А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Свободные оси. Чтобы уравнения (52.6) полностью описывали движение без использования уравнения (52.1), необходимо за начало системы координат, в которой они написаны, взять центр масс тела и учесть, что момент реакции связей при этом равен нулю. Пусть на тело не действуют никакие силы и поэтому и моменты снл М„, М„, М, равны нулю. Направим осн системы координат, жестко связанной с телом, по центральным главным осям. Следовательно, 1„, 1„, 1, в (52.6) являются центральными главными моментами инерции тела. Вообще говоря, онн не равны друг другу. Выясним, какое свободное движение тела возможно.
Из (52.6) сразу следует, что невозможно такое вращение тела, при котором угловая скорость сохраняет свое абсолютное значение и ориентировку относительно тела, но не совпадает по направлению ни с одной из центральных главных осей с разными моментами инерции. Допустим, что это возможно, т. е. что в, = сопз1 + О, в, = сопз1 + О, в, = сопз$ чь О. Тогда из уравнений следует, что должно быть (1, — 1„) вдв, ='О, (1 — 1,) в,в„. = О, (1„— 1„) в„в„= О.
(52.6а) Эти соотношения можно одновременно удовлетворить только в том случае, если две компоненты угловой скорости одновременно равны нулю. А это означает, что угловая скорость совпадает по направлению с одной из центральных главных осей. Пусть, например, в =- в, = О. Тогда (52.6а) будут удовлетворены. Угловая скорость направлена вдоль оси х, т. е. вдоль центральной главной оси. Таким образом, свободное вращение твердого тела возможно лишь вокруг центральных главных осей. Эти оси называются свободными.
Моменты инерции относительно этих осей, вообще говоря, различны. Моя~но доказать, что вращение тела будет устойчивым 3?6 Глава 11. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 112. Ось, совпадающая с вектором угловой скорости, в данном спучве не является свободной, потому что в системе координат, связанной с телом, имеются центробежные силы инерции, стремящиеся изменить нвпрьвление этой оси в прострвнстве Осями устойчивого свободного вращения твердого тела являются лишь главные центральные оси тензора инерции с мансимальным и минимальным значениями момента инерции.
Вращение вокруг главной центральной оси со средним моментом неустойчиво. только относительно центральной главной оси с максимальным или минимальным моментом инерции. Вращение вокруг цеитральной главной оси со средним моментом инерции неустойчиво. При небольшом случайном отклонении оси вращения от этого направления возникают силы, увеличивающие отклонение.
Это обстоятельство можно наглядно продемонстрировать на таком опыте, У тела в виде прямоугольного параллелепипеда центральными главными осями являются три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его геометрический центр параллельно сторонам. Параллелепипед имеет наибольшие и нанменыпие моменты инерции относительно осей, параллельных его самой длинной и самой короткой сторонам. Если его подбросить с одновременным вращением вокруг одной из этих осей, то движение происходит устойчиво с сохранением направления оси вращения. Если же его вращать вокруг оси, параллельной средней стороне, то устойчивого движения не получается и тело начинает беспорядочно кувыркаться.
Чтобы наглядно представить, почему свободные оси должны совпадать с центральнымн главными осями, возьмем тело в виде гантели. Проведем ось вращения в направлении, не совпадающем ни с одним из центральных главных направлений, например таком, которое указано на рис. 112. Вопрос о силах инерции в неинерциальных системах координат подробно рассмотрен в гл. 14. Здесь нам достаточно отметить лишь хорошо известный факт существования центробежных сил инерции.
Ясно, что при вращении продольная ось тела под действием этих сил стремится изменить свое направление в пространстве и занять положение, показанное на рис. 112 пунктиром. В этом положении вращение является устойчивым, и ьз совпадает с направлением центральной главной оси, относительно которой 52. Дтекейейе твердого тела, закреллеуеюго в то его. Гироойогв у К объяснению мутации Ось вращала», вентер угловой саорпст» и н »в»тор Л полно»о момента нмпульса ламет ° одной лаос»оста, вращающейса со сноросью путанна воврут лоследнето тело обладает максимальным моментом инерции. Нутация. Представим себе тело, которое обладает аксиальной симметрией относительно некоторой оси, т. е.
является телом вращения (рис. 113). Нсно, что одна из центральных главных осей совпадает с осью силтйтетрии, а две другие перпендикулярны ей. Ось х направим вдоль оси симметрии, а осй у и х— вдоль двух других центральных главных осей. Из условий симметрии следует, что 1„= 1„1„= 1, = 1,. Уравнения (52.6) имеют вид: утри вращении еонруг свободны» осей не воз« пинает сил, стремнщи»- сн изменить направление оси вращении или сместить ее параллельно самой себе в теле.
1 ~ У+(1,— 1 )ьу,в =О, (52.7) Нутацивй назыеавтсп двитение оси еонруг ввнтора полного момента импульса. Прежде всего из этих уравнений видно, что возможно движение, при которойт ьу„= ьу, = сопз1, ьту = ьу, = О, т. е. вращение вокруг оси симметрии тела с постоянной скоростью. Однако это не единственная возможность. Запишем второе и третье уравнения при условии «т =- ьу, = сонат, в следующем виде: (52.8) П Маха»пса и тсоуав отпеппспплста Глава 11.
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 322 где у= (1, — 1,)в,/1,. Эти уравнения имеют решение: (52.9) в,=А з(пу1. вз — — А соз у1, Вектор угловой скорости а~ = ко„+ (гв„лежащий в плоскости (у, з), вращается вокруг начала с круговой частотой у. Полная угловая скорость (52.10) го = 16), + го х . Этот суммарный вектор движется вокруг оси х по поверхности конуса с углом а при вершине ($д а = в~/в,), т.
е. угловая скорость вращения тела не совпадает с осью симметрии тела — осью х. Ось симметрии в свою очередь не остается неподвижной в пространстве. Она движется по поверхности конуса, ось которого неподвижна в пространстве, и совпадает с вектором полногомомента импульса Х, причем угловая скорость этого движения также равна у. Следовательно, полное движение таково: плоскость, в которой лежат векторы мгновенной скорости а и ось симметрии, вращается с угловой скоростью у вокруг вектора Х, причем относительное положение вектора в н оси симметрии при этом не меняется.
Это движение оси симметрии тела вокруг неподвижного в пространстве вектора полного момента импульса Х называется нутацией, у — скоростью нутации. Прн таком движении вектор е вращается вокруг оси симметрии с той же скоростью у, как это было описано выше. Амплитуда нутации зависит от причин (пачальных условий), которые ее вызвали. Но частота ее определяется только моментами инерции и угловой скоростью вращения вокруг оси симметрии. Тело может вращаться н без нутации, если его угловая скорость направлена строго по оси симметрии. К телам вращения относится также шар.
У него 1„= 1„= 1, и поэтому у = О. Это означает, что у шара ось вращения всегда в отсутствие внешних снл сохраняет фиксированное положение относительно тела и никакой нутации быть не может. Это обусловлено тем, что любая ось, проведенная через центр шара, является центральной главной осью инерции. Однако если шар неоднороден, то путация у него может быть. В частности, наблюдается нутация осн вращения Земли. Это доказывает, что земной шар нельзя рассматривать как однородный.
Для Земли моменты инерции относительно осей, лежащих в экваториальной плоскости, можно считать равными друг другу. В формулах (52.7) и (52.8) ось х считаем направленной вдоль оси вращения Земли. С учетом этого скорость нутации у, как и в (52.8), равна у= = (1 — 1~)в,/1~.Из измереяий моментов инерции для Земли получено (1, — 1,)/1, = 1/300. Это означает, что период нутации земной оси должен быть примерно 300 дней, т. е. в течение 300 дней ось вращения совершает один оборот по поверхности конуса вокруг оси симметпии Земли, Эта ось находится из геодезических измерений, 52.
Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы 3?3 а ось вращения — по наблюдению движения звезд. Она проходит через центр окружностей, которые описываются звездами в течение суток. Однако наблюдаемое движение значительно сложнее. Прежде всего оно нерегулярно, на него сильно влияют землетрясения и сезонные изменения, происходящие на поверхности Земли. Строго говоря, именно этими причинами обусловлена нутация оси вращения Земли, потому что в противном случае из-за потерь энергии на преодоление вязкости ось вращения была бы совмещена с осью симметрии и никакой нутации не удалось бы наблюдать. В действительности период нутации равен примерно 440 дням, что обусловлеяо, по-видимому, неабсолютной жесткостью Земли.
Максимальное расстояние точки земной поверхности, через которую проходит ось вращения, от точки, через которую проходит ось симметрии, на северном полюсе не превышает 5 м. Гироскопы. Аксиально симметричное тело, приведенное в очень быстрое вращение вокруг своей оси симметрии, называется гироскопом. Примерами его могут служить волчок, диск, быстро вращающийся вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно поверхности. Гироскопом является также тело вращения, изображенное на рис. 113, при условии, что угловая скорость в, достаточно велика. Прецессия гироскопа.
Предполохсим, что гироскоп закреплен в точке центра масс, но его ось может свободно поворачиваться в любом направлении. Такое закрепление осуществляют с помощью карданного подвеса (рис. 114), обеспечивающего свободное изменение ориентации оси гироскопа в трех взаимно перпендикулярных направлениях. На рисунках нет необходимости изображать карданный подвес (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
