А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Чем больше высота спутника, тем более продолжительное время он сущ ествует. Общий характер изменения орбиты вследствие торможения состоит в следующем. Наибольшая потеря энергии спутника на торможение происходит в перигелии. Вследствие этого высоты пери- гелия и афелия уменьшаются, но высота афелия изменяется более значительно, чем перигелня, и поэтому вытянутость орбиты умень- 218 Гл а за 7.,ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ шается. Скорость движения спутника по орбите увеличивается, а период обращения уменьшается. Орбита спутника в некоторых своих частях может оказаться ниже 160 км, тогда потери энергии Ма торможение становятся весьма значительными и он по быстро приближающейся к Земле траектории падает на Землю.
Однако благодаря наличию защитных покрытий спутник не сгорает и можно с помощью парашюта произвести его мягкую посадку на земную поверхность. Траекторию спутника с учетом изменения плотности атмосферы по высоте можно рассчитать. Поэтому знание траектории позволяет найти распределение плотности атмосферы. Наряду с этим аппаратура, помещенная на спутнике, дает возможность изучить также и многие другие характеристики околоземного пространства. О плотности атмосферы судят главным образом по изменению периода обращения спутника.
Как уже было сказано, вследствие торможения земной атмосферой период обращения спутника (в соответствии с законами Кеплера) уменьшается, а его скорость увеличивается. Это обстоятельство, конечно, не противоречит закону сохранения энергии. Дело в том, что полная энергия спутника слагается из положительной кинетической энергии и отрицательной потенциальной, причем полная энергия является отрицательной.
Вследствие торможения высота движения спутника уменьшается, при этом его потенциальная энергия, согласно закону сохранения энергии, расходуется на совершение работы против сил трения и увеличение кинетической энергии спутника. По скорости уменьшения периода обращения спутника можно сделать заключение о плотности атмосферы. В настоящее время имеются очень подробные данные о плотности атмосферы в широком интервале высот и зависимости плотности от различных факторов, полученные с помощью спутников.
33. Проблема двух тел Приведенная масса. В рассмотренных ранее случаях движения под действием сил тяготения предполагалось, что масса тела, являющегося источником силы тяготения, много больше массы тела, движение которого анализируется. Вследствие этого более массивное тело можно считать неподвижным и задача сводится к определению движения менее массивного тела в заданном поле.
Это проблема одного тела. Однако такое приближение не всегда возможно, т. е. оно не всегда приводит к пренебрежимо малым ошибкам. Например, в двойных звездах компоненты зачастую имеют примерно равные массы и ни одну из компонент нельзя считать неподвижной. При достаточно точном рассмотрении движения Луны вокруг Земли также надо принять во внимание влияние Луны на движение ЗЗ.
Проблема двух тел 219 е>вг, >л,тв г >л, — ~ О- —— »'трз гв г ' (33.1) (33.3) Земли и т. д. Поэтому возникает задача учета движения обоих взаимодействующих тел, которая называется проблемой двух тел. Пусть два тела с массами т, и >пв притягиваются друг к другу силами тяготения. Их уравнения движения в инерциальной системе координат имеют следующий вид (рис. 71): сРгв л>,п> пгз — = — С ИР гз г' где г г, — г, есть вектор, соединяющий взаимодействующие массы и направленный от т, к тз. Общий характер движения может быть изучен с помощью соображений, изложенных в $ 23, относительно движения системы материальных точек.
Ясно, что точка центра масс, положение которой характеризуется радиусом-вектором гц, м = (п>>г> + п>згв)>'(и>> + п>в) (33.2) движется равномерно и прямолинейно, а массы пг, и тв двинутся таким образом, что в системе центра масс их суммарный импульс равен нулю. Момент импульса этих масс в любой инерциальной системе, в том числе связанной с центром масс, сохраняется. Однако решение задачи двух тел более удобно не в системе центра масс, а в системе координат, связанной с одним из тел, так как в атом случае задача математически эквивалентна проблеме одного тела.
Для этого разделим уравнения (33.1) соответственно на и, и пауз и вычтем из второго первое. Тогда получим де Ыег — (гв — г1) = — = дгз дгг 1 1 >л>>ив г ~ >нз п>в / гх г ' К решению задачи о дви- жении двух тел точке Π— нвквно отсеете рвдну- еов-векторов Отклонения формы Земли от шарообразной удобно представить в виде гармонин, на еда я из ноторык вносит в орбиту спутнина, двитущегося еонруг шарообразной Земли, определенные отклонения. йэучая эти изменения в орбите, мон>- но сделать заключение о величине гармонии, которыми они обусловливаются.
Зная гармоники, момно найти истинную форму Земли. Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 220 Обозначим сумму обратных масс, стоящую в скобках, через ~ ~1/Ф ~1/ жд/ >, ! (33.4) причем )д называется приведенной массой. Тогда уравнение (33.3) запишется в виде дРг тдтд г г,дгг гд г (33.5) Это есть уравнение движения в проблеме одного тела, потому что неизвестной величиной является один вектор г.
Решение такого рода уравнения было подробно рассмотрено в $31, 32. Результаты этих параграфов можно непосредственно применить к (33.5), приняв лишь во внимание, что сила взаимодействия определяется массами тд и тг взаимодействующих тел, а инерционные свойства — приведенной массой )д. При решении задачи одно из тел, с которым совпадает начало отсчета радиуса-вектора, принимается за неподвижное, а движение другого тела описывается относительно этого тела, Переход в систему центра масс. После того как в результате решения уравнения (33.5) получено изменение вектора г = г(8), проще всего найти траектории обеих масс в системе центра масс.
Если обозначить радиусы-векторы масс тд и лд, через г,' и г,', взяв за начало отсчета этих векторов точку центра масс, то, по его определению, имеем (рис. 71): (33.6) С помощью этих соотношений, зная г(г), можно вычертить г,'(~) и г,'(1). Траектории обоих тел являются подобными относительно центра масс, причем центр подобия находится в центре масс, а отношение подобия равно отношению масс. Приливы. При движении в неоднородном поле тяготения в телах возникают силы, стремящиеся деформировать их, а также соответствующие деформации. Пусть три материальные точки массы т каждая, связанные невесомой пружиной, свободно падают в неоднородном поле тяготения вдоль прямой, соединяющей их центры (рис. 72), а поле тяготения, в котором происходит движение, создается точечной массой. Силы тяготения, действующие на эти точки, не равны друг другу: верхняя точка испытывает меньшую силу тяготения, чем нижняя.
Эта ситуация, как изображено на рис. 72, эквивалентна следующей: на все три тела действуют одинаковые силы, равные силе, действующей на среднее тело, и дополнительно на верхнее тело действует сила, направленная вверх, а на нижнее тело — направленная вниз. Следовательно, пружина должна растянуться. Таким образом, 33.
Проблема двух тел неоднородное лоле тяготения стремится растянуть материальное тело в направлении неоднородности. В частности, поле тяготения Солнца растягивает Землю вдоль линии, соединяющей их центры. Аналогичный эффект на Землю оказывает и Луна.
Величина эффекта зависит не от силы тяготения, а от скорости изменения этой силы. Движение планеты вокруг Солнца. представляет собой свободное падение. Она не может упасть на Солнце лишь из-за наличия касательной скорости, перпендикулярной линии, соединяющей центры планеты и Солнца. На небесное тело, движущееся в поле тяготения другого тела, действует описанная деформирующая сила. В поле шарообразного тела сила тяготения на расстоянии г от центра равна Р = — СМт/г», а следовательно скорость изменения этой силы с расстоянием определяется по формуле (/)Р/г/г) = 2СМт/гз.
Для полей тяготения Солнца и Луны в центре Земли получаются следующие значения (величины отнесены к единице массы): 2СМс/гз = 0,8 10-" 1/с'и 2СМл/гз = 1,8 10 гз 1/с'. Таким образом, «деформирующая» сила, действующая на Землю со стороны Луны, превышает соответствующую силу со стороны Солнца более чем в два раза. Эта «деформирующая» сила не изменяет существенно формы твердой оболочки Земли, поскольку уже маленькие деформации, возникшие в оболочке, в состоянии компенсировать действие атой силы. Однако форма поверхности воды в океанах существенно изменяется: вдоль неоднородности поля тяготения появляются «горбы», а в перпендикулярном направлении уровень океана понижается (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
