А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Если потери на трение за один период невелики в сравнении с полной энергией колебаний маятника и амплитуда колебаний достаточно мала, то этп колебания являются гармоническими, а их частота равна собственной частоте колебаний маятника. Автоколебания широко применяются в технике. Хорошо известным примером являются маятниковые часы. В пих сообщение энергии маятнику происходит толчками в результате приложения усилий к маятнику со стороны пружины или подвешенных гирь в моменты времени, определяемые колебаниями самого маятника.
В электрическом звонке колебания молоточка включают и выкл|очают электрический ток, который сообщает энергию системе звонка, благодаря чему поддерживаются автоколебания молоточка. Глава 13. КОЛЕБАНИЯ а) б) Чем автоколебания отличаются от вынужденных колебаний1 При наличии ветра верюины деревьев колеблются. Являются эти колебания вынужденными или автоколебаниями! Можете лн Вы доказать прямым расчетом соблюдение закона сохранения энергии в параметрическом возбуждении колебаний на примере раскачивания на качелях! Релаксационные колебания высоты столба жидкости Релакеационные колебания. Эти колебания являются частным случаем автоколебаннй, однако характер изменения величин со временем очень своеобразен: в течение сравнительно длительного времени в системе медленно накапливаются изменения, затем очень резко, почти скачком, происходит изменение ее состояния и она возвращается в первоначальное состояние; затем снова накапливаются медленные изменения и т.
д. Известный с древних времен пример таких колебаний показан на рнс. $40, а. В сосуд введена широкая трубка-сифон, по которой вода может вытекать нз сосуда. Наливается в сосуд вода из крана тонкой струей. Благодаря этому уровень воды в сосуде медленно повышается. Когда уровень достигает нижней стенки сифонной трубки в ее верхней части (высота Н,), вода начнет переливаться нарух<у, увлекает за собой воздух и заполняет все сечение сифона в верхней части.
После этого она выливается нз сифонной трубки по всему поперечному сечению, т. е. очень быстро, поскольку это сечение большое. Уровень воды в сосуде резко понижается до нижнего конца сифонной трубки внутри сосуда (высота И,). После этого начинается новый цикл заполнения водой. График изменения высоты уровня воды в сосуде изображен на рис. 149, б. Видно, что 62.
Колебания связанных систем 385 эти колебания носят разрывный характер: в верхней и нижней точках скорость изменения й скачком меняет свой знак на обратный — от поло>кительного значения при росте Й на отрицательное значение в верхней точке, когда начинается выливание жидкости через сифонную трубку. Параметрическое возбуждение колебаний. Свойства колеблющихся систем описываются величинами, называемыми параметрами Например, математический маятник характеризуется одним параметром — его длиной.
При изменении этого параметра изменяются колебательные свойства маятника, а именно частота собственных колебаний. Если этот параметр изменять в определенном такте с колебаниями, то можно сообщить маятнику энергию и тем самым увеличить амплитуду его колебаний либо просто поддерживать колебания в незатухающем режиме. Такое возбуждение и поддержание колебаний называется параметрическим. Хорошо известным примером параметрического возбуждения и поддерживания колебаний является качание на качелях.
Когда качели находятся в верхней точке, качающийся на них приседает, а когда качели проходят нижнюю точку, он снова выпрямляется. В результате приседания в верхних точках совершается меньшая по абсолютному значению работа, чем работа при подъеме в ни>иней точке. Разность работ, по закону сохранения, равна разности энергий качаний, и качели раскачиваются. Если эта энергия затрачивается полностью на работу силы трения, то качания поддерживаются в незатухающем режиме. 62. Колебания связанных систем Системы со многими степенями свободы. Если система' обладает несколькими степенями свободы, то при малых отклонениях от положения равновесия возможны одновременно колебания по всем сте,пеням свободы. Например, в упомянутом раньше случае колебания моста одной из степеней свободы является его колебание в вертикальной плоскости, а другой — в горизонтальном направлении, Есть, конечно, и другие степени свободы.
Обычный маятник может коле баться в двух взаимно перпендикулярных вертикальных плоскостях, проходящих через точку подвеса. Поэтому он имеет две степени свободы. Если колебания, соответствующие каждой из степеней свободы, независимы друг от друга, т. е. не могут обмениваться друг с другом энергией, то рассмотрение движения системы с несколькими степенями свободы является чисто кинематической задачей: зная движение по каждой степени свободы, надо произвести кинематическое сложение движений. Хотя суммарное движение и может быть при этом весьма сложным, оно не содержит в себе с динамической точки зрения никаких новых физических закономерностей.
Лишь наличие связи различных степеней свободы между собой придает колебанию системы со многими степенями свободы новые физические закономерности. ! Э Механика и т серна стнсеитеньнссти 386 Глава 13. КОЛЕБАНИЯ ,:т,,'вйэ .'««ея~ 'э,:~„'.- $$0. Колебания свяэанных систем В связанной системе черве связи происходит обмен енвргией метду ее частями.
Связанные системы. Связанной системой называется система со многими степенями свободы, меящу которыми имеются связи, обеспечивающие возможность обмена энергией. В качестве примера рассмотрим два маятника, соединенных между собой пружиной, осуществляющей эту связь (рис. 150). Эта система может колебаться в вертикальной плоскости, в которой в состоянии равновесия находятся маятники и пружина, также в перпендикулярных этой плоскости направлениях. Всего имеются четыре степени свободы, свяаанные между собой. Если один из маятников вывести из положения равновесия, отклонив его одновременно и в плоскости маятников, и в перпендикулярном этой плоскости направлении, то после начала колебания начнет раскачиваться второй маятник по своим степеням свободы.
Колебания маятников изменяются по амплитудам. В целом наблюдается довольно сложная картина движения маятников и передачи энергии от одного маятника к другому. Нормальные колебания. Несмотря на сложность движения двух связанных маятников, оно всегда может быть представлено как суперпозиция четырех гармонических колебаний, частоты которых нааываются нормальными частотами связанной системы, Число нормальных частот равно числу степеней свободы.
В данном случае имеем четыре нормальных частоты. Рассмотрим, чем они определяются и как могут быть найдены. Прежде всего опишем колебания маятников в вертикальной плоскости, перпендикулярной линии, соединяющей их точки подвеса. Каждый из маятников в атой плоскости может занимать некоторое положение. Состояние системы характеризуется полонсением обоих маятников. Рассмотрим простейшие состояния системы: 1) оба маятника отклонены от положения равновесия в одну и ту же сторону на один и тот же угол, 2) маятники отклонены 62. Кояебання связанных систем 387 в разные стороны на один и тот же угол.
Эти простейшие отклонения называются нормальными. Любое возможное отклонение маятников может быть представлено в виде суммы их одинаковых отклонений в одну сторону и разные стороны, или, иначе, любое состояние системы в указанном выше смысле является суперпозицией состояний (1) и (2). Доказательство этого утверждения легко выполнить с помощью графика на рис. 151. Пунктиром указана средняя линия равновесия.
Величины а и Ь означают отклонения маятников от положения равновесия (Ь ) а). После знака равенства изображены те комбинации отклонений 1 н 2, которые в сумме дают исходные отклонения маятников, Если маятники отклонить одинаково в одну сторону и отпустить, то они колеблются с некоторой частотой а„ которая называется нормальной. Частота колебаний маятников, отклоненных одинаково в противоположных направлениях, является другой нормальной частотой газ. Произвольное колебание двух маятников в указанных направлениях в соответствии с разложением, изображенным на рис.
151, может быть представлено в виде суммы двух гармонических колебаний с нормальными частотами. Аналогичным образом рассматриваются колебания маятников в вертикальной плоскости, проходящей через линию, соеединяющую их точки подвеса. Нормальными колебаниями здесь являются колебания маятников, отклоняющихся на один угол в одну сторону и в разные стороны. Все рассуждения здесь аналогичны предшествующему случаю. Следовательно, колебания двух связанных маятников в этом направлении также могут быть представлены в виде суммы двух колебаний с нормальнымн частотами, равными частотам соответствующих нормальных колебаний. Полное движение двух маятников с четырьмя степенями свободы являются 151.
Представление лроизвольго отклонения двух маятников в виде суммы двух нормальных отклонений Какая особенность системы со многими степенями свободы делает ее связаннои системой! Что такое нормальные колебания связанной системы! Глава 13. КОЛЕБАНИЯ 388 Сколько иормальныз колебаний имеет связанная система! Как с помощью нормальныз колебаний представляется произвольное колебание связанной системы! т52. К расчету отклонений лри колебьнияк связаннык систем суперпозицией четырех нормальных колебаний с соответствующими нормальными частотами.
В данном случае не все из этих нормальных частот различны, но это ни в какой степени не изменяет существа дела. Таким образом, задача исследования связанных систем сводится к нахождению их нормальных колебаний и нормальных частот. Иногда простые соображения позволяют указать нормальные колебания, как зто было в только что рассмотренном случае. Две из нормальных частот являются просто частотой собственных колебаний маятника (с учетом или без учета массы пружины и высоты ее подвеса), а две другие — частотами колебаний маятников при наличии дополнительной силы упругости со стороны пружины при симметричных отклонениях маятников от положения равновесия в противоположных направлениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
