А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 90
Текст из файла (страница 90)
2.16. Два колеса радиусом ге каждый насажепы на ось длиной 1. Колеса на оси могут вращаться независимо. Они катятся по горизонтальной поверхности без проскальзывания, причем скорости центров колес равны ч< и чз. Найдите модули угловых скоростей колес. 2.17. В пространстве между двумя концентрическими сферами радиусами г< и гз > г< находится шар радиусом (гз г<)/2. Концентрические сферы вращаются с угловыми скоростями <о< и <оз, а шар катится между сферами без скольжения. Какую кривую описывает центр шара и с какой угловой скоростью он даик<ется? ЗАДАЧИ 2.18. В самолете, летящем горизонтально и прямолинейно с постоянной скоростью и, через промежуток времени г в зрительную трубу производятся два наблюдения одного и того я<е предмета па Земле. Известно, что предмет расположен в вертикальной плоскости, проведенной через траекторию полета самолета.
Наблюдаемый предмет неподвижен относительно Земли. Углы между вертикалью и направлением зрительной трубы на предмет в моменты наблюдения равны а1 и а2. Найдите высоту полета самолета. 2.19. Прямолинейный отрезок ЛВ движется в плоскости. Скорости его концов в некоторый момент времени образуют с прямой ЛВ углы и и р. Модуль скорости точки Л равен в. Определите модуль скорости точки В. 2.20. По неподвижному обручу радиусом В1 с угловой скоростью гв катится без скольжения обруч радиусом Вз, причем центры обручей находятся по разные стороны от точки их соприкосновения. Определите скорость перемещения точки соприкосновения по неподвижному обручу.
2.21. Решите задачу 2.20 для случая, когда центры обручей лежат по одну и ту же сторону от точки соприкосновения и В~ < Вг 2.22, Цилиндр радиусом В вращается без скольжения между двумя параллельпымн досками, которые движутся в одном и том же направлении перпендикулярно образующим цилиндра со скоростями и1 н ~з > и„ вдоль своих длин. Найдите угловую скорость вращения цилиндра и скорость его оси. К главе 3 3.1. Самолет пролетает расстояние 8 в северном направлении за время 11 и в обратном направлении за время 12, так как дует северо-восточный ветер. Найдите скорость самолета при отсутствии ветра и скорость ветра.
3.2. При отсутствии ветра скорость самолета и и дальность полета 1. Какова дальность полета, если дует встречный ветер со скоростью и, направленной под углом ~р к траектории движения самолета относительно земли? К главе 4 4.1. Две материальные точки, покоящиеся на оси Х неподвижной системы координат на расстоянии 100 м друг от друга, начинают одновременно ускоряться по одинаковому закону в направлении положительных значений оси Х. Ускорение одновременно прекращается, когда скорости точек достигают значения и = (1 — 2. 10 ")с. Каково расстояние между точками в системе координат, в которой они покоятся? 4.2. Протон пролетает расстояние 1 = 1,5 10" км между Солнцем и Землей со скоростью и = — с.
Каким представляется это расстояние в, сис- 5 теме координат, связанной с протоном? Какое время необходимо на прохождение этого расстояния в системах коордш|ат, связанных с Землей и протоном? 4.3. Два прожектора испускают узкие пучки света в противоположных направлениях. С какой скоростью эти прожекторы должны двигаться в направлении, перпендикулярном лучам, чтобы пучки света были направлены под прямым углом друг к другу? 4.4. Две частицы, движущиеся друг за другом со скоростью и = — с, 3 5 попадают па мишень с интервалом времени 10 с. Найти расстояние между частицами в лабораторной системе координат и в системе координат, связанной с частицами.
4.5. В точках (х1, О, О) и (х~, О, 0) в системе К' находятся часы Л' и В' (х2 — х~ — — 1), а в точках (хп О, 0) и (хз, О, 0) в системе К вЂ” часы Л и В (х2 — х1 = 1). Система К' движется относительно К в направлении положительных значений оси Х со скоростью г. В момент пространственного совмещения часы Л' и Л показывают одинаковое время (например, Г' = = 1 = 0). Каковы показания часов А и Л' при их пространственном совмещении и часов В и В' при их пространственном совмещении? 4.6. Ракета движется прямолинейно с постошшым ускорением а, измеренным ее пассажирами по акселерометру, находящемуся на ракете. Какой путь пройдет ракета в лабораторной системе координат до достижения скорости в? 4.7. Два масштаба с одинаковой собственной длиной 1 движутся вдоль оси Х навстречу друг другу с равными скоростями и.
Какова длина одного из масштабов в системе координат, связанной с другим масштабом? 4.8. Поезд движется со скоростью н относительно полотна железной дороги, Вдоль поезда в направлении его движения летит птица с той же скоростью и относительно поезда.
В том же направлении летит самолет с такой же скоростью и относительно птицы. Какова скорость самолета отпосительно полотна железной дороги? К главе 5 5.1. Кольцо может скользить без трения вдоль недеформируемого прута. Прут вращается с угловой скоростью а в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его копцов перпендикулярно длине прута. Расстояние от оси вращения до кольца обозначим г.
Считая, что при 1 = 0 кольцо покоится в точке г = 0 и прут от оси вращения направлен вертикально вниз, найдите г(1). ЗАДАЧИ 5.2. Плоское основание круглого прямого цилиндра радиусом го жестко скреплено с горизонтальной поверхностью стола. Топкая невесомая й перастяжимая нить длиной 2( жестко закреплена на поверхности цилиндра в его основании и туго намотана на цилиндр у основания на длине ( (толщиной нити пренебрегаем). На другом конце пити укреплен груз массой т, который может двигаться в горизонтальной плоскости так, что пить все время находится под воздействием силы натяжения.
В начальный момент ~ = 0 грузу сообщается скорость и перпендикулярно пе намотанной на цилиндр части нити в таком направлении, чтобы при движении груза пить разматывалась. Через какое время пить размотается и какова при этом зависимость натяжения нити от времени? 5.3. Человек бросает вертикально вверх ядро массой т с плеча. При затрате определенных усилий ядро при броске па Земле поднимается на высоту 4 м пад ее поверхностью. Длина руки человека 0,75 м„высота человека до плеча 1,5 м. На какую высоту этот человек забросит ядро на поверхности Луны при тех же условиях? Ускорение свободного падения на Луне примерно в шесть раз меньше, чем на Земле.
5.4. Материальная точка начинает скользить без трения по поверхности жестко закрепленной сферы с ее верхней точки. Положение скользящей точки может быть охарактеризовано углом 0 между вертикалью и радиусом-вектором точки с началом в центре сферы. При каком значении О материальная точка теряет контакт с поверхностью сферы и начинает двигаться свободно под действием силы тяжести? 5.5. Две материальные точки массами т~ и тз соединены нерастяжимой невесомой нитью, продетой через кольцо массой тз, и лежат рядом па горизонтальном столе, а кольцо висит на нитях, спускающихся через край стола. Нити подходят по перпендикуляру к краю стола.
Трение отсутствует. Найдите ускорение кольца. 5.6. Абсолютно жесткая прямая трубка ОА длиной 1 вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О, с постоянной угловой скоростью гв. Из точки О по трубке начипает скользить шарик с начальной скоростью и без трения. Найдите угол между направлением трубки и направлением шарика в тот момент, когда шарик вылетает из трубки. 5.7. Две материальные точки массами т~ и тз соединены абсолютно жестким невесомым прутом и лежат на горизонтальной абсолютно гладкой поверхности.
К точке массой т~ прикладывается импульсная сила Р в направлении, составляющем угол а с линией, соединяющей точки, в которых расположены массы т~ и тз. Найдите модули скоростей масс гя~ и тз непосредственно после удара. (Импульсная сила — сила, которая в течение очень короткого времени ог сообщает системе импульс Р = Г Й в направлении силы Е) 421 ЗАДАЧИ К главе 6 6.1. Вычислите значение интеграла ) хув с(у, где Ь вЂ” окружность хз + ь + уз = 1, проходимая при интегрировании против часовой стрелки. 6.2.
Вычислите работу силы Г = 1,у2 + 1,х2 по полуокружности у = = ./1 — хз между точками (О, — 1) и (О, 1). 6.3. Найдите длину винтовой линии, заданной параметрически: х = з1п 1, у = соз 1, г =1при 0<1< 2я. 6.4. Человек массой т1 стоит в неподвижном лифте массой тв, уравновешенном противовесом массой т1 + т2. Человек подпрыгивает в лифте с таким же усилием, при котором в условиях прыжка на поверхности земли его центр масс переместился бы вверх па высоту Ь. На сколько переместится его центр масс относительно пола лифта? Массами тросов и блоков в механизме лифта и трением пренебречь. 6.5.
Выразите импульс частицы через ее кинетическую энергию Е, и массу то. 6.6. Выразите скорость частицы через ее импульс и массу покоя. 6.7. Найдите скорость частицы с зарядом е и массой тв после прохождения разности потенциалов Г 6.8. Чему равна энергия связи ядра лития, состоящего из трех протонов и четырех нейтронов, если известно, что его масса равна 1,16445 10 2ь кг. Массы протона и нейтрона равны соответственно '1,67265 10 2т кг и 1,67495 10 зт кг. 6.9.
В лабораторной системе координат вдоль одной линии навстречу друг другу движутся с релятивистскими скоростями две частицы, массы которых т1 и тз. Полные энергии частиц равны Е1 и Ез. Найдите энергию Е~ частицы в системе координат, в которой вторая частица покоится (Е2 = тзе ). 6.10. Покоящаяся частица массой т~ распадается на две частицы, массы которых тз и тз Найдите энерппо образовавшихся частиц и модули их противоположно направленных импульсов.
К главе 7 7.1. Найдите отношение времен прохождения участков эллиптической орбиты, разграничиваемых малой полуосью эллипса. 7.2. Найдите разность времен прохождения участков эллиптической орбиты Земли, разграничиваемых малой полуосью эллипса. Зксцентриситет земной орбиты е = 0,017. ЗАДАЧИ 422 7.3. Период обращения тела по круговой орбите около цептра тяготения равен Т. Вычислите время падения тела с орбиты на центр тяготения, если бы скорость тела мгновенно стала равной нулю. 7.4. Тело движется по круговой орбите радиусом г около центра тяготения. Период обращения Т. В некоторой точке орбиты паправлепие скорости мгповеппо изменяется па угол, меньший я, без изменения модуля скорости. По какой траектории и с каким периодом будет двигаться тело после этого? 7.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
