А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Следовательно, это уравнение описывает движение с постоянным ускорением, направленным все время перпендикулярно скорости, т. е. движение по окружности. Левая часть (35.86) выражает произведение массы частицы на центростремительное ускорение и~/г, где г — радиус окружности, а правая часть— центростремительную силу 1с( и~В. Поэтому можно записать тяп*~/г ~ с1 и~В.
(35.12) 2гс 2л и (е) В ю= — = 2 (2пг/в х) г глв и гиви„ г в ~е~В Полное движение заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле слагается из равномерного движения вдоль Это уравнение содержит в себе полную характеристику движения ааряженной частицы по окружности в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю. Направление вращения зависит от знака заряда. Из уравнения (35.86) можно заключить, что направление вращения отрицательного заряда связано с направлением магнитного поля В правилом правого винта, а положительного заряда— правилом левого винта (рис.
75). Из уравнения (35.12) получаются следующие выражения для угловой частоты вращения и радиуса орбиты: т=.~», я~, ,р = (Е+(т, ВИ. Какое свойство сил, действующих на заряд со стороны магнитного поля, обусловливает неизменность абсолютного значения скорости заряда при движении в этом поле! Чем определяются параметры спирали, по которой движется заряд в однородном магнитном поле! О+ 'О+ О+ О+', О+ О+ О+ О+ '.О+ О+.: О+ К определению направления вращения отрицательно заряженной частицы в магнитном поле индукции В Гл а в а 8.
ДВИЖЕНИЕ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ 230 '1г (35.15) От чего зависит направление вращения заряда в магнитном поле! Чем отличаются движения заряда в однородном магнитном поле в релятивистском и нерелятивистсном случаях! принимает вид — =е1», В1, у'! — / ° дг (35.1б) (35 17) Траектория движения заря- женной частицы в попереч- ном магнитном поле Вид магнитного поля выбирается не произвольно, а лишь таним образом, чтобы удовлетворялись уравнения Малсвелла. Этот вопрос рассматривается в курсе элеитричества и магнетизма. поля и вращения в плоскости, перпендикулярной ему.
Это означает, что частица движется по спирали, причем ее шаг 1 зависит от параллельной составляющей скорости из и периода вращения Т по окружности, т. е. 1= и!Т= и! 2п/го. (35.14) В случае больших скоростей движение остается без изменения. Формулы (35.12) и (35.13) также сохраняют свой вид, но под т в них следует понимать релятивистскую массу т = иь/)/ 1 — и'/сз, где тв — масса покоя частицы.
Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что ввиду постоянства скорости при движении в однородном магнитном поле релятивистское уравнение движения — )=е1ч, В) т. е. становится полностью эквивалентным нерелятивистскому уравнению (35.1), но с заменой массы покоя ть на релятивистскую. Поэтому все последующие рассуждения и формулы остаются справедливыми, но вместо массы покоя гпь надо использовать релятивистскую массу т. Движение в поперечном неоднородном магнитном поле. В общем виде эта задача достаточно сложна, и мы ограничимся лишь случаем, когда заряженнан частица движется, не сильно отклоняясь от прямолинейной траектории, все время приблизительно перпендикулярно магнитному полю, которое постоянно по направлению, меняется по величине.
Пусть оно задается формулами (рис. 76): В„=В(з), В„=В,=О. Будем считать, что частица движется вдоль оси э. В этом н<е направлении изменяется по произвольному закону ве- 35. Двмжение в стационарном магнитном поле личина магнитного поля В(з). В момент г = О частица находится в начале координат и.имеет скорость и в сторону положительных значений оси г. Как непосредственно видно, сила Лоренца в этом случае все время действует в плоскости (у, з) и, следовательно, движение чаотицы совершается в этой плоскости.
Рассматриваются лишь малые отклонения частицы от оси г. Зто означает, что скорость вдоль оси г много больше, чем скорость вдоль оси (/: (оу/и,) ~ 1. (35.18) (35.19) где произведено разложение квадратного корня в ряд и сохранен лишь первый по (о-"„/о,-") член разложения. Отсюда видно, что с точностью до малых величин ((п„'/и,'-') ~ 1) скорость частицы вдоль оси з не изменяется, т. е. (35.20) и = о, = сопз$. Теперь распишем уравнение движения (35.1) в координатах, воспользовавшись формулой (5.18) для векторного произведения: и —,, =О, и — „,, =ею,В, т — „,, = — еа„В.
(35.21) Ввиду малости ау в сравнении с и, сила в уравнении для г-й координаты много меньше силы в уравнении для у-й координаты. Поэтому, учитывая (35.20), можно силу в правой части третьего уравнения (35.21) считать равной нулю и записать его в виде (Л/г/1') = О. Поэтому, задав начальные условия: х(0)=0, у(0).=О, г(0) =О, (с1х (0)/с1/) = О, (с1у (0)/сй) = О, (с/з (0)/сй) = и, (35.22) для х(г) и г(г) получим следующие выражения: х (1) = О, з (1) =- иГ, а используя формулы (35.23) (35.24) уравнение для у можно переписать в виде —, = — В(з). сну е (35.25) Поэтому постоянную в магнитном поле скорость и можно предста- вить в виде Глава 8. ДВИЖЕН% В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ эзар Решение этого уравнения после двух последовательных интегриро- ваний имеет вид (35.26) у (зо) =- (е/тэ) 6, где 1а $ 6 = ~ сЦ ~ В (и) й) = ~ (зо — и) В (и) Нп (35.27) о о о есть постоянная прибора длиной го, через который пролетает заряженная частица.
Эта постоянная зависит от конфигурации поля и является известной величиной. Измерив отклонение у(з ) и зная скорость и движения частицы, можно найти отношение еlт. Именно таким способом было определено отношение заряда к массе электрона в одном нз самых ранних измерений этого отношения. 36. Движение в стационарном впектрическом поле т, — = еЕ = — е ~1 -- . + 1 —. + Й . ~ = — дгао1 <р, дт /. дгр . дср дср~ Ь = = ~ д' д~ 'д.,= (36.1) где т — скорость заряда. Поступая точно так же, как при переходе от (27.11) к (27.28), получаем закон сохранения энергии при движении заряда в электростатическом поле: (36.2) Пусть заряд первоначально покоится, а затем проходит поле с разностью потенциалов ~ро — ср, =- У, приобретая скорость и.
Р(а основании (36.2) можно записать иоэо/2= ~е~ У. Отсюда находим скорость движения заряда: (36.3) э = 3l'2 ~ е ~У/л1о (36.4) Закон сохранения энергии, Постоянное по времени электрическое поле является потенциальным. Его напряноенность вырангается через потенциал у с помощью соотношений (34.5), а потенциал у связан с потенциальной энергией равенством (34.3). Эти формулы были установлены для поля точечного заряда. В силу того, что поле нескольких точечных зарядов равно сумме полей отдельных зарядов (принцип суперпозицпи), они справедливы для любого электростатического поля, поскольку последнее поронодается электрическими зарядами. Поэтому уравнение двилкения частицы, имеющей массу и, и заряд.
е, в электростатическом поле, потенциал которого у, имеет следующий впд: 36. Движение в стационарном электрическом поле Для электрона получаем и 6 10' )/'У м/с = 600)' У км/с. (36.5) Это означает, что при прохождении разности потенциалов в 1 В электрон приобретает скорость примерно 600 км/с. В атомной физике энергию принято измерять в злектронвольтах. Один электронвольт есть энергия, приобретаемая частицей с зарядом, равным по абсолютному значению заряду электрона, прп прохон<дении разности потенциалов в 1 В: 1 эВ=1,6 10 о Кл 1 В=1,6.10 н Днь (36.6) Для вывода закона сохранения энергии в случае больших скоростей, необходимо воспользоваться релятивистским уравнением дви- жения (36.7) (36.8) Движение в продольном поле. Пусть ось з параллельна силе, действующей на заряд со стороны электростатического поля.
Скорость частицы такнте направлена вдоль оси х, а ее значение в каждой точке мозкет быть определено по закону сохранения энергии, т. е. известно и = п(г). Это дает возможность найти также зависимость положения частицы от времени г(1), поскольку дг/й = и (г). (36.9) Стоящая в правой части этого уравнения функция (скорость) из- вестна. Поэтому если точка в момент 1 имеет координату г„ то в момент 1 она будет иметь координату х, причем иэ (36Я) имеем (36 10) Вычислив интеграл в левой части, мы получим в неявном виде за- висимость г(1). Например, в перелятивистском случае, когда закон сохранения энергии записывается в виде (30.2), находим Тогда, поступая так же, как при пероходе от (28.1) к (28.4), получим следующее равенство: Гл а а а 8.
ДВИЖЕНИЕ В ЗУВ(КТРОМАГНИТНЬ)Х ПОЛЯХ 234 Еу=Е,=О, Е =Е(г). причем абсолютное значение вектора Е, вообще говоря, изменяется вдоль оси з, т. е. Е = Е(г). Уравнения движения и начальные ус- ловия имеют вид: лгу и —,=0 о,( р <Р~ и,—,=О, ИР <Рх иэ — 2= еЕ (г), а2 = (36.12) дх (О) х(0) = у(0) =з(0) =О, где Е, есть сумма кинетической и потенциальной энергий, которая при движении сохраняет свое значение.
Знак корпя должен быть таким, чтобы соответствовать знаку скорости при выбранном направ. ленин положительных значений оси з. Совершенно аналогично рассматривается движение и в релятивистском случае, надо лишь при вычислении скорости пользоваться формулой не (36.2), а (36.8). Принципиальных различий это в решение задачи не вносит. Движение в поперечном поле. Пусть начальная скорость частицы направлена вдоль оси з, а электрическое поле — вдоль оси х. В результате частица описывает некоторую траекторию в плоскости (х, 3). Характер движения частицы в этом случае существенно различен в релятивистском и нерелятивнстском случаях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
