А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 77
Текст из файла (страница 77)
137, благодаря наличию общего множителя е' ' в (57.12) вращается вокруг начала координат по Реальное физическое нолебание описывается либо действительной, либо мнимой частью иолебания, представленного в номплеисной форме. Удобство испольеования представления колеБания в иомплеисной форме обусловливается легностью и наглядностью операций над иомплеисными числами. Глава 13. КОдй!БАНИЯ х, = А, соз (оддс + ф,), х, = А, соз (вз4+ ф,). (57,15) Сложение гармонических колебаний с почти равными (га1 = газ) плексном виде На чем основано представление гар- монических колеба- ний в комлпенсной форме! Как определить фазу н модуль комплекс- ного числами Каково соотножение между сложением комплексных чисел н правилом сложения векторов! Что проис*одит с фа- зами и модулямн комппекснык чисел при их перемноже- нии! Что такое биения! Являются лн биения гармоническими ко- лебаниями! часовой стрелке с угловой скоростью ед.
Амплитуда колебания достигает максимального значения при фз = фд и равна Ад + А . Минимальное значение амплитуды получается при фз — фд = + и. В этом случае комплексные векторы, представляющие слагаемые колебания, направлены противоположно и поэтому минимальная амплитуда равна ~ Аз — А, ~. Поведение фазы ф также наглядно прослеживается на векторной диаграмме рнс. 137. Таким образом, суммой гармонических колебаний с одинаковой частотой является гармоническое колебание с той же частотой, амплитудой и фазой, определяемыми формулами (57.13а) и (57ЛЗб). Сложение гармонических колебаний с близкими частотами. Биения. Обозначим частоты слагаемых колебаний через ед, и едз и будем считать, что едд м га„ 1 одд — доз! <( одд ж «дз.
Уравнения колебаний имеют внд: Каждое нз колебаний (57Л5) представляем в комплексной форме (57.10), а сложение будем проводить по правилу сложения векторов, откладывая начало второго вектора от кодща первого. Чтобы не усложнять написания формул, колебание х в комплексной форме (57ЛО) будет обозначаться той же буквой х, что н соответствующее ему вещественное колебание (57.6). Это не может вызвать недоразумений. Пусть для определенности А, ) А,. Тогда сумма векторов х, н хз в некоторый момент времени может быть представлена так, как изображено на рис. 138.
С течением времени зта картина будет изменяться следующим образом: вектор х, вращается вокруг начала координат с угловой частотой аа„а вектор х,— относительно положения вектора хд вокруг его конца с частотой «дз — едд. Если 357 57. Гармонические колебания оуз ) шт, то его вращение вокруг конца вектора х, будет происходить в том же направлении, что и вращение вектора хт вокруг начала координат, как это изображено на рис. 138. При ю, ( тэ, относительное вращение х, изменяется на обратное. Изменение этой картины со временем состоит в следующем: поскольку ~ соя †, ~ 4,.'; оу1 оз еу, то вся картина быстро вращается вокруг начала координат, причем за один оборот взаимное расположение векторов х1 и х, меняется совершенно.
незначительно. Поэтому в течение большого числа периодов это есть гармоническое колебание с частотой то и амплитудой, равной амплитуде х, + х,. Однако, хотя и медленно, относительная ориентировка векторов х, и х, меняется. Поэтому амплитуда колебания медленно меняется с частотой ~ оуз — ау, ~ от А, + Аз до ~ А1 — А, ~. В итоге получаем, что суммой двух гармонических колебаний с близкими частотами является колебание с изменяющейся амплитудой.
Оно лишь приблизительно Биения при сложении коле- баний с близкими частота- ми Период бненнй Т 2Я~ет-Яг ! ио. Биения звука от камертонов Многограннак зерканьнаа «ркама. ° ращаксь, осущестеекет рааеертну коеебагощегоск нука не. неноданщ ний экран Глава 13. КОЗ'ЕБАНИЯ 358 гармоническое с частотой в, ж в, ж в, а его амплитуда изменяется по гармоническому закону с частотой ) в, — в, ~ от максимального значения А, + Л, до минимального А, — А,. Вещественные составляющие етого колебания имеют вид, изображенный на рис.
139. Колебания амплитуды с частотой й = ) в, — в, ~ называются биениями, а частота й — частотой биений. Биения возникают при слоя:енин двух гармонических колебаний с близкими частотами. Если амплитуды слагаемых колебаний примерно равны Л, = А„то в минимуме амплитуда суммарного колебания почти равна нулю, т. е. зто колебание почти полностью прекращается. Если два камертона заставить звучать с близкими частотами ~рис. 140), то в результате сложения колебаний громкость звука, обусловленная амплитудой суммарного колебания, периодически меняется с частотой биений. Высота же звука, определяемая частотой суммарного колебания, не изменяется существенно, поскольку она близка к частотам складываемых колебаний, которые почти равны друг другу.
58. Собственные колебания (58.1) х = А соз (в1 + <р), а координата и скорость в момент ~ = 0 равны соответственно х0 и ив то на основании (58.1) можно написать: Нх ~ хо=~Ъ = — ~ = — Авагян, ~л з=з (58.2) хв — — Л сов гр; Определение. Собственными называются колебания системы под действием лишь внутренних сил без внешних воздействий Рассмотренные в предыдущем параграфе гармонические колебания являются собственными колебаниями линейного осциллятора. В принципе собственные колебания могут быть и негармоническими. Но при достаточно малых отклонениях от положения равновесия в очень многих практически важных случаях они, как это было разобрано вьппе, сводятся к гармоническим.
Начальные условия. Гармоническое колебание полностью характеризуется частотой, амплитудой и начальной фазой. Частота зависит от физических свойств системы. Например, в случае линейного осциллятора в виде материальной точки, колеблющейся под действием упругих сил пружины, свойства упругости пружины учитываются козффициентом упругости Й, а свойства точки — ее массой т; в = Ит.
Для определения амплитуды и начальной фазы колебаний надо знать положение и скорость материальной точки в некоторый момент времени. Если уравнение колебания выражается в виде 58. Собственные колебания Из этих двух уравнений вычисляют неизвестные амплитуды и на- чальная фаза: А =)/хо+»о/а>о, ~8 Ф = — »о/хов>.
(58.3) Таким образом, зная начальные условия, можно полностью найти гармоническое колебание. Энергия. Представление о потенциальной энергии имеет смысл только тогда, когда силы потенциальны. В одномерных движениях между двумя точками существует только единственный путь. Следовательно, автоматически обеспечиваются условия потенциальности силы и всякую силу можно рассматривать как потенциальную, если она зависит только от координат. Последняя оговорка весьма существенна. Нанример, сила трения не является потенциальной силой также и в одномерном случае.
Это обусловлено тем, что эта сила (ве направление) зависит от скорости (направления скорости). В случае линейного осциллятора удобно считать, что потенциальная энергия точки равна нулю в положении равновесия (в начале координат). Тогда, учитывая, что Р = — †/ох,и принимая во внимание формулу (27.20), связывающую потенциальную энергию У и силу, сразу находим для потенциальной энергии линейного осциллятора следующее выражение: (58.4) У (х) = /ох'/2 = тв>охо/2, а закон сохранения энергии имеет вид тхо Риоохо — + = сопз$. 2 2 (58.5) '/отомо = >/,тюоАо. (58.6) 2. Средняя кинетическая энергия осциллятора равна его средней потенциальной энергии.
Конечно, этот закон можно получить непосредственно из уравнения движения (57.2), если его обе части умножить на х и затем поступить так же, как при переходе от (27Л) к (27.5). Из закона сохранения энергии (58.5) можно сделать два важных заключения. 1. Максимальная кинетическая энергия осцпллятора равна его максимальной потенциальной энергии.
Это очевидно, поскольку максимальную потенциальную энергию осциллятор имеет при смещении колеблющейся точки в крайнее положение, когда ев скорость (а следовательно, и кинетическая энергия) равна нулю. Максимальной кинетической энергией осциллятор обладает в момент прохода точки равновесного положения (х = О), когда потенциальная анергия равна нулю.
Поэтому, обозначая максимальную скорость через Р, можем написать Глава 13. КОЛЕБАНИЯ 360 141. его скорость равна х = — Ав з(п (вС+ ср), (58.9) 142. Определение сраднего по времени Знаете пи Вы соотноясение между кинети» чесмой и потенциальной анергиями в гармонических колебанияя1 Хак между собой связаны амплитуды скорости и отклонения в гармоническом колебании! Что происходит с частотой собственныв колебаний при уве« личении массы ко» леблсощейся точки! Графики смещения, скоро- сти и ускорения при гар- моническом колебании Прежде всего надо определить, что такое средняя величина.
Если некоторая рассматриваемая величина С зависит от времени, т. е. является функцией времени, то среднее значение этой величины в про- межутке времени между моментами С, и С, дается формулой с ° со,= — „'„$сслс (58.7) с, Если С (С) представить на графике (рис. 141), то среднее значение Щс соот- ветствует высоте прямоугольника, пло- щадь которого равна площади между кривой С (С) и осью С на интервале между С, и С,. Напомним, что площадь под осью С считается отрицательной. Поскольку закон движения для линей- ного осциллятора описывается формулой х(С) =А сов (вС+ср), (58.8) выражения для потенциальной и кинетической энергий имеют следующий вид: жхт твтАт "гг' (С) — — — — зспт (вС+ ср), 2 а У (С) — — соз (вС + ср).
(58.10) В качестве промежутка времени, на котором определяется среднее, берется период одного колебания. Вычисление средних значений (Ис) и Щ сводится к нахождению средних значений от соз' (вС + ср) и зспв (вС + ср). Оно элементарно: (соз' (вС + ср)), = †, 1 соз'(соС + ср) с(С = 1 г б т 1 Г 1 = ~ ~ 2 11 — соз2(вС+ср)1~ 2 Т (С+2 з(п2(соС+срс1о 2 ' (58.11) Ж Собствен>в>е колебания 361 где Т вЂ” период колебания, вТ = 2>т. Аналогично получим (а)пз (о>1+ гр)), = —. 1 (58.12) Формулы (58.11) и (58Л2) являются важными, и нх следует хорошо помнить. С учетом (58.11), (58Л2) из (58.10) следует (~+ )> (~)! е (58Л3) т.
е. средняя кинетическая энергия осциллятора равна средней потен- циальной. У знака среднего в (58.13) подставлен индекс Г, чтобы подчеркнуть, что речь идет о среднем по времени. Когда говорится о среднем значения велпчины, всегда должно быть ясно, об усреднении по какой переменной идет речь, потому что при усреднении по некоторой другой переменной, вообще говоря, получается совсем другой результат. Однако в больгпинстве случаев ясно, по какой переменной производится усреднение, и никакого индекса у знака усреднения не ставится. Соотношение между смещением, скоростью и ускорением. Отклонение и скорость даются формулами (58.8) и (58.9), а ускорение равно л = — А о>з сов (о>1 + <р). (58.14) (58Л5) При обсуждении разложения силы в ряд (57Л) было отмечено, что если система колеблется около устойчивого равновесия л О, то Изобразим их графики на одном и том же чертеже (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
