А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Поэтому, если через М; обозначить моменты импульса частиц, участвующих в столкновении, а через М,„; их внутренние моменты, закон сохранения импульса при столкновении можно представить следующим образом: (42.5) Упругие и неупругие столкновения. Процессы столкновения делятся на упругие и неупругие в соответствии с характером изменения внутренней энергии частиц при их взаимодействии. Если внутренняя энергия час*иц при этом изменяется, то столкновение называется неупругим, если не изменяется, то столкновение упругое. Например, столкновение бильярдных шаров, в результате которого они несколько нагреваются, является неупругим, поскольку изменилась внутренняя энергия.
Однако если бильярдный шар сделан из достаточно подходящего материала (например, слоновой кости), то его нагревание незначительно и можно с большой точностью считать, что оно вообще отсутствует. В этом предположении удар бильярдных шаров можно рассматривать как упругое столкновение. Иногда говорят об абсолютно упругом столкновении, чтобы подчеркнуть, что внутренняя энергия сталкивающихся частиц абсолютно точно неизменна. Говорят также об абсолютно неупругом столкновении, если в конечном состоянии вся энергия превратилась во внутреннюю.
Например, лобовой удар двух шаров из мягкого материала одинаковой массы, которые после удара сливаются в одно покоящееся тело, является абсолютно неупругим столкновением. Глава 9. СТОЛКНОВЕНИЯ Система центра масс. Рассмотрение столкновений значительно упрощается, если его проводить в системе центра масс (см. з 23). В атой системе законы сох ранения энергии и момента импульса имеют такой же вид, как (42.3) и (42.5), а закон сохранения импульса (42.1), поскольку, по определению, сумма импульсов частиц в системе центра масс равна нулю, записывается в более простом виде: л х ~; р,= ~; р,=о.
(42.6) 43. Упругне столкновения 2т~ 2т~ 2т~ ' Рт = Р~ + Ря~ (43.1) (43.2) где кинетическая энергия выражена через импульс ((тэа/2) = рЧ2т) и учтено, что при упругом столкновении внутренняя энергия не изме- няется. Подставив значение р,' = р, — р,' из (43.2) в уравнение (43.1)„ находим (р„р,) = р,'(, +,)/2,. (43.3) Обозначим угол между р, и р,' через 8. Тогда (рт, р,') = р,р, сов 6 и из уравнения (43.3) получим следующее выражение для р~, которое полностью решает рассматриваемую задачу: р', = 2 ~т,/(т, + т,)1 рг сов 8. (43.4) Теперь можно осуществить простое геометрическое построение, которое позволит описать результат столкновения. Проведем из некоторой точки 0 вектор р, изображающий импульс налетающей частицы (рис.
100). Затем построим окружность радиуса 2(т,/(и, + + тз))р, с центром, лежащим на прямой, совпадающей с вектором р таким образом, чтобы окружность проходила через точку О. Поскольку угол вписанного в окружность треугольника, опирающегося на диаметр, равен п/2, все отрезки, проведенные из 0 к точкам окружности, удовлетворяют уравнению (43,4). Следовательно, эти отрезки дают импульс после столкновения той частицы, которая до столкновения покоилась. Из закона сохранения импульса (43.2) Столкновения двух частиц в нерелятивистском случае.
Выберем систему координат так, чтобы одна из частиц, например вторая, до столкновения покоилась, т. е. р, = О. Тогда законы сохранения энергии и импульса запишутся следующим образом: 277 43. Упругие столкновения сразу следует, что импульс падающей частицы после столкновения дается построением, указанным на рис. 100. Угол между импульсами первой и второй частиц после столкновения равен а.
Угол р является углом отклонения налетающей частицы от направления движения до столкновения. Нетрудно чисто геометрически найти также величину р',. Таким образом, все величины, характеризующие столкновение, полностью определены. На рнс. 100 изображен случай, когда 2т,((т, + т ) «.. 1, т. е. когда масса налетающей частицы больше массы покоящейся (т, з тз), которая называется мишенью. Из рис. 100 непосредственно видно, что угол разлета а между частицами после столкновения изменяется от я(2 до О. Максимальное значение импульса р,' будет тогда, когда мишень после столкновения движется почти перпендикулярно скорости налетающей частицы.
Отметим, что налетающая частица не может изменить направление своего движения на произвольный угол. Существует максимальный угол р,„ах. Отклониться больше, 4 ЕЕ. Графическое решеиие задачи иа столкиовеиие двух частиц при вз1> втз Нолрос о том, что яроискодит в области столкновения частиц, нас не интересует. Нам вантно знать лиаь, нанон существует связь карантеристин сталнивающикся частиц до и яосле столкновения. 278 / р 101. Графическое решение задачи ив столкновение двух частиц при т~(тт ггод неким углом разлетаются после столкновения частицы одинановой массы, если до столкновения одна из них поноиласьу Прм каком условии угол разлета между частицами после упругого столкновения заключен в пределах от О до и/11 Когда падающая на мишень частица в результате упругого столкновения не может отклониться на любой угол м когда может1 Какими факторами определяется величина переданной прм упругом столкновении знергим от движущейся частицы к мишени! Глава 9.
СТОзКНОВЕНИЯ р / / Ъ ./ / / л чем на этот угол, частица пе может. Оп получается на рис. 100 в том случае, когда линия р,' касается окружности. На рис. 101 выполнено геометрическое построение, описывающее столкновение, когда масса мишени больше массы падающей частицы (т ) пт,). Угол разлета частиц после столкновения, как это непосредственно видно на рисунке, изменяется в пределах гг/2 <" сс я. Угол р отклонения падающей частицы от первоначального направления изменяется от 0 до гт, т. е. частица может отклониться незначительно, а может изменить направление своего движения на обратное. В каждом из рассматриваемых случаев все характеристики столкновения определяются по углу О.
Но каково его значение в некотором конкретном столкновении? На этот вопрос законы сохранения ответить не могут. Все зависит от условий столкновения и особенностей взаимодействия. Поэтому законы сохранения не дают сами по себе полного решения задачи о столкновении, но позволяют проанализировать его основные особенности. Лобовое столкновение.
На рис. 100 и 101 видно, что покоящаяся частица получает в результате столкновения максимальный импульс в том случае, когда 43. Упругие столкновения 279 О = О. В этом случае столкновение называется лобовым или центральным ударом. Оно происходит, например, при движении бильярдных шаров навстречу друг другу вдоль линии, соединяющей их центры (эта линия не должна изменять свою ориентировку в пространстве в иперциальной системе координат).
Из (43.4) в этом случае сразу следует, что (43.5) р.', = [2т,/(и, + т,)~ р,. Кинетическая энергия второй частицы после удара И", = р,/2тв выражается через кинетическую энергию первой частицы до удара И~, = р,'/2т, следующей формулой: (43.6) , Р; = [4т,т,/(т, + т,) ~~ И'„ как это непосредственно следует из (43.5). Отсюда видно, что мак- симальная передача энергии происходит при равенстве масс частиц (и, = т,). В атом случае (43.7) [ 2=И и т. е. вся энергия от первой частицы передается второй. Первая частица при этом останавливается. Это видно как из закона сохранения энергии (43.7), так и из уравнения (43.5), принимающего внд р,' = р„и в комбинации с законом сохранения импульса (43.2), приводящего к равенству р', = О.
При значительном различии масс сталкивающихся частиц передаваемая энергия очень мала. Из (43.6) следует: (43.8а) (43.86) И"2 4(т,/т1) И'1 при и,~~в тм И"з-4(т,/т,)И', при и,'.ьт„ т. е. в обоих случаях И'2 ~ И~1. Однако передача импульса не является малой. Из (43.5) видно, что, если масса падающей частицы много меныпе массы покоящейся (и., ~ т,), покоящаяся частица после столкновения имеет импульс, много меньший, чем импульс падающей частицы [р', ~ (2т,/т,)р,[, однако скорость ее при этом не будет сильно отличаться от скорости падающей частицы. Учитывая, что р,' = т2т,' и р, = т,у„для скоростей находим (43.9) ~г = 2у~. В случае и, ~ и, передача импульса от первой частицы ко второй значительна (р~ ж 2р,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
