А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 75
Текст из файла (страница 75)
-: ь 131. При ивупругой деформации равиодеиствующая сил Г~+ +Гг ие проходит через ось колеса, в результате чего возникает тление качения 346 Глава 12. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА а1 !...лэ,,3...,1,,-..л 1' - 'и' Й б) т 3?. Схема сил, действующих на колесо самодвижущихся средств транспорта От каких факторов зависит сила трения качения1 Пусть катящийся без скольжения цилиндр останавливается из-за потерь энергии на преодоление сип трения качения. В какие формы энергии и каким путем превратилась кинетическая энергия катящегося цилиндра! тормозит вращение колеса.
В результате действия сил трения качения кинетическая энергия также превращается во внутреннюю через посредство неупругих деформаций. Таким образом, сила трения качения и момент сил, замедляющий вращение колеса, возникают вследствие неупругого характера деформации колеса и поверхности качения в области их соприкосновения. Учет их влияния на движение каких-либо трудностей не представляет. Трудным является лишь определение этих сил и моментов. Обычно это делается экспериментально, и значения их в соответствующей форме даются в таблицах.
Самодвижущиеся средства транспорта. При рассмотрении движения автомобилей, паровозов и других самодвижущихся средств транспорта возникают два новых вопроса: как происходит их разгон и торможениег Достаточно проанализировать эти вопросы на примере одного колеса. Если движение происходит без скольжения колес, то сил трения скольжения нет. Силы трения качения при этом всегда присутствуют и действуют, как только что описано.
Однако существенной роли в разгоне экипажей и их торможении силы трения качения не играют. Главная роль при этом принадлежит силам трения покоя. При разгоне экипанса к оси колеса со стороны мотора прилагается момент сил М (рис. 132, а). Однако силы трения покоя астр в точках соприкосновения колеса с дорогой препятствуют его вращению.
В результате этого на колесо действует сила трения покоя, направленная в сторону движения. При торможении картина обратная— момент сил тормозных колодок направлен таким образом (рис. 132, б), что возникающая при этом дополнительная сила трения покоя направлена против скорости экипажа.
Эта дополнительная сила трения покоя суммируется с силой тре- 56. тренке качения З6У ния покоя, которая обеспечивает качение колеса без скольжения, когда на его ось не действуют никакие внутренние моменты сил. Если полная сила тренин покоя при взаимодействии колеса и дороги с учетом только что указанной дополнительной силы трения превосходит максимальную силу трения покоя, то колеса проскальзывают. Позтому скольжение колес возникает как при желании слишком быстро разогнать машину, так и при стремлении слишком быстро затормозить ее.
В обоих случаях явление заноса при попытке быстрого разгона или торможения может привести к плачевным результатам. Но даже если ничего подобного не произошло, быстрого разгона или торможения все равно не получится. Дело в том, что трение скольжения при увеличении относительной скорости скольжения поверхностей в большинстве случаев несколько уменьшается в сравнении с максимальным трением покоя.
Поэтому при проскальзывании колеса максимально возможная сила разгона или торможения меньше, чем когда оно отсутствует. Следовательно, наиболее быстрый разгон и торможение возмоясны лишь при отсутствии проскальзывания колес. Опытный водитель всегда чувствует состояние сцепления колес с дорогой и никогда не допускает проскальзывания колес. Глава 13 КОЛЕБАНИЯ 57. Гармонические колебания 58.
Собственные колебания 59. Затухающие колебания 60. Вынужденные колебания. Резонанс 61. Автоколебания и параметрические колебания 62. Колебания связанных систем олебапия являются наиболее общей К формой движения динамических систем вблизи положения равновесия. При достаточно малых отклонениях от положения равновесия колебания бывают обычно гармоническими. Этим определяется их особая важность. 5У.
Гармонические колебания Роль гармонических колебаний в природе. Многие физические вопросы сводятся к исследованию поведения системы при небольших отклонениях от равновесного состояния, в котором она пребывает. Например, на дне шарообразной чаши покоится шарик (рис. 133, а). Спрашивается, каким будет его движение вдоль оси х после отклонения в некоторое положение от средней точки? Для ответа надо знать компоненту силы, действующей на шарик, когда он находится в точке с координатой х, т.
е. 7' (х), и решить уравнение движения лтх =7 (х). Однако даже з етом простейшем случае зависимость силы 7 от расстояния довольно сложная и решение уравнения может составить значительные трудности. Но зачастую, даже если такое решение и удалось получить, оно оказывается настолько сложным, что очень трудно его проанализировать. В качестве другого примера возьмем шарик, укрепленный на длинной упругой пластине 349 чФ б) (57Л) 57.
Гармонтчесние колебантя (рис. 133, 6). В положении равновесия пластина несколько изогнута и шарик покоится в некоторой точке. Спрашивается, как будет двигаться шарик в вертикальном направлении, если его отклонить от положения равновесия и отпустить? В этом случае сила, действующая на шарик, также выражается сложной функцией его отклонения от положения равновесия в вертикальном направлении и при решении задачи встречаются те же трудности, которые упомянуты в первом примере. Однако е большинстве практически важных случаев нас интересует поведение системы не при всевозможных отклонениях от положения равновесия, а лишь при малых отклонениях.
При этом условии вопрос значительно упрощается. Каким бы сложным ни был закон действия ~ (х), эту функцию можно представить в виде ряда Тейлора: ~(х) =~(0)+х~'(0)+ + * —,У" (0) +*— ,Г(0)+., Это чисто математическое утверждение, и условия возможности такого разложения функции в ряд рассматриваются в математике. Нам достаточно заметить, что законы действия сил ~ (х), встречающихся в физике, обычно удовлетворяют этим условиям. Очевидно, ~ (0) = 0 ввиду того, что точка х = 0 является точкой равновесия н, следовательно, сила в этой точке равна нулю.
Далее возможны два случая: либо ~' (0) чь О, либо ~' (0) = = О. В первом случае член х~' (0) является главным членом разложения (57Л). Все последующие члены ряда пропорциональны хя, ха и т. д. и при достаточно малом х сколь угодно малы в сравнении с первым членом. Поэтому при анализе достаточно малых отклонений х силу можно считать равной х1' (0). Поскольку Г ~ .т:,.:-"-,,:::::-:,:; 1=--( 1 1 !) "-::: 1 И '"':::::='-'":" ( р в) Колебание различима систем при мелмк отклоне- нная Глава 13. КОЛЕБАНИЯ 350 точка х = 0 — точка равновесия, сила х/' (0) должна быть направлена всегда к точке х = О.
Это означает, что /' (0) ( О. Если /' (0) = = О, то надо обратиться к третьему члену, пропорциональному х'. Он должен быть равным нулю, если точка х = 0 является равновесной точкой. Это следует из того обстоятельства, что этот член имеет один и тот же знак как при положительных, так и отрицательных значениях х. Поэтому сила, представляемая им, при отклонении точки в одну сторону от положения равновесия стремится ее возвратить обратно, но при отклонении в другую сторону, наоборот, стремится ее удалить от этого положения.
Следовательно, если бы этот член не был равен нулю, точка х = 0 не могла бы быть точкой равновесия. Поэтому этот член должен быть равным нулю, т. е. /"(0) = О. Таким образом, следующим не равным нулю членом может быть хз /"' (О)/3!. При анализе малых отклонений в случае /' (О) = 0 его необходимо использовать в качестве выражения для силы. Хотя он несколько сложнее члена х/' (0), но все же достаточно прост в сравнении с исходной функцией / (х).
В этом случае колебания значительно усложняются, они становятся нелинейными. Основные особенности этих колебаний мы рассмотрим позднее. Обычно в реальных физических системах отличным от нуля бывает член х/' (0), а уравнение движения для. малых отклонений х от положения равновесия имеет следующий вид: т ((Рх/Ю) = х/' (О) = — /сх, (57.2) где учтено, что /' (0) ~ О, и обозначено й = — /' (0) ) О. Такого рода уравнение получается при рассмотрении многих физических явлений.
В данном примере х является расстоянием от положения равновесия. Однако в качестве х мог бы быть, например, заряд конденсатора, включенного в цепь с индуктивностью. Если физические факторы таковы, что стремятся восстановить нулевое значение заряда на конденсаторе, то уравнение для малых отклонений заряда от нуля имеет вид (57.2). Уравнение вида (57.2) называется уравнением гармонических колебаний, а система, осуществляющая эти малые колебания, называется линейным, или гармоническим, осциллятором. Хорошо известным примером такой системы может служить тело на упругой пружине (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
