А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Индекс р входит в произведение дважды и, следовательно, подразумевается суммирование по нему. Этот индекс павывают иногда немым, потому что не играет роли, какой буквой его обозначить, лишь бы эта буква отличалась от других индексов, которые не входят в суммирование. Например, (50.5) можно записать как Юа = 1ауедт или Уа = 1азэде. Любую из компонент вектора Аэ можно выразить через другие компоненты с помощью символа (50.3) и условия суммирования: (50.6) Аа = батАт. Если это равенство расписать подробно, то оно имеет такой видд Ад» = 6адАд+ 6азАз+ 6азАз. (50.7) Из символов 6з„б „6 отличным от нуля будет лишь тот, у которого а равен другому индексу. Пусть, например, и = 2, тогда из (50.7) получаем Аз =О Ад+1 Аз+ О ° Аз = Аз. С помощью символа Кронекера выражения (50.4) для тензора инерции можно представить в следующем удобном для вычисления виде: 1аз =,» ~ т» (хдтхИбаа — хдахдз) ° » (50.8) ч»=1эд, гд) (50.9) Кинетическая энергия вращения.
Если переносная скорость твердого тела ддз = О, т. е. тело вращается с мгновенной скоростью «д, проходящей через неподвижную точку тела, то скорость его точек 50. Кинетическая энергия вращающегося твердого тена и, следовательно, его кинетическая энергия р"вна гг = 2 ~'„лт'о1 = з ~,ггт~ [ет г ) ° (50.10) Используя формулу, известную в векторной алгебре, для квадрата векторного произведения: ((А, В), (С, Р1) = (А, С) (В, В) — (А, 0) (В, С), можем написать [ет, г,')'=в'г",— (г;', ет)'.
(50.11) С помощью правила суммирования и Ь-символа это выражение в коор- динатах принимает вид [ет~ гт3 = 0>агэатФащ гэат1агэах(а = ыаыа (г1'"Р(тбаа — х4ют1р) (50'12) Подставив эту формулу в (50.10) и учитывая (50.8), получим кине- тическую энергию вращения: (50.13) Здесь / а есть тензор инерции, отнесенный к осям координат, жестко связанным с телом и движущимся с ним. Начало системы координат покоится, в являются компонентами мгновенной угловой скорости тела относительно осей координат. Если оси движущейся системы координат направить вдоль главных осей инерции тела, в тензоре инерции останутся лишь диагональные компоненты, т. е.
/аа = /а~аз. (50.14) При таком выбот е осей координат, жестко связанных с телом, выражение (50.13) для кинетической энергии упрощается: (50.15) И = /а/М. (50.16) Вообще говоря, при произвольном движении тела вектор угловой скорости ет меняет свое направление в совпадает с направлением Если мгновенная скорость вращения совпадает с направлением одной из главных осей, которой может быть, например, ось х движущейся системы, то, очевидно, а = о, = 0 и формула (50.15) примет более простой вид: Глава 11. ДИ1АМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 310 одной пз главных осей лишь в течение мгновения. Именно для него и справедлива эта формула. В следующее мгновение угловая скорость уже не будет совпадать с главной осью, н выражение для кинетической энергии снова приобретает внд (50.15).
Формула (50.16) справедлива в течение времени, когда вектор угловой скорости совпадает с направлением главной оси. Например, если цилиндр вращается вокруг своей оси, которая неподви>кна в пространстве, то ясно, что угловая скорость все время совпадает с направлением главной оси н поэтому формула (50.16) справедлива во все время вращения, а в качестве 1, берется выражение (49.11). В том случае, если наряду с вращением тело имеет также н поступательную скорость га, скорость его точек определяется по формуле (48.3).
Выражение для кинетической энергии усложняется. Подставляя (48.3) в формулу для кинетической энергии, получаем И' = '/, '5', т и[ = '/2,'У', и; (ма+ [г», г,'])' = = '/.('~,т;)о,-, + '/,',~',т;[г», гЦ'+ '/, ~',т; 2(ъд, [е. г[]). (50.17) Первое слагаемое представляет кинетическую энергию поступательного движения тела как целого со скоростью ча, второе — кинетическую энергию вращения, которая только что была рассмотрена, а третье учитывает соотношение поступательной скорости н вращательной. Если начало движущейся системы координат поместить в центр масс тела, то Хт;г[ = 0 н, следовательно, последний член обратится в нуль.
При таком выборе системы координат скорость т, является скоростью центра масс тела, а формула для кинетической энергия примет следующий вид: (50.18) Все замечания, которые были сделаны относительно (50.13), справедливы и для соответствующей величины в формуле (50.18). В частности, если осн движущейся системы направлены вдоль главных осей тела, то кинетическая энергия (50.18а) Поэтому, например, кинетическая энергия цилиндра, катящегося со скоростью ио, равной о/Т„будет (50.19) 51 Плоское движение. Маятники з1. Плоское движение.
Маятники Особенности динамики плоского движения. Из кинематики плоского движения, изложенной в $ 10, известно, что в этом случае все точки твердого тела движутся в параллельных плоскостях. Поэтому достаточно рассмотреть движение какого-либо сечения тела в одной плоскости. Формула (48.3) для точек тела значительно упрощается, поскольку вектор угловой скорости всегда перпендикулярен плоскости и, следовательно, имеет постоянное направление.
Поэтому если ось г' системы координат, связанной с телом, провести перпендикулярно плоскости движения, то угловая скорость вращения всегда будет направлена вдоль этой оси, т. е. о, = о, о„ = о„ = О. Для того чтобы избежать учета центробежных моментов тензора инерции, целесообразно ось вращения провести через центр масс. Тогда необходимо принять во внимание лишь момент инерции относительно оси вращения: Л = Ж = 1„а, = ./о, Индексы з у величин нет необходимости ставить, поскольку ось х— единственная ось вращения. Силы, действующие на тело, параллельны плоскости (х, р), а моменты сил М, перпендикулярны ей.
Таким образом, уравнения движения (48.1) и (48.2) для плоскогодвижения приобретают следующий вид~ ~р/й = р, (51.2) 1(йо/й) = М, (51.3) где М = М„ р — импульс. Поскольку ось проходит через центр масс тела, уравнение (51.2) можно представить в виде (48.4) для движения центра масс в плоскости движения: т ((т/й) = Р. (51.4) Для координат (х, р) центра масс зто уравнение имеет следующий вид: тх=Р„, ту=Р„. (51.5) Кинетическая энергия в этом случае выражается формулой (50.18а): И7 = 1/ать + 1/21И2.
(51.6) Скатывание цилиндра с наклонной плоскости. Будем считать, что скатывание происходит без скольжения. Силы, действующие на цилиндр, указаны на рис. 109. Сила Т есть сила трения, которая обеспечивает скатывание цилиндра без скольжения. Ось х удобно направить вдоль наклонной плоскости. Напишем уравнение движения для точки О, через которую проходит центральная главная ось 31? (51.7) МОР. (51.8) 3 сЬ 2 дт — т — =тдз1па У (51.9) йро 2 — = — аз1па. ~Й Я (51.10) ттО. Маятник Максвелла Скатывание цилиндра (без скольжения) с наклонной плоскости Ускорение вращающегося диска в маятнике Максвелла постоянно и направлено все время вниз.
В нижней точке, когда меняется направление скорости двиятения„происходит резкое увеличение силы натлктения нити. 1"лава 11. Дка1АМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА инерции диска. Уравнения (51.5) и (51.3) имеют вид: т(т/ио/а/) =тдз1п а — Т, То (Й»/т1/) = /1»Т. где 1, = т11оо/2 и отсчет направлений вращения выбран так, чтобы ет было положительным и увеличивалось при скатывании цилиндра.
Подставляя Т из второго уравнения (51.7) в первое и учитывая, что ио = т»11о (/то — радиус цилиндра), получим: исо /о опо т — = ти з)п а — — —, или до тто ат Таким образом, центр цилиндра дви- жетсЯ с постоанным УскоРением в/о д з)п а. Маятник Максвелла. Маятник Максвелла представляет собой диск, подвешенный на нити.
Нить намотана на ось диска (рис. 110). Уравнения движения маятника относительно центра масс имеют вид: т(био/ (Г) = тд — Т, 10(йо/а) =//ОТ, (51.11) где Ло — радиус оси диска, на которую намотана нить, 1о — момент инерции всей системы относительно оси, Т вЂ” сила натяжения. 11 отношении сил и их моментов маятник Максвелла полностьк> аналогичен цилиндру, скатывающемуся с наклонной плоскости, Таким образом, уравнения для маятника Максвелла имеют точно такой вид, как и уравнения для скатывания цилиндра с наклонной плоскости, и решаются аналогично. Получаем а»о Ф7сг 7, тг тл+(/ /Во) ' 1+Рлдн//о)' 51. Плоское движение.
Маятники Проследим динамику маятника. Ускорение диска постоянно и всегда направлено вниз. Его величина тем меньше, чем больше центральный момент инерции гь. При достаточно большом моменте инерции ге диск будет иметь очень малое ускорение. В пределе при г'в -и со ускорение (аиь~й) -+ О, а при гь -ь О диск падает как свободное тело.
Сила натяжения нити изменяется в обратном порядке: чем больше момент инерции, т. е. меньше ускорение, тем сила натяжения больше. При г'в -~-оо сила натяжения Т вЂ” тд; это, очевидно, так н должно быть, потому что диск просто висит на нити без движения. При Ть — 1- О сила натяжения Т вЂ” ь О. В этом случае диск свободно падает и поэтому нить не испытывает никакого натяжения. Уравнения (51.11) и решение (51.12) не описывают поведения маятника в нижней мертвой точке, когда происходит переброс нити с одной стороны на другую сторону цилиндра.
Диск продолжает вращаться в прежнем направлении, но теперь нить не разматывается с цилиндра, а наматывается на него. Для наматывания также справедливы уравнения (51.11) и решение (51.12). В процессе наматывания нити диск поднимается и его кинетическая энергия превращается в потенциальную, скорость подъема уменьшается, В течение времени переброса нити в нижней мертвой точке происходит изменение направления скорости ие на обратное. Поэтому в зто время центр масс диска испытывает большое ускорение. По третьему закону Ньютона, это приводит к большому натяжению нити.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
