А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 89
Текст из файла (страница 89)
В частности, при расчете изменения энергии необходимо учитывать работу сил инерции, принимать во внимание момент сил инерции в уравнении моментов и т. д. Характер законов сохранения в неинерциальных системах зависит от свойств сил инерции. Во вращающейся с постоянной угловой скоростью неинерциальной системе координат силы инерции, связанные с переносным ускорением,.
являются центральными силами (точнее, осевыми, направленными по прямой от оси вращения). Как было уже показано ранее, центральные силы всегда потен- Глава $4. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 412 циальны. С другой стороны, сила инерции Кориолиса перпендикулярна скорости частицы и поэтому не совершает работы.
Следовательно, во вращающейся с постоянной скоростью неинерциальной системе отсчета справедлив закон сохранения энергии, если только наряду с обычной потенциальной энергией принять во внимание потенциальную энергию, связанную с силами инерции. Нетрудно видеть, что закон сохранения энергии может быть также сформулирован и в неинерциальной системе отсчета, движущейся поступательно, равномерно и прямолинейно, если только учесть работу сил инерции. При рассмотрении изменения импульса и момента импульса необходимо включить в уравнения силы инерции и их момент. Для обеспечения сохранения этих величин надо, чтобы силы инерции удовлетворяли тем же требованиям, которым должны удовлетворять с точки зрения законов сохранения в инерциальных системах обычные силы.
бу. Гироскопические силы Гк = 2тй 'и' з(п ~р = 2тй 'вг з(п <р. (67Л) В $52 было рассмотрено движение гироскопов. Теперь обсудим природу гироскопических сил. Они обусловлены силами Кориолиса. Пусть имеется вращающийся диск (рис. 165), угловая скорость вращения которого совпадает с осью з. Будем считать диск состоящим из материальных точек массы т. Приложим к диску момент сил М, направленный в сторону положительных значений оси х. Под действием этого момента диск стремится начать вращаться вокруг оси х с некоторой угловой скоростью й'. Благодаря этому на движущиеся точки диска начинают действовать силы Кориолиса гк = — 2т (й', ч').
Они создают момент сил вдоль оси у, приводящей к вращению диска вокруг этой оси с угловой скоростью Й, в результате чего вектор момента импульса Х движется в направлении вектора М, т. е. осуществляется то прецессионное движение, которое совершает ось гироскопа под действием приложенного к ней внешнего момента. Поэтому можно сказать, что гироскопические силы являются силами Кориолиса. Чтобы проследить более подробно процесс возникновения гироскопических сил, выведем их величину, исходя непосредственно из расчета сил Кориолиса.
На рис. 166 показано распределение скоростей точек движущегося диска со стороны положительных значений оси г. Силы Кориолиса в различных точках диска сверху от оси у направлены перпендикулярно плоскости чертежа к нам, а ниже оси у — от нас. Далее, учитывая, что Гк = — 2т (й', ч'] и и' = шг, можно для сил Кориолиса в точке (г, у) написать следующее выражение: М'„= 2ть1'вгв з(пв <р. (67.2) (67.3) Можете ли Вы обьяснить возникновения гироскопических сил1 Какова природа гироскопических сил! б7.
Гироскопические силы Позтому для момента силы Кориолиса рассматриваемой точки относительно оси у получаем такую формулу: Учитывая, что за один оборот среднее значение (з(пв <р) = '/в, можно написать выражение для (М„'): (М„') = тгтй'а= УЙ', где принято во внимание, что тгв = 1 есть момент инерции материальной точки относительно оси вращения, а Ф = тго— момент импульса вращающейся точки относительно той же оси. Если произвести суммирование по всем точкам диска, то формула (67.3) не изменится, надо лишь в ней под (М„) понимать полный момент сил Кориолиса, действующих на диск, относительно оси у.
Величина Л в атом случае означает момент импульса диска. Силы Кориолиса, как это видно на рис. 165, соадают также моменты сил относительно оси х, но сумма зтих моментов равна нулю и, следовательно, их можно не учитывать. Гироскопические сипы об- условлены силами Корноли- са Гл а в а 14. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА Чем уравновешивается момент внешник сил лри прецессии гироскопа! Можете ли Вы ооьяснить, почему прецессионное движение гироскопа неинерциапьно, т. е. прецессия прекращается мгновенно, как только прекращает действовать момент внешник сил, вы. зывающив прецессию! К расчету момента сил Ко- риолиса Под влиянием момента сил <„,М„' » диск начинает вращаться вокруг оси у.
Это вращение, аналогично предыдущему, приводит к возникновению момента сил Кориолиса относительно оси х по направлению, противоположному первоначально приложенному моменту сил. Угловая скорость вращения увеличивается до тех пор, пока возникший относительно оси х момент сил Корнолнса не скомпенсирует первоначально приложенный момент.
Для этого в соответствии с (67.3) должно быть выполнено соотношение М=Лгй, (67.4) где М вЂ” момент внешних сил относительно оси х, Й вЂ” угловая скорость вращения диска вокруг оси у. Таким образом, момент сил относительно оси.х никакого вращения диска вокруг этой оси не вызывает, а вызывает вращение вокруг оси у.
Как видно на рис. 166, конец вектора Х движется в направлении вектора М Учитывая, что й = ггсс1ггг, гпт' = УсЬ (см. рис. 165), можно соотношение (67.4) переписать в виде.М = ИУЫ1 или, принимая во внимание пространственные на- 67. Гироскопические силы 415 правления векторов, непосредственно видные на рис. 165, в векторной форме: ЙХ/й = М. (67.5) Это уравнение моментов, с помощью которого в $ 52 было подробно рассмотрено движение гироскопа. Таким образом, можно сказать, что прецессионное движение оси гироскопа вызывается силами Кориолиса. При установившейся прецессии угловая скорость движения оси гироскопа обусловливает возникновение момента сил Кориолиса, который равен моменту внешних сил, действующих на гироскоп, но направлен противоположно и их уравновешивает.
ЗАДАЧИ К главе 2 2Л. Радиусы-векторы трех последовательных вершин правильного шестиугольника равны г~ = О, г2, гг Найдите радиусы-векторы остальных вершин. 2.2. Найдите углы между ненулевыми векторами А и В в случаях: а) ЗА + 5В = О; б) ~Л~ = ~В~ = ~А+ В); в) А ° (Ах В) = О,!В~ = 2!А~; г) (А х В) х А = В х (В х А). 2.3. Точки Л, В, С лежат па поверхности сферы единичного радиуса с центром в точке О.
Углы ВОС, СОЛ и ЛОВ обозначены соответственно а, р, у. Найдите угол между плоскостями ОЛВ и ОЛС. 2.4. Пусть г(~) — радиус-вектор движущейся точки, го — — г/г. Докажите, что го — — (г х г) х г(гз. 2.5. Камень должен перелететь через два забора высотами 61 и 62 > Ь1 со стороны забора меньшей высоты.
Расстояние между верхними точками заборов, вблизи которых проходит траектория камня, равно (. Найдите минимальную начальную скорость камня. 2.6. Стержень длиной ( скользит своими концами по направляющим, составляющим между собой прямой угол. Какую кривую описывает точка стержня, находящаяся па расстоянии а( (а < 1) от одного из его концов? 2 7. С поверхности земли бросают с минимально допустимой скоростью камень через препятствие высотой 6, находящееся па расстоянии 1 от точки броска. На каком расстоянии от препятствия камень упадет на землю после перелета через него? 2.8. Снаряд выпускают со скоростью и по цели, лежащей в той же горизонтальной плоскости, что и пушка. При паводке допущены ошибки, составляющие е радиан в угле наклона ствола и 2е радиан в направлении на цель в горизонтальной плоскости. На каком расстоянии от цели упадет снаряд.' 2.9.
От колеса радиусом а у автомобиля, движущегося со скоростью и, отскакивают комки грязи (из > да). Найдите максимальную высоту, на которую они забрасываются. 417 2.10. Камень бросают с поверхности земли со скоростью и под углом а к поверхности. Приняв точку броска за начало полярной системы координат (г, О), где г — расстояние от О до камня, Π— угол между поверхностью земли и радиусом-вектором камня, найдите уравнение траектории камня. 2.11.
Стержень длиной 1 скользит своими концами по направляющим, составляющим между собой прямой угол. В некоторый момент времени скорость одного из ко«цов стержня равна г, а угол между стержнем и направляющей, по которой скользит другой конец стержня, равен О. На каком расстоянии от первого конца стерн<ив находится точка, движущаяся с минимальной скоростью, и чему равна эта скорость? 2.12. В пространстве между коаксиальными круглыми цилиндрами радиусами г< и гз (гз > г<) помещен цилиндр радиусом (гз — г<)/2.
Внутренний и впепший цилиндры вращаются вокруг их оси с угловыми скоростями <в< и <оз. Предполагая, что между соприкасающимися поверхностями цилиндра радиусом (гз — г„)/2 и коаксиальных цилиндров нет проскальзывания, найдите углову<о скорость вращения цилиндра радиусом (гз — г<)/2 вокруг его оси и угловую скорость вращения точек его оси вокруг оси коаксиальных цилиндров. 2.13. Твердое тело, одна из точек которого закреплена в начале декартовой системы координат, последовательными вращениями вокруг оси Х на угол я/2 и вокруг оси У на угол я/2 приведено в новое положение. Как надо направить ось вращения и на какой угол повернуть тело вокруг этой оси, чтобы осуществить такой же перевод тела в новое положение одним вращением? 2.14.
Твердое тело поворачивается па угол <р вокруг оси, проходящей через начало координат. Единичный вектор и направлен по оси вращения. Направления вращения и вектора и связаны правилом правого винта. Найдите радиус-вектор некоторой точки тела после поворота тела, если до поворота он был равен г. 2.15. Частица движется па плоскости с постоянным радиальным ускорением а, направленным от центра, и с нормальным ускорением 2и<о, где <о — положительная постоянная, г — скорость частицы. Принимая направление ускорения в начале системы координат в качестве полярной оси, получите уравнение траектории частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
