1=1,+та'.
Геометрический смысл векторов, используемых при доказательстве теоремы Гюйгеиса Что такое осевые н центробежные моменты инерции! Дайте определение главным осям тензора инерции. Какой вид имеет тензор инерции, если оси прямоугольной системы координат совпадают с главнымн осями тензора инерции! Умеете ли Вы находить главные оси тензора инерции! Что такое центральные главные оси тензора инерции! Помогают пи соображения симметрии находить главные осн тензора инерции и каким образом1 В чем состоит теорема Гюйгенса1 Пусть дано семейство параллельных осей, проходящих через все возможные точки тепе и вне его. Относительно какой из зтих осей осевой момент инерции тела минимален! Глава 11. Дгй1АМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Этот вектор один и тот же во всех плоскостях, перпендикулярных оси. Пусть 1,— момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, а1 — относительно оси АВ, не проходящей через центр масс.
По определению моментов инерции имеем: 1в =,"5' т;Л,', 1 = ',т ', т;г(. (49.11) На рис. 108 непосредственно видно, что г; = а + В; и, следовательно, гт = 1тт; + + а' + 2 (а, В). Поэтому получаем 1= Ят;гтс= =,'~~ ттЛт+ аз,'~~ т;+ 2(а,,'~ т;В;) (49 12) Учтем, что ХттВ; = О по определению оси, проходящей через центр масс, а Хт; = т есть масса тела. Поэтому (49.12) принимает вид Эта формула выражает теорему Гюйгенса. Зная момент инерции тела относительно некоторой осн, проходящей через центр масс, можно легко вычислить момент инерции относительно любой другой нараллельной оси. Рассмотрим, например, цилиндр, момент инерции которого относительно его 50. Кинетическая энергия вращакмцегося твердого тела 307 оси дается формулой (49.10).
Центр масс цилиндра расположен па оси цилиндра и поэтому (49.10) есть момент инерции относительно осн, проходящей через центр масс. Момент инерции цилиндра относительно оси ЛВ, лежащей на поверхности цилиндра параллельно его осн, находим по формуле (49.13): 1 = (тВ,о,'2) + тН, '= (3~2) тН,"1. (49.14) Если бы этот момент определять по формуле (49.7), то вычисления оказались бы значительно сложнее. Момент шара относительно оси АВ, касающейся его поверхности, также легко находится с помощью формулы (49.13): 2 ..., 7 = — ~лп'„.+ ~~К= 5- щВб, (49.15) где учтено, что момент шара относительно оси, проходящей через центр масс, равен 2тй,/5.
э0. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела (А, В) = А,В, + А,В, + А,В; = '~~ А „В„. (50.1) В вычислениях суммы такого вида встречаются довольно часто н поэтому условимся пе выписывать каждый раз знак суммы, а всегда, когда в произведении встречаются две величины с одинаковым индексом, подразумевать суммирование по этим индексам. Например, формула (50.1) при таком согла1пении записывается следующим образом: (А, В) = АаВ„.
(50.2) Кроме того, в вычислениях полезно использовать символ Кронекера б„а, который определяется так: баа = ~1 при и=р, (О при а~р. (50.3) Вычисление в координатах. Уже неоднократно отмечалось, что векторные обозначения имеют большие преимущества наглядности. но конкретные численные расчеты во многих случаях проще проводить в координатах, благодаря чему задача сводится к чисто арифметическим операциям. Оси координат удобно нумеровать числами, как это было объяснено в 1 6, Поэтому координаты точки (х, у, а) будем обозначать как (х„т„х,), компоненты вектора (А,, А„, А,) — как (А„Л„Аэ) и т.
д. Формула (5.17) для скалярного произведения в этих обозначениях запись1вается так; Глава 11. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ЗОВ С помощью этого символа удобно преобрааовывать различные выражения, как это будет сейчас показано. Компоненты тензора инерции 1„„, 1„„и другие обозначим соответственно как 1„, 1„и т.
д., т. е. они имеют вид 1 а, а формулы (49.3а) переписываются следующим образом: 1дд =,',» ', и; (хд„хд„— х,',), 1„= — ~; тдхпхсь (50.4) 1дз= — ~~»', т;х;,х з где использовано условие (50.2) при записи г = х;,х;д + хд,х;, + + х;зхгз — — хд хд ', Т означает индекс сУммиРованиЯ. Аналогичным образом выражаются и другие компоненты. Равенства (49.3) принимают следующий вид: (50.5) ~~да 1ааедз~ где а = 1, 2, 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
