А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 78
Текст из файла (страница 78)
142). По оси ординат откладываются величины различных размерностей. Поэтому выбором масштаба амплитуды соответствующих колебаний всегда можно сделать равными, как это и изображено на рис. 142. Отклонение, скорость и ускорение представляются совершенно одинаковыми кривыми, но сдвинутыми друг относительно друга в направлении оси о>~. Непосредственно видно, что кривая скорости вмещена относительно кривой отклонения на величину Л (о>г) = >т(2 влево, а кривая ускорения точно на такую величину сдвинута относительно кривой скорости.
Поэтому говорят, что в гармоническом колебании скорость опережает по фазе на >т/2 смещение, а ускорение опережает> по фазе на л/2 скорость. Таким образом, ускорение опережает смещение по фазе на л. Конечно, можно сказать, например, что смещение отстает от скорости по фазе на Ы2 и т. д. Нелинейные колебания.
Если в разложении (57.1) для силы наряду с линейным членом з7' (0) существен также и следующий член, например лз7'" (0)/2(, то вместо (57,2) необходимо рассмотреть следующее уравнение движения: Глава 13. КОЛЕБАНИЯ при/' (О) = О обязательно должно быть, чтобы и/" (О) = О. В противном случае точка х = 0 не может быть точкой устойчивого равновесия. Очевидно, если /' (0) + О, то должно быть /' (0) ( 0 и, кроме того, производная /" (0) не обязана быть равной нулю и может иметь любой знак. Именно этот случай и рассматривается в (58.15).
Кроме того, предполагается, что величина /' (0) очень малая и поэтому последний член справа в (58.15) является малым в сравнении с другими членами. Разделим уравнение (58А5) на т и перепишем его следующим образом: х+доо'х= вздох где аналогично (57.3) приняты обозначения: (58,16) / (О) /" (0) /" (О) од е= — =— од ' 2одод', 2/ (О) ' (58.16а) (58.17) хо (г) = Ао здп одог. Это колебание называется невозмущенным движением.
Для рассматриваемой правой части (58.16) в качестве возмущения необходимо, чтобы амплитуда Ао не была слипдком большой. Она должна удовлетворять условию еА, <, '1. В противном случае нельзя применять теорию возмущений. Решение при наличии возмущения, т. е.
при е + О, можно представить в виде (58.18) х = А, е(п одог + хд (г), где х, (1) есть поправка к невозмущенному движению. При е -»0 величина х, (д) также должна стремиться к нулю. Поэтому х, (д) является малой величиной в сравнении с отклонениями при невозмущенном движении, т. е.
имеет место соотношение ~ хд ) ~ ~Ао. Под- Величина е является параметром малости члена, пропорционального квадрату смещения. Как это непосредственно видно в (58А6), она имеет размерность, обратную длине, и поэтому может быть представлена в виде е = 1/Ь, где Ь вЂ” большая длина. Теперь можно более ясно определить смысл малости величины е: если смещения х достаточно малы и удовлетворяют соотношению х ((Ь = 1/е, то член в правой части (58.16) можно рассматривать как малый. В данном случае этот член называется возмущением, а метод, с помощью которого находится приближенное решение уравнения, — методом, или теорией возмущений. Рассмотрим на примере уравнения (58.16) сущность этой теории и основные особенности нелинейных колебаний.
При е = О, т. е. когда возмущение отсутствует, система совершает гармонические колебания. Пусть в этом случае гармоническое колебание имеет вид 38. Собственные колебания 363 ставляя выражение (58.18) для х в уравнение (58.16), получаем сле- дующее уравнение для х, (г): х, + олох, = еолоо (А о э) по о>о/ + 2А ох, з1 и ело/ + х',). (58.19) Второе и третье слагаемые в скобках в правой части много меньше первого слагаемого в силу неравенства ~ х, ( ~ А,. Поэтому ими можно пренебречь в сравнении с первым слагаемым н записать уравнение (58.19) в виде х, +о„'х, = —" Ао (1 — соз 2оло/).
(58.20) где использована формула э1п' олог = (1/2) (1 — соз 2олот). Решение этого уравнения будем искать в форме (58.21) х, = а, + Ь, соз 2олот, где а, и Ь, — постоянные. Подставляя (58.21) в (58.20), находим о1оал+ Ьт ( — 4ыо+ ело) соэ 2<~о~ = 2 4о 2" Ао соз 2оло~. (58.22) Поскольку это равенство должно быть справедливым для всех момен- тов времени, коэффициенты при соз 2ыот в правой и левой частях его должны быть равны друг другу. Из этого условия получаем: Ь, ( — 4юо+оло) = 2 Ао Ь, = еА,'/6. (58.23) (58.24) При этом значении Ь, члены, зависящие от времени, в (58.22) сокращаются.
Оставшиеся члены дадут уравнение, из которого найдем, что (58.25) а, = еА,'/2. Следовательно, решение (58.18) с учетом первой поправки может быть записано в виде х = Ао з(п о)о~ + 2 еАо + —. еАо соз 2оог 6 (58.26) Наиболее существенной особенностью этого решения является присутствие члена с сов 2ало/. Он показывает, что благодаря наличию в силе нелинейного члена, пропорционального хо, в колебаниях появился член с удвоенной частотой 2ол„называемый второй гармоникой. При отсутствии нелинейного члена в колебаниях имеется лишь член с основной частотой ао. Если продолжить решение уравнения (58.16) и найти следующие более малые поправки, то можно убедиться, что они содержат более высокие частоты поло, кратные основной, иначе говоря, содержат высшие гармоники. Поэтому можно сказать, Глава 13.
КОЛЕБАНИЯ что наиболее характерным следствием наличия нелинейности в силе является возникновение высших гармоник в колебаниях. Далее из (58.26) видно, что оба составляющих колебания с частотами о>0 и 2о>0 происходят не около точки х = О, а около точки л = = (1(2)еА'„т. е. наличие нелинейного члена, пропорционального х', сдвигает точку равновесия, около которой происходят колебания. Этот результат вполне понятен, если учесть, что сила, пропорциональная х', направлена все время в одну н ту же сторону и, следовательно, неизбежно должна сдвинуть точку, около которой совершаются колебания. Тем же путем можно рассмотреть случай, когда в разложении (57.1) для силы отсутствует член с х' (т. е. когда 7'" (0) = 0) и необходимо учесть член, пропорциональный зз.
В этом случае вместо (58 15) имеем следующее уравнение: т —, =х7'(0)+ — 7"" (0), (58.27) которое может быть представлено в аналогичном (58.16) виде: л+ о>~>л = >)о>фаз, (58.28) где (58.28а) Параметром малости является величина >). Прн» -> 0 решение (58.28) должно стремиться к гармоническому колебанию с частотой «> .
Решение этого уравнения методом теории возмущений производится абсолютно так же, как зто было сделано вьппе. Наряду с основной частотой с> в первом приближении появится высшая гармоника, но не с удвоенной частотой, а с утроенной. Это является следствием тригонометрической формулы з>п е>,г = — (3 шп о>08 — шп Зе>эг). 1 4 (58.29) Сила, пропорциональная хз, при равных по модулю положительных и отрицательных значениях х имеет одну и ту же абсолютную величину, но противоположное направление. Это означает, что эта сила является либо силой притяжения к точке х = О, либо силой отталкивания от нее, действующей совершенно симметрично относительно этой точки.
Поэтому никакого сдвига точки, около которой совершаются колебания, не происходит, как это было в предыдущем случае. Колебания с частотами е>, и Зе>, совершаются около точки х =О. Эти примеры показывают, что наиболее важной особенностью нелинейных колебаний является возникновение высших гармоник. Какие именно гармоники порождаются, зависит от характера нелинейности силы. 59. Затухающие колебания (59.3) Это квадратное уравнение относительно р. Его решения выражаются известной формулой ~-гр ~ ~'а,' — у'-~у ' Я; Я=1 вГ 7.
(59.7) 59. Затухающие колебаноя Трение. Собственные колебания линейного осциллятора происходят в отсутствие внешних сил. Энергия его колебаний сохраняется, а следовательно, и амплитуда колебаний не изменяется. Собственные колебания являются незатухающими. При наличии трения, являющегося внешней силой, энергия колебаний линейного осциллятора уменьшается, а следовательно уменьшается и амплитуда колебаний. Колебания при наличии трения становятся затухающими. Нетрудно видеть, что и частота колебаний должна изменяться.
Сила трения действует против скорости. Следовательно, для линейного осциллятора ее действие эквивалентно уменьшению возвращающей силы, т. е. упругости пружины (уменьшение величины (о). Поскольку ю = (о(т, это означает, что частота колебаний должна уменьшаться, а период увеличиваться. При увеличении трения период колебания может увеличиться до сколь угодно большого значения. При достаточно большом трении вообще никакого колебания происходить не будет, потому что вся энергия осциллятора расходуется на преодоление снл трения на очень коротком пути, составляющем лишь часть колебания. Уравнение движения. Рассмотрим силу жидкого трения.
В правую часть уравнения движения надо добавить силу жидкого трения, и оно приобретает следующий вид: тх = — (ох — Ьх, (59Л) где Ь вЂ” коэффициент трения, о смысле которого говорилось в т 53, Это уравнение удобно переписать таким образом: х+2ух+ аох = О, (59.2) где у =д(2т, во — — (с(т. Частота и декремент затухания. Решение уравнения (59.2) удобно искать в вице х= АоФ". Учитывая, что Б — (е1Ве) = — Фе1В!, —, (еФ!) = — розог Ы, ~Р (59.4) и подставляя (59.3) в (59.2), находим АоеВ'( — ро+2(ур+оэо) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
