А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 82

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 82)

Поэтому естественно рассматривать процесс как периодический с периодом Т. Представим эту силу в виде (60.23). Очевидно, что составляющие силы, соответствующие членам и «» 1, за время Т успевают сделать много колебаний, причем стационарный режим для них устанавливается в течение времени нескольких первых колебаний. Поэтому для этих составляющих полностью применимы все выводы о действии периодической силы. Если частоты попадают в резонансную область, то амплитуда соответствующих колебаний сильно возрастает. Ввиду того, что в этом случае может быть а <, 'в, (ю = 2я/Т), вблизи резонансного значения па = аз могут находиться частоты многих членов (60.23).

Соответствующие почти резонансные колебания складываются друг с другом. С другой стороны, в этом случае первые члены суммы (60.23) с и = О, 1, 2, ... имеют частоты, много меньшие резонансной. Для таких частот справедливо уравнение (60.12), когда отклонение как бы мгновенно следует за силой. Таким образом, если непериодическая сила существует много дольше времени установления колебаний и периода резонансных колебаний, то процесс рассматривается совершенно аналогично случаю периодической силы. Строго говоря, при таком подходе будет допущена некоторая ошибка, потому что в начале и конце действия силы состояние движения осциллятора не будет полностью одинаковым.

Поэтому к периоду Т следовало бы добавить время затухания т, чтобы второй «воображаемый период» начался так же, как и первый, когда колебания до начала действия силы отсутствуют. Но т ~«, 'Т, и это уточнение больших изменений не несет. С математической точки зрения для более строгого решения задачи следует перейти к непрерывному спектру, а именно считать, что период действия силы Т -э оо. Тогда вместо выражения силы в виде (60.23) как суммы по частотам ее можно представить в виде интеграла по частотам: 61. Автоколебания и параметрические колебания ЗВ1 значения.

Величины а„ и Ь характеризуют амплитуды силы и называются плотностьюамплитуд. Величина а Иа есть суммарная амплитуда тех составляющих силы, изменяющихся по закону соз а1, частоты которых лежат между ы и (о + Ыв). Аналогичный смысл имеет величина Ь„На, связанная с колебаниями по закону з1п вт. Вынужденные колебания в своем составе также содержат всевозможные частоты, плотности амплитуд которых соответствующим образом связаны с плотностью амплитуд силы тех же частот. Компоненты силы с частотами, лежащими в области резонанса, вызывают сильное увеличение амплитуд смещения. Физическое содержание явлений при непрерывном спектре не отличается существенно от случая дискретного спектра. Если время действия Т внешней силы меньше, чем время установления вынужденных колебаний т = 1/у, то представления, основанные на картине установившихся вынужденных колебаний, применять нельзя.

В этом случае необходимо исследовать движение осциллятора в переходном режиме. Резонанс при нелинейных колебаниях. Важнейшей особенностью вынужденных нелинейных колебаний являются резонансы на комбинационных частотах. Как было отмечено в $ 58, в нелинейных колебаниях наряду с основной частотой в, присутствуют высшие гармоники с частотами пв,. Под действием внешней гармонической силы с частотой в резонанс наступает не только на основной частоте, когда а в, но и на частотах высших гармоник, когда в пы,.

В спектре произвольной периодической силы наряду с основной частотой ы присутствуют высшие гармоники с частотами то. Поэтому резонанс может наступить при часто~ах, удовлетворяющих условию та = = пв„ т. е. при различных комбинациях основных частот. Конечно, роль того или иного резонанса зависит от его амплитуды, а последняя зависит от характеристик как нелинейной системы, так и силы.

Если амплитуда мала, то резонанс нет необходимости принимать во внимание. 61. Автоколебания и параметрические колебания Определение. Из-за потери энергии на трение собственные колебания постепенно затухают. Если к осциллятору подводить энергию от источника внешней гармонической силы, то он начнет колебаться с частотой этой силы, которая, вообще говоря, отличается от собственной частоты осциллятора. Однако можно создать устройства, в которых осциллятор сам регулирует подвод энергии из внешнего источника таким образом, чтобы компенсировать потери энергии на трение. За период колебаний из внешнего источника энергия, приобретаемая осциллятором, равна энергии, затрачиваемой на преодоление сил трения.

В результате осциллятор совершает незатухающие колебания. Такие самоподдерживающиеся колебания называются автоколебаниями. Если трение 382 Глава 13. КОг%БАНИЯ 14$. Маятник, подвешенный на вращающуюся ось, является простейшей автокопебательной системой Аля осуществления аетонолебаний необкодимо имать внешний источник анергии. Нолеблющаяся система сама в нутном темпе берет анергию от етого источника, чтобы нолебания ее были незатукающими. невелико, то за один период в систему поступает лишь небольшая доля полной энергии осциллятора, В этом случае автоколебания с очень большой точностью являются гармоническими и их частота очень близка к частоте собственных колебаний.

Если же силы трения велики, то за один период в систему подводится значительная часть полной энергии осциллятора и поэтому колебания сильно отличаются от гармонических, хотя и являются периодическими. Период этих колебаний не совпадает с периодом собственных колебаний осциллятора. Автоколебания маятника. Рассмотрим колебания маятника, подветпенного на оси во вращающейся втулке (рис. 148), и превращение его энергии в различных случаях. Пусть маятник покоится. Тогда вращающаяся втулка в результате скольжения относительно оси совершает работу на преодоление сил трения.

Эта работа полностью превращается во внутреннюю энергию, и в результате ось и втулка нагреваются. Источником энергии, превращенной во внутреннюю, является машина, приводящая во вращение втулку. Пусть теперь маятник колеблется. В тот полупериод колебаний маятника, когда направления вращения оси маятника и втулки совпадают, силы трения совпадают по направлению с двинтением точек поверхности оси. Поэтому зти силы вызывают усиление колебаний маятника. С другой стороны, энергия, превратившаяся во внутреннюю, за время полу- периода колебаний в сравнении со случаем покоящегося маятника уменьшается ввиду того, что относительное перемещение трущихся поверхностей (внетпняя поверхность оси и внутренняя поверхность втулки) уменьшается. Поэтому лишь часть энергии от машины, вращающей втулку, превращается во внутреннюю, а другая часть идет на увеличение энергии колебаний маятника.

61. Автоколебания и параметрические колебания 383 В другой полупериод колебаний маятника, когда направления вращения его оси и оси втулки противоположны, силы трения действуют против направления движения маятника. Поэтому они тормозят его движение и энергия колебаний маятника превращается во внутреннюю. Знергия от машины, вращающей втулку, в этом случае также полностью превращается во внутреншою.

Полный результат превращений энергии в течение периода колебаний определяется характером зависимости сил трения от скорости. Если силы трения не зависят от скорости, то энергия, приобретаемая маятником в полупериоде колебаний, когда направления вращения его оси и вала совпадают, равна энергии, теряемой им на работу против сил трения в другом полупериоде. В этом случае вращение втулки не вносит каких-либо изменений в колебания маятника в сравнении со случаем невращающейся втулки.

Если сила трения увеличивается с возрастанием скорости, то энергия, приобретаемая маятником за полупериод колебаний, когда направления вращения его оси и вала совпадают, меньше энергии, теряемой пм на работу против сил трения в другом полупериоде, поскольку во втором полупериоде относительные скорости больше, а следовательно, и силы трения больше, чем в первом полупериоде. В этом случае вращение втулки увеличивает затухание колебаний маятника. Если сила трения уменьшается с увеличением скорости, то энергия, приобретаемая маятником в полупериоде колебаний, когда направления вращения его осн и вала совпадают, больше энергии, теряемой им на работу против сил трения в другом полупериоде, поскольку во втором полупериоде относительные скорости больше, а следовательно силы трения меньше, чем в первом полупериоде.

Таким образом, вращение втулки приводит к увеличению амплитуды колебаний маятника. Однако при этом возрастают потери энергии маятника на трение о воздух. Когда поступающая в маятник энергия за период становится равной энергии, теряемой на трение, наступает режим колебаний с постоянными амплитудой и частотой, называемой автоколебательным режимом.

Характеристики

Список файлов книги