А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Уравнение движения имеет вид ттт'=Т+тд+Рцб =-О. (66.18) В инерциальной системе отсчета уравнение движения маятника, находящегося в равновесии, таково (рис. 161, б): ттт = Т+ тд. (66.19) Непосредственно на рнс. 161 видно, что сдя = взг(р, ш = оРг (сс — угол между вертикалью и подвесом маятника). Движение тела вдоль вращающегося стержня.
Пусть жесткий стержень вращается вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его концов (рис. 162). К осн вращения тело прикреплено пружиной, и сила со стороны пружины пропорциональна расстоянию тела от оси вращения Ц = — пт). 64. Неииерциальиые вращающиеся системы координат 407 Если й = тетя, то центробежная сила инерции Рце = тоРг на любом расстоянии от оси вращения уравновешивается силой пружины.
В этом случае тело вдоль стержня движется с постоянной скоростью и' (относительно стержня). Стерхтень несколько изгибается (рис. 162). Рассмотрим движение и силы в инерциальной (неподвижной) и неинерциальной (связанной со стержнем) системах координат. В инерциальной системе координат на тело действуют две силы (рис. 162, а): 1) центростремительная сила 1ц, со стороны пружины, направленная в кахсдый момент к оси вращения и равная тетвг. Эта сила обеспечивает движение тела вокруг оси вращения; 2) сила со стороны изогнутого стержня Еява (эта изогнутость для очень жесткого стержня мохтет быть сколь угодно малой, но сила имеет конечное значение), которая сообщает телу ускорение ттк, являющееся кориолисовым. Это обычная сила, обусловленная деформацией стержня. В неинерциальной системе координат, связанной с вращающимся стержнем, имеются четыре силы, которые взаимно уравновешиваются, в результате чего тело движется в этой системе равномерно, без ускорений (рис.
162, б); 1) центробежная сила инерции тгцб = теРг, направленная вдоль стерхтня от оси вращения; 2) центростремительная сила со стороны пружины, равная йг = тоРг и направленная вдоль стержня к оси вращения; 3) кориолисова сила инерции г к, приложенная к телу. Следует подчеркнуть, что эта сила приложена именно к телу, а не к стержню. Он изогнут за счет обычного взаимодействия деформированных тел, а не потому, что к нему прилохтена сила Кориолиса.
Ситуация здесь совершенно аналогична случаю тела, лехтащего на столе: сила тяжести приложена к телу, а на стол со стороы тела действует сила, обусловленная его деформацией, а отнюдь нс сила тях<ести; 4) со Равновесие маятника во вращающейся системе отсчета: а — ° наннарцнааьнай; й — инар. цнаньнай 408 Глава 14. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 162. Сила Кориолиса гк приложена к телу и направлена противоположно кориолисову ускорению ттк Какие два типа траекторий при колебанияв маятника Фуко можно осуществить н как! Можете ли Вы указать проявления сил инерции при движении тел вблизи земной повервности! Ен = — 2т [Фв+ Фг т'+ уг1 = = — 2т [се„уг1 — 2т [ет„Я— 2т [е>г1 тг] (66.20) где учтено, что [т»„ ув1 = О. Вертикальная составляющая скорости ув' обусловливает возникновение составляющей силы Кориолиса — 2т [се„тгв1 в горизонтальной плоскости перпендикулярно плоскости меридиана.
Если тело движется вверх, то сила направлена на запад, а если вниз — то на восток. Поэ- стороны изогнутого стержня к телу приложена сила Гл,ф, обусловленная деформацией штанги. Эта сила равна силе Кориолиса, но противоположна ей по направлению. Неинерциальная система координат, связанная с поверхностью Земли. Поскольку Земля вращается, система координат, связанная с ее поверхностью, является неинерциальной вращающейся системой координат. Угловую скорость вращения в любой точке поверхности удобно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие (рис.
163): «т = етв + еу,. На широте <р эти составляющие равны соответственно: сег = се соз ср, сев = ю зтп ср. Центробежная сила инерции, равная тсезЛ соз гр, где  — радиус Земли, лежит в плоскости меридиана. В северном полушарии она отклонена от вертикали к югу на угол гр, в южном — к северу на тот же угол. Таким образом, вертикальная составляющая этой силы изменяет силу тяжести, а ее горизонтальная составляющая направлена по касательной к поверхности Земли вдоль меридиана к экватору.
Сила Кориолиса зависит от относительной скорости тела. Зту скорость удобно разложить на вертикальнуго и горизонтальную составляющие: т' = т,'+ т„'. Тогда сила Кориолиса может быть представлена в виде 66. Неинерцианьные вращакзнснесн системы координат Система координат, связанная с поверхностью Земли тому свободно падающее с достаточно большой высоты тело отклоняется на восток от вертикали, направленной в центр Земли. Эта сила, отклоняющая тело от вертикали, очевидно, равна 2тсо соз тров'. Горизонтальная составляющая скорости ч„' обусловливает возникновение двух составляющих силы Кориолиса. Составляющая, равная — 2пз [ат„, т,'~, зависит от горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли и направлена вертикально.
Эта сила либо прижимает тело к Земле, либо, наоборот, стремится удалить его от поверхности Земли в зависимости от направлений векторов азт и т'„. Эту силу необходимо принимать во внимание при движении тел на достаточно большие расстояния, например при полете баллистических ракет. Вторая составляющая силы Кориолиса, связанная с горизонтальной составляющей скорости движения т,', равна — 2т!ез„тт1. Она является горизонтальной силой, перпендикулярной скорости.
Если смотреть вдоль скорости, то в северном полушарии она всегда направлена вправо. Вследствие атого, например, у рек в се- Глава 14. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 0 а) Кривые, описываемые концом маятника Фуко, в случаях, если он начал движение (точка О) из отклоненного положения без начальной скорости (а) и из положения равновесия с некоторой начальной скоростью (а) верном полушарии правый берег подмыт сильнее, чем левый. Сила Кориолиса, приложенная к движущимся молекулам воды, сообщает им ускорение, направленное к правому берегу. В результате этого вода приобретает некоторую скорость к берегу и набегает на него.
Аналогичным образом объясняется неодинаковое изнашивание рельсов двухколейной железной дороги, если поезда движутся по ним в одном направлении. Вая<ным проявлением действия этой составляющей силы Кориолиса является изменение положения плоскости колебаний маятника относительно поверхности Земли. Маятник Фуко. Рассмотрим колебание маятника с учетом действия на него горизонтальной составляющей силы Кориолиса. Проекция материальной точки маятника на горизонтальную плоскость движется по кривым, показанным на рис.
164. Различие кривых объясняется следующим образом. Если маятник отклонен от положения равновесия и отпущен с нулевой начальной скоростью относительно наблюдателя, двил<ущегося вместе с Землей, то он начинает двигаться к центру равновесия. Однако сила Кориолиса отклоняет его вправо и он не проходит через центральную точку. В результате проекция материальной точки маятника двих<ется по кривой, показанной на рис. 164, а.
Однако можно привести маятник в движение другим способом: сообщить ему скорость э точке равновесия. Характер его движения при этом изменится. При удалении от центра сила Кориолиса сообщает ему ускорение вправо. Благодаря этому к моменту отклонения маятника в крайнее положение, когда его скорость вдоль радиуса от центра качания обратится з нуль, он приобретает максимальную скорость в направлении перпендикулярном радиусу. В результате этого траектория маятника касается окружности, радиус которой равен максимальному сме- бб. Неинерциальные вращающиеся системы координат 411 щению его от положения равновесия.
При этом движение проекции происходит по траектории, изображенной на рис. 164, б. Отклонение направления качаний маятника за одно колебание очень невелико. Весь процесс представляется как вращение плоскости качаний маятника вокруг вертикали. Колебания маятника Фуко можно рассмотреть также в инерциальной системе координат, связанной с неподвижными звездами. Относительно неподвижных звезд плоскость колебания маятника сохраняет свое положение неизменным, В результате вращения Земли меняется положение плоскости качаний маятника относительно ее поверхности, которое фиксируется маятником Фуко.
На полюсе это изменение легко себе представить. Для произвольной точки земной поверхности это сделать несколько труднее, но дело происходит точно так же, как и на полюсе, только угловой скоростью вращения является то,. Угловая скорость вращения плоскости качаний маятника равна тав. Поэтому на полюсе один оборот совершается за сутки, а на широте <р — за 1/яп у суток. На экваторе плоскость качаний маятника Фуко не вращается. Законы сохранения в неинерциальных системах. При рассмотрении законов сохранения энергии, импульса и момента импульса в гл. 6 было подчеркнуто, что в механике они являются математическим следствием уравнений движения. Энергия, импульс и момент импульса системы материальных точек сохраняют свое значение для замкнутых систем, т.
е. в том случае, если нет внешних сил и момента внешних сил. Если имеются внешние силы, то энергия, импульс и момент импульса системы изменяются. В неинерциальных системах отсчета наряду с «обычными» силами действуют силы инерции. Эти силы всегда являются внешними по отношению к рассматриваемым телам. Следовательно, в этих системах не существует замкнутых систем материальных тел и поэтому нет законов сохранения энергии, импульса и момента импульса в обычном смысле. Однако нет никаких препятствий включить силы инерции в число сил системы и считать после этого систему замкнутой. Силы инерции в соответствии с уравнением (63.2) должны учитываться точно так же, как обычные силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
