А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 65
Текст из файла (страница 65)
число уравнений равно числу неизвестных и поэтому !48.1) и (48.2) могут в полном смысле быть названы уравнениями необходимо (48.1) и (48.2) дополнить уравнениями, учитывающими нх взаимодействие. Позтому уравнения (48.1) и (48.2), строго говоря, пе являются замкнутой системой уравнений движения системы материальных точек в произвольном случае. Замкнутость системы уравнений. Однако для твердого тела как системы материальных точек зти уравнения являются замкнутой системой уравнений движения, т. е. с помощью них без каких-либо других дополнительных условий и уравнений можно полностью найти движение твердого тела в заданных внешних силовых полях.
Необходимо еще лишь знание начальных условий движения. Чтобы в атом убедиться, следует вспомнить основные положения кинематики твердого тела, изложенные в 9 10. Ориентировка твердого тела в пространстве полностью определяется направлением осей прямоугольной декартовой системы координат, жестко связанной с телом, т. е. направлением единичных векторов >',,)', н' этой системы координат. В ней поло>кение канадой точки тела фиксировано и задается либо радиусом-вектором г' относительно начала, либо декартовыми координатами точки (х', у', г').
Поскольку сисгема этих координат жестко связана с телом, координаты каждой его точки имеют в ней постоянное значение. Ориентировка атой системы координат относительно иперциальной системы координат, в которой рассматривается движение тела и в которой справедливы уравнения (48.1) и (48.2), полностью определяется тремя углами Эйлера: ~р, е, >[> (см. рис. 19). Поло>кение точки твердого тела, с которой связано начало системы координат (>', )', к'), задается радиусом-вектором го атой точки относительно инерциальной системы координат или декартовыми коордипатамп этой точки (хо, >>„г,). Поэтому положение твердого тела нак системы с шестью степенями свободы описывается шестью величинами (<р, 0, >[>, х„1>„го). Скорость каждой точки тела слагается из поступательного дви>кения со скоростью х = Игlй точки твердого тела, в которой находится начало координат (>', )', 1'), и вращательного с мгновенной угловой скоростью е> вокруг оси, проходящей через это начало, и выра>кается формулой (10.5), которую еще раз необходимо выписать: 300 т (А'в~сй) = Р, (48.4) ! П: 49.
Момент инерции 164 Вентер момента имтульса твердого тела, танрепленного в неноторой тонне, не совпадает по направлению с вентором угловой снорости. Свяэь меьтду этими венторами описывается с помощью тенэора инерт4ии. К понятию тензора инерции, характеризующего инерциальные свойства твердого тела Глава 11. ДИ1АМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА движения твердого тела.
При этом надо лишь учесть, что под силами и моментами сил, стоящих в правой части этих уравнений, надо иметь в виду не только обычные силы и моменты обычных сил, но и силы реакций связей, наложенных на твердое тело, и их моменты. Выбор системы координат. Выбор точки О', с которой целесообразно связать систему координат ((', 1', )с'), а также ориентировка атой системы относительно тела явля|отся произвольными и диктуются лишь соображениями удобства.
Удачный выбор позволяет существенно упростить эти уравнения, и поаднее будет сделан для конкретных случаев движения. Один из удачных выборов точки О' был уже использован в 1 23 — это центр масс. В этом случае (48.1) превращается в уравнение (23.10): которое называется уравнением движения центра масс и аналогично уравнению движения материальной точки. (Реакции связей включены в Р.) Однако не всегда такой выбор точки О' в твердом теле является наиболее удачным, как зто будет видно из последующего.
Поскольку поступательное движение твердого тела не отличается от движения материальной точки, необходимо в первую очередь охарактериаовать вращение твердого тела вокруг оси. Тензор инерции. Будем считать, что тело состоит из отдельных материальных точек с массами т;. Закрепим тело в точке О (рис.
104). Радиус-вектор точки т, относительно О обоаначим через г;. Пусть го — мгновенная угловая скорость тела, тогда согласно (10.6) скорость 1-й точки тела тг = (в, г1). Поэтому момент им- 49 Момент ннерцнн пульса М всего тела относительно точки О равен Х=,')'[г;, т;т,]= ~'т;[г;[в, г,Ц=в'~~~~т;г( — '~~',т;г;(в, г;), (49.1) где использована формула разложения двойного векторного произведения (А, (В, СИ = В (А, С) — С (А, В). Векторное равенство (49.1) можно написать в виде трех проекций на оси координат; Х„= а„,'~„'тт; — '~~ т;х; (г;, в), 1У„= а„~' т;т;'- —,'5',т;у; (г;, в), Ф, = а, '~" т,г,' ~~ т,г;(г„в). (49.2) Учитывая, что (г;, в) = х;а„+ у;ау + г;в„вместо (49.2) имеем: 1~~ в~ + 1~уау + 1~аал1 У„=1„„а„+1ууа+1„,а„ У, = 1,„а„+ 1, а„+ 1„а„ (49.3) где 1„„=,'~> ', т; (гт — х,'), 1„„= — ~~~' т,х;уь 1„= — ~~)', т;хд (49.3а) хх ху ~сй 1дх 1~у 1г~ (49„4) называется тензором инерции.
Величины 1„„, 1„„, 1„ являются диагональными элементами тензора, а остальные — недиагональными. В данном случае величины, расположенные симметрично относительно диагонали, равны. Такой тензор называется симметричным. Главные осн тензора инерции. Предположим, что все недиагональные элементы тензора равны нулю, а отличными от нуля и аналогично выражаются другие величины: 1„„, 1„„, 1„, и т. д. Из (49.3а) непосредственно видно, что 1„„= 1„„, 1„, = 1,„и т. д. Поэтому из девяти величин 1,„, 1,.„, ...
различнйлишь шесть. Величины 1„„1, 1„называют осевьтмьй моментами инерции, а 1„„= 1„„, 1„, = 1,„и 1„, = 1,„— центробежными моментами инерции. Таким образом, момент импульса тела весьма сложно зависит от распределения масс в теле и его направление не совпадает, вообще говоря, с угловой скоростью вращения тела. Совокупность величин Глава 11. ДИЫМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА являются лишь диагональные и, следовательно, тепзор имеет вид (49.5) При такой ситуации говорят, что оси тела, совпадающие с осями координат, являются главными осями инерции, а величины 1, = 1,,, 1х — — 1„, 1, = 1„называют главными моментами инерции.
О тепзоре в этом случае говорят, что он приведен к диагональному виду. Таким образом, если осп системы координат направлены вдоль главных осей инерции тела, то центробежные моменты инерции отсутствуют. Процесс нахождения главных осей сводится к математической процедуре диагонализации тензора. Здесь нет необходимости се рассматривать. Отметим лишь результат: через любую точку твердого тела можно провести три взаимно перпендикулярные главные оси.
Главные моменты инерции 1„, 1„, 1, будут различны для различных точек тела. Ксли главные оси проведены через центр масс тела, онп называются центральными главными осями, а тензор — центральным тензором. Таким образом, не имеет смысла говорить о главных моментах инерции тела, не указав точки тела, через которую проведены главные оси. Прп переходе от одной точки тела к другой главные осп, вообще говоря, меняют свое направление, а главные моменты — свою величину. Например, не имеет смысла начертить в теле ось и сказать, что опа главная. Лишь когда речь идет о центральных главных осях и центральных главных моментах инерции, пет необходимости указывать точку тела, к которой они относятся, потому что по определению известно, что зто — точка центра масс тела.
Особенно важное значение имеет осевой момент инерции, равный (рис. 105) 1 =,'~„'т~ (г1 — х)) =,~>' т;Л,', (49.6) где В; есть расстояние точки т; от оси, поскольку во многих случаях оя позволяет полностью описать динамику вращения твердого тела. Его называют также моментом инерции тела относительно оси. Нахождение главных осей. ?'лавные оси во многих случаях могут быть найдены без громоздких математических расчетов, которые надо провести для диагонализации тензора инерции. Для этого иногда бывает достаточно воспользоваться простыми соображениями симметрии.
Пусть имеется плоская пластинка, толщина которой исчеаающе мала. Точка, через которую проходят главные оси, лежит на пластинке. 49. Момент мнерцни 105. 10$. Направим ось х перпендикулярно ей. Очевидно, что координаты х всех точек пластинки равны О, т. е. все х; = О. В этом случае из формулы (49.3а) имеем: 1„„ = О, 1„, = О. Следовательно, любая ось, перпендикулярная атой пластинке, будет главной. Две другие главные оси расположены в плоскости пластинки взаимно перпендикулярно друг другу. Их направление зависит от формы пластинки. Рассмотрим случай круглой пластинки (рис. 106) конечной толщины. Точка О, лежащая в средней плоскости пластинки, есть точна, относительно которой надо найти главные оси. Очевидно, что одна главная ось направлена перпендикулярно плоскости пластинки.
Утверждается, что другой главной осью является ось, лежащая в средней плоскости и проходящая через данную точку и центр диска. Эта ось на рис. 106 взята за ось у. Убедимся в этом. Имеем: 1„„= ~~'„тт (г; '— у ), 1„, = ~~ ', т;уГзт, 1 „= — ~~'т;у;хт. Поскольку х; = О, то 1ах = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
