А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Иначе можно сказать, что смещение и сила направлены почти противоположно, поскольку соэ (а~ — я) = — соэ буй. Поэтому, когда, например, сила достигает максимального положительного значения, смещение имеет максимальное отрицательное значение. Затем сила и смещение изменяются в противоположных направлениях, проходя нулевое значение почти одновременно. Зти фаэовые соотношения между смещением и силой позволяют более глубоко понять сущность явления резонанса. Как было отмечено в э 57, скорость опережает смещение на Ы2.
С другой стороны, при резонансе сила опережает смещение также на тт/2. Следовательно, скорость и сила колеблются в одной фазе, т. е. сила все 60. Вынужден» ле колебания. Резонанс 377 время совпадает по направлению со скоростью. Поэтому работа внешней силы достигает максимального значения. Если резонанса нет, то часть времени сила совпадает по направлению со скоростью и, следовательно, энергия осциллятора увеличивается, а часть времени действует против скорости и, следовательно, его энергия уменьшается. Поэтому резонанс характеризуется наличием максимально возможных благоприятных условий для передачи энергии от источника внешней силы к осциллятору.
Самые неблагоприятные условия передачи энергии от источника внешней силы к осциллятору имеют место при в ~ а, и ю )) ао, когда фазы силы и скорости отличаются почти на и/2. Это означает, что сила примерно половину времени направлена противоположно скорости и половину времени совпадает с ней. Таким образом, в среднем осциллятору от источника внешней силы передается незначительная энергия за период колебаний и поэтому амплитуда колебаний в этих случаях очень мала.
Периодическая, но не гармоническая сила. Если действующая на осциллятор внешняя сила Р ~ (1) является периодической с периодом Т, то по известным из математического анализа формулам ее можно представить в виде ряда Фурье, каждый член которого является гармонической функцией: Ро~ (г) = Ро ~~~~~ (а„соз па$+ Ь„з1п паем), (60.23) п=е где в = 2п/Т. Эта сила действует на осциллятор вместо силы (60.1) и входит в правую часть уравнения (60.3).
Для нахождения результата ее действия никаких новых расчетов делать не требуется. Достаточно учесть, что уравнение (60.3) является линейным и, следовательно, его решение может быть представлено как сумма решений уравнений, в правой части которых стоит один из членов суммы (60.23). Другими словами, каждое из слагаемых гармонических сил в (60.23) действует на линейный осциллятор независимо.
Это действие уже изучено. Полное колебание слагается из суммы колебаний, вызываемых отдельными гармоническими силами в (60.23). Наиболее сильное влияние на осциллятор оказывают те члены суммы (60.23), частоты которых лежат вблизи резонансной частоты, т. е. у которых пы а,. Если таких частот нет, то периодическая сила Р 7' (~) не вызывает сильного роста амплитуды колебаний осциллятора.
Если же такие частоты есть, то наблюдается явление резонанса. Резонансная амплитуда, ширина резонансной линии и сдвиг фаз находятся по рассмотренным выше формулам. Абсолютное значение резонансной амплитуды зависит от коэффициентов а„и Ъ„в соответствующих членах суммы (60.23). Если эти члены очень малы, то рост резонансной амплитуды даже в сотни раз не приведет к существенному увеличению суммарной амплитуды ЗУБ Глава 13. КОЛЕБАНИЯ колебаний.
В этом случае резонансные члены в (60.23) не имеют значения. Если же коэффициенты а„и Ь„в резонансных членах не очень малы, то соответствующие резонансные амплитуды играют определяющую роль в характере действия силы Р ~ (г) на осциллятор. Как уже было отмечено, большинство физических систем при малом отклонении от положения равновесия ведут себя как линейные осцилляторы.
Например, вершины строительных конструкций (башен, домов), мосты разных конструкций и т. д. колеблются как линейные осцилляторы. Вращающиеся валы машины испытывают крутильные колебания, которые также являются колебаниями линейного осциллятора (угловое ускорение й при отклонении от положения равновесия пропорционально углу отклонения, т.
е. а а). Кроме того, эти системы часто подвергаются воздействию периодических сил. Например, вал машины испытывает периодические усилия со стороны поршней в результате сгорания топлива в цилиндрах, на различные части моста воздействует почти периодическое изменение давления от последовательности автомашин, идущих друг за другом более или менее регулярно, периодические шаги пешеходов и т. д. Чтобы проанализировать результат этих периодических воздействий, необходимо произвести спектральный анализ сил, т.
е. представить силы в виде (60.23) и посмотреть, с какими амплитудами а„и Ь„в этом разложении присутствуют различные гармонические составляющие силы. Затем надо проанализировать, с какими собственными частотами ю„может колебаться система. Вообще говоря, реальная система обладает не одной собственной частотой, а несколькими или даже бесконечным числом, т. е. ее при малых отклонениях не всегда можно представить в виде одного линейного осциллятора. Может случиться, что при малых отклонениях система ведет себя как совокупность линейных осцилляторов с различными собственными частотами. Каждый из них под действием соответствующих гармонических составляющих силы может начать резонансные колебания.
Например, мост может совершать вертикальные колебания, горизонтальные смещения поперек своей длины, колебания вдоль своей длины и т. д. Собственные частоты колебаний различны и у каждого вида колебаний имеется не одна собственная частота. Все собственные частоты надо принять во внимание при аналиае действия внешней периодической силы. Конструкторская работа частично состоит в том, чтобы избежать резонансного действия внешних сил на систему.
Не менее ва>кной задачей в других случаях является обеспечение резонансного воздействия внешних сил на систему. Например, в радиотехнике при приеме радиосигналов необходимо добиться их резонансного воздействия на колебательные контуры радиоприемника.
В обоих случаях задача сводится к исследованию вынужденных колебаний линейного осциллятора под действием внешней периодической силы. 60. Вьнужденные колебания. резонанс Следует также принять во внимание возможную связь различных линейных осцилляторов друг с другом. Это будет сделано при рассмотрении колебаний связанных систем. Важное свойство гармонических функций, При анализе вынужденных колебаний под действием гармонической силы было установлено, что смещение описывается гармонической функцией, сдвинутой по фазе относительно силы.
Таким образом, зависимость силы от времени без искажения превращается в такую же зависимость смещения линейного осциллятора от времени. Однако если сила не гармоническая, а лишь периодическая, выражаемая формулой (60.23), то зависимость смещения от времени меняет существенно отличаться от зависимости силы от времени. Это видно непосредственно из (60.23), поскольку каждый из членов этой суммы в суммарную амплитуду колебаний дает вклад, отличающийся друг от друга как ростом соответствующих амплитуд, так и различными фазами. Поэтомусуммарное отклонение не напоминает, вообще говоря, по форме силу (60.23).
Важное свойство гармонических функций состоит в том, что из всех периодических сил, действующих на линеиный осциллятор, только гармонические силы вызывают смещение, изменяющееся по тому же закону, что и действующая сила. Непериодическая сила. Периодическая сила, действие которой на линейный осцяллятор было только что рассмотрено, является идеализированным представлением, которое в реальных условиях никогда не осуществляется. Чтобы быть периодической в строгом смысле этого слова, сила должна действовать периодически в течение бесконечного времени. Если же действие силы имеет начало и конец, то, строго говоря, она не является периодической.
Тем не менее реальные силы, имеющие периодический характер и действующие в течение конечного промежутка времени, с успехом можно рассматривать как периодические. Для этого сила должна действовать «достаточно продолжительно».
Чтобы получить критерий «достаточной продолжительности», проанализируем гармонические силы. После начала действия гармонической силы (60.1) для установления вынужденных стационарных колебаний требуется время т = 1/у. Если воздействие силы продолжается значительно дольше этого времени и система совершает достаточно много колебаний, то результат является таким же, как если бы оно продоля«алось бесконечно долгое время. Следовательно, при этом условии можно считать, что сила является гармонической, и не принимать во внимание ее ограниченность во времени.
Периодическая сила такн<е имеет начало и конец и в строгом смысле не является периодической. Однако, аналогично случаю гармонической силы, ее моя'но рассматривать как периодическую, если время т установления вынужденных колебаний много меньше времени действия силы.
По истечении времени т колебания приобретают свой стационарный характер и дело происходит так, как если бы Глава 13. КОЛЕБАНИЯ зво СО Р0~(~) =г"', ~ (а„совок+Ь„з(п ол) йэ, о (60.24) который известен как интеграл Фурье. В этом случае частоты принимают не дискретные, а всевозможные непрерывно изменяющиеся они существовали бесконечно, т. е. можно считать, что сила является строго периодической. Под непериодической силой понимается такая, в пределах времени существования которой невозможно установить какое-то периодическое изменение. Результат ее воздействия может быть выяснен с помощью только что изложенных соображений. Пусть продолжительность Т действия силы значительно больше времени т установления колебаний в системе. Тогда по истечении т в системе установится некоторый стационарный режим, в котором не произойдет каких-либо существенных изменений в последующий промежуток времени Т вЂ” т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
