А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 84
Текст из файла (страница 84)
В большинстве же случаев задача оказывается значительно сложнее. Существуют общие методы нахождения нормальных частот, на изложении которых мы здесь не имеем возможности остановиться. Колебания связанных систем. Теперь выполним подробно математическое описание колебаний связанных систем на примере связанных маятников, ограничиваясь случаем двух степеней свободы. Будем считать, что маятники колеблются в одной 389 62. Колебания связан<е <х систем х,=Аз<в(о,г+<р,)+Вя1п(о,т+<рт), х, = А шп (о,<+ <р,) — В шп (о,< + <р,).
(62.1) Четыре неизвестные постоянные А, В, <р, и <р определяются из начальных условий, выражающих значения отклонений хпп х„ и скоростей х„, х о в начальный момент времени, например ~ = О: хто — — А я<п <р, + В я< и <р„х„= А я<п <р, — В я< и <р,; (62.2) хто — — Ао соя <р,+ Во соя <р„х„=Ао соя <р, — Во соя <р,. Найдя из уравнений (62.2) величины А, В, <р, и <р„мы полностью опишем движение с помощью формул (62.1). Теперь решим ту же задачу, применяя непосредственно динамические законы движения.
Запишем уравнения движения заданных математических маятников, считая их длину 1 одинаковой: а, = — (д/1) а,, а, = — (д//) а„ (62.3) где а и а, — углы отклонения каждого из заданных маятников от верти«алей. Отклонения от положения равновесия связаны с углами а, и ат очевидными соотношениями (рис. 152): х, = а,1, х, = а 1. Поэтому уравнения движения материальных точек без учета их связи пружиной имеют вид: 1 (д/1) х1 хт (я/") х2 (62.4) При деформации пружины возникают силы, пропорциональные удлинению (закона Гу«а). Удлинение пружины есть х, — хт и потому силы, действующие на материальные точки, равны Р'т = — Р, =/<(х,— хт), (62,5) и той же плоскости, совпадающей с вертикальной плоскостью, проходящей через точки подвеса и положение равновесия материальных точек математических маятников (рис.
152). При малых колебаниях можно пренебречь вертикальными смещениями точек и рассматривать их движение вдоль одной прямой. Положение колеблющихся точек характеризуется их смещениями х, и х, от своих положений равновесия, обозначенных буквами О< и О,. Когда точки находятся одновременно в положениях равновесия, соединяющая нх прун<ипа недеформирована и пе действует на точки с какими-либо силами.
Обозначим частоту нормального колебания маятников, когда они колеблются синхронно (в одной и той же фазе), через о„а когд а в противофазе — через о,. Ясно, что о, ) о,. Общее колебание системы является суперпозицией двух нормальных колебаний. В соответствии со сказанным выше о способе разлоя<ения произвольного движения связанных маятников можем написать: Глава 13. КО3%БАНИЯ где /с — коэффициент пропорциональности.
Поэтому уравнения движения точек с учетом сил связи посредством пружины имеют вид: хт = — (г/1) х, + (/с/т) (хо — х,), х, = — (д/1) х, — (/с/т) (х, — хс), (62,6) где сп — одинаковая масса материальных точек. Проще всего эти два связанных уравнения решить следующим образом. Складывая их левые и правые части, а затем вычитая, получим: х,+х,= — Ц/г) (х,+х,), х, — х, = — (д/Е) (х, — х,) — (2/с/лс) (х, — хо).
(62.7а) Решение этих уравнений хорошо известно: х1+х, = А, з1п (сосс+ ср,), х, — х, = В, зсп (соос+ ср,). (62.8) Отсюда для отклонений х и хо путем сложения и вычитания левых и правых частей получаем: хс = (1/2)Ао зсп (со1с+ ср,) + (1/2)Во з1п (соос + сро), хо (1/2)Ао з1п (со1с + со1) — (1/2)Во з(п (соос + сро).
(62.9) Эти формулы, как и следовало ожидать, совпадают с формулами (62.1), если положить А = А,/2, В = В,/2. Поэтому величины со, и сэо, определенные формулами (62.7а), являются нормальнымн частотами колебаний рассматриваемой связанной системы с двумя степенями свободы. Таким образом, уравнение для суммы и разности отклонений маятников имеет вид уравнений свободных гармонических колебаний: (х,+х,)" +со,'(х,+хо) =О, (х1 — хо)" +со,'(х1 — хо) = О, (62.7) Глава 14 НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 63. Силы инерции Определение неинерциальных систем. Неннерциальной системой отсчета называется система, движущаяся ускоренно относительно инерциальной. Система отсчета связана с телом отсчета, которое, по определению, принимается за абсолютно твердое.
Ускоренное движение твердого тела включает в себя ускорение как поступательного движения, так и вращения. Поэтому простейшими неинерцнальными системами отсчета являются системы, движущиеся ускоренно прямолинейно, и вращающиеся системы. Время и пространство в неинерциальных системах отсчета. Чтобы описать движение в некоторой системе отсчета, необходимо разъяснить содержание высказывания о том, что такие-то события произошли в такях-то точках в такие-то моменты времени. Для этого прежде всего надо, чтобы в системе отсчета существовало единое время в том смысле, как это было изложено в $ 7. В неинерциальных системах отсчета единого времени в ука- 63.
Сипы инерции 64. Неинерциальные системы, движущиеся прямолинейно- поступательно 65. Невесомость. Принцип эквивалентности 66. Неинерциальные вращающиеся системы координат 67. Гироскопические силы неинерциальных системах отсчета В существуют силы инерции. Опи реальны и имеют многообразные проявления и важные практические применения. Однако использование понятия сил инерции при анализе движений в иперциальных системах отсчета является ошибочным, так как в них эти силы отсутствуют. Гл а на 14.
НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА закпом в 5 7 смысле не существует. Поэтому не ясно, как можно измерять длительность процессов, начинающихся в одной точке и заканчивающихся в другой. Понятие длительности таких процессов теряет смысл, поскольку скорость хода часов в различных точках различна. Усложняется также проблема измерения и сравнения длин. Например, трудно определить понятие длины движущегося тела, если не ясно, что такое одновременность в различных точках.
Этн трудности можно частично обойти, если принять во внимание, что интервал собственного времени не зависит от ускорения. Поэтому для анализа пространственно-временнйх соотношений в некоторой бесконечно малой пространственно-временнбй области неннерциальной системы отсчета мо>нно воспользоваться пространственно-временейми соотношениями инерциальной системы отсчета, которая двннсется с той я<е скоростью, но без ускорения, как и соответству>ощая бесконечно малая область неинерциальной системы.
Такая инерциальная система отсчета называется сопровожда>ощей. Таким путем удается установить зависимость между физическими велпчинами, если они определяются пространственно-времепнымн соотношениями в бесконечно малой области, а затем распространить нх па конечные области. Такой путь сложен и здесь не будет использован. Мы ограничимся рассмотрением движения с малыми скоростями, когда все этп трудности не возникают и можно использовать преобразования Галилея, считая, что пространственно-временные соотношения в неинерциальной системе таковы же, как если бы она была ннерциальной. Силы инерции. В инерциальных системах координат единственной причиной ускоренного движения тела являются силы, действующие на него со стороны других тел.
Сила всегда есть результат взаимодействия материальных тел. В пеиперциальных системах можно ускорить тело простым изменением состояния движения системы отсчета. Рассмотрим, например, неинерциальную систему отсчета, связанную с автомобилем. Прн изменении скорости его относительно поверхности Земли в атой системе отсчета все небесные тела испытывают соответствующие ускорения. Ясно, что зти ускорения не являются результатом действия на небесные тела каких-либо сил со стороны других тел. Таким образом, з неинерциальных системах отсчета существуют ускорения, которые не связаны с силами такого же характера, какие известны в инерциальных системах отсчета.
Благодаря атому первый закон Ньютона в них не имеет смысла. Третий закон Ньютона в отношении взаимодействия материальных тел, вообще говоря, выполняется. Однако, поскольку в неинерциальных системах отсчета ускорения тел вызываются не только «обычными» силами взаимодействия между материальными телами, проявления третьего закона Ньютона настолько исйажаются, что он также утрачивает ясное физическое содержание. 63. Силы инерции 393 При построении теории движения в неинерциальпых системах в принципе можно было бы идти по пути коренного изменения представлений, выработанных в инерциальных системах, а именно можно было бы принять, что ускорения тел вызь>ваются не только силами, но и некоторыми другими факторами, которые ничего общего с силами не имеют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
