А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 44
Текст из файла (страница 44)
64). Из формулы (31.21) непосредственно получаем следующее выражение для полуосей череа зксцентриситет е и параметр р: а = р/(1 — ез) Ь = рф 1 — сз. (31.26) Из (31.26) следует, что Ьт = рз/(1 — сз) = ра. (31.27) С другой стороны, учтем свяаь между У и р, указанную в (31.20): от=и)т 6Мр. (31.28) Теперь выразим Тз из уравнения (31.25) и воспольауемся формулами (31.26) и (31.27): 4тзлзлтЬт 4тРаз 4жтдт (31.29) тт з ттСМр СМ Формула (31.24б) подтверждает ранее доказанное положение о том, что связанные состояния возможны только при отрицательной энергии связи, т.
е. отрицательной сумме кинетической и потенциальной энергий. Если полная энергия положительна, то движение в конечной области невозможно. Частица движется по гиперболе и уходит на бесконечность. В граничном случае, когда полная энергия равна нулю, частица также уходит на бесконечность, но по параболе. Третий закон Кеплера. Этот закон читается так: квадраты времени обращения различных планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их эллипсов. Для доказательства выпишем равенство (31.8а), связывающее период обращения Т с другими характеристиками движения: ?01 в 44. Движение планеты по зллипсу Вид нриеой, по ноторой деитется тело е поле центральнык сил, определяется полной енергией тела. Как доказывается, что движение в попе Чентральныз сип яв- ляется плоским! Следствием какого закона сохранения является второй закон Кеплера! Какие траектории материальной точки возможны в поле тяготения точечного тела и кри калик условиях они остществпяются1 В чем состоит метод возмущения! Гл а за 7.
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ т. е. квадрат времени обращения планеты зависит только от большой полуоси и пропорционален ее кубу; тем самым третий закон Кеплера доказан. Эти законы были установлены Кеплером в результате анализа движения планет, что явилось крупнейшим достижением научной мысли н открыло путь н формулировке закона тяготения. В приведенных выше расчетах центр притяжения считался неподвижным, т. е. масса центрального тела (Солнца) принималась очень большой. Фактически его масса имеет конечную величину, поэтому как рассматриваемое, так и центральное тело движутся вокруг их общего центра масс, т.
е. возникает проблема дни~кения двух тел, которая будет проанализирована позднее. Мы пренебрегали взаимодействием с другими планетами, которое значительно меньше основного принятого во внимание взаимодействия планеты с Солнцем. Существует хорошо разработанный метод учета этих дополнительных взаимодействий. Он называется теорией возмущений, н его суть состоит в следующем. В качестве исходного движения берется невозмущенное движение, когда все дополнительные взаимодействия считаются отсутствующими. Затем вычисляется изменение в невозмущенном движении, вносимое дополнительным взаимодействием, т.
е. определяется возмущение движения. Поскольку дополнительныв силы очень малы, возмущения оказываются тоже малыми. Точные значения величйны возмущения представляются в виде бесконечного ряда членов. Но этн члены быстро убывают по своему значению и для получения результата с большой точностью бывает обычно достаточным взять один или максимум несколько первых членов этого ряда. Нет необходимости рассматривать методы возмущений, поскольку они дают лишь небольшие поправки к невозмущенному движению.
Отметим лишь, что в итоге удается рассчитать движение планет с громадной точностью. Их наблюдение проводится также с очень большой точностью. Согласие между теорией и опытом чрезвычайно хорошее. Чтобы судить о точности вычислений и наблюдений и одновременно указать на один результат, который в рамках теории тяготения Ньютона не удается объяснить, скажем несколько слов о вращении перигелия планет н, в частности, Меркурия.
Вращение перигелия Меркурия. В результате взаимодействия с другими планетами и других факторов линия, соединяющая Солнце и точку перигелия орбиты планеты, меняет свою ориентировку в пространстве, вращаясь в направлении движения планеты. Это явление называется вращением перигелия планеты.
Величина вращения невелика и измеряется угловыми минутами в столетие. Однако точность расчетов и наблюдений такова, что расхождение даже в несколько секунд в столетие требует объяснения. Наибольшее различие имеется у ближайшей к Солнцу планеты Меркурий. Главный вклад во вра- 31. Движение планет и комет ?03 щение перигелия Меркурия дает прецессия, аналогичная прецессии оси гироскопа (см. гл. 11). Планеты и Солнце вращаются вокруг общего центра тяжести и также образуют гироскоп, ось которого прецессирует, что обусловливает вращение перигелия.
Небольшое вращение перигелия происходит за счет сплющенности Солнца и более точного учета самого движения планеты. Принимая во внимание все факторы, получаем следующий баланс между результатами расчетов и наблюдепый; Таким образом, теоретически вращение перигелия Меркурия вычислено с точностью, большей, чем одна угловая секунда в столетие. Примерно с такой же точностью измерено это вращение. Расхождение в 42",56 в столетие между наблюдениями и теорией лежит вне возможных ошибок и требует объяснения. У других планет также имеется разница между теорией и наблюдениями, однако она не является столь вопиющей, как у Меркурия.
Например, у Венеры она в столетие составляет около 8", у Земли — около 5". Тем ые менее и зти небольшие различия требуют объяснения. Классическая теория тяготения оказалась не в состоянии это сделать. Поатому приходится обратиться к релятивистской теории. Прежде всего возникает вопрос: не может ли релятивистское изменение массы со скоростью привести к вращению перигелия? Оказывается, может, и зто нетрудно рассчитать.
Очевидно, что величина релятивистского аффекта должна возрастать со скоро- Глава 7. ДВИ)НЕНИЕ Е ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 204 (па+ Апп) гп (п~+ АР~) гю (31.30) У! — (ип-)-ви„)~/с~ У! — (,+л.,) /.* где Аи, = г„о, Ли, = г,о. Из этого равенства можно определить угловую скорость а вращения перигелия. Для этого учтем, что (ис/с) ~ 1, (и~/с) ~ 1, (Ага/пп) ~ 1, (Аи,/и,) ~ 1. Поэтому можно написать ! ! (и +Ли„)з ! и~~ 1+ О и 1+ и У! — Ьч+ Лич)~/с~ 2 с~ 2 с~' (31.31) поскольку отброшенные члены много меньше сохраненного малого члена и$/2с'. Аналогичное представление справедливо и для члена, стью движения, а ближайшая к Солнцу планета Меркурий имеет максимальную скорость движения вокруг него. Это означает, что максимальное вращение перигелия, обусловленное релятивистским изменением массы, должно быть у Меркурия.
Физическая причина вращения перигелия вследствие изменения массы со скоростью состоит в следующем. Момент импульса /)/ при движении в поле центральных сил сохраняется как в нерелятивистском, так и в релятивистском случае. Скорости движения малы в сравнении со скоростью света ((и/с)' = 10-'] и поэтому относительное изменение массы столь же мало. Воспользуемся методом возмущений, рассматривая двия!ение с постоянной массой нак невозмущенное.
Момент импульса У при этом сохраняется. Скорости до цеытрального тела в перигелии и афелии обозначим соответственно иа и с„а расстояния — г и г,. Иэ закона сохранения импульса следует, что т,гаса = т,г,и,. Однако если принять во внимание зависимость массы от скорости, то это равенство нарушится, поскольку в перигелии скорость больше, чем в афелии (см. рис. 64), а значит, больше н изменение массы, в результате чего момент импульса в афелии будет меньше, чем в перигелии. Но этого не должно быть, поскольку и в релятивистской теории момент импульса должен сохраняться. Поэтому движение должно измениться так, чтобы восстановить справедливость закона сохранения импульса.
Для этого орбита как целое должна начать вращаться в направлении вращения планеты с некоторой угловой скоростью. Поскольку расстояние в афвлии больше, чем в перигелии, это вращение обусловливает большее изменение скорости в афелии, чем в перигелии, т. е. Аи, = = г,о) Лис = гав. Вследствие этого момент импульса в афелии увеличится больше, чем в перигелии, и закон сохранения импульса снова будет выполняться. С учетом изменения массы и дополнительного вращения орбиты в целом с угловой скоростью о закон сохранения импульса соблюдается при условии 31.
Движение планет и комет выражающего момент импульса в афелии. Поэтому уравнение (31.30) записывается в виде 1 ай 'й Ш0У~У + глаЛп~г + 2 И0 — а п~г~+ 2 Иа — 0 — Ьэ~г 1 ай ий = щапага + ~па~-~гага + 2 тпа 0 гага + 2 ~па 0 /1гага. (31.32) Здесь первые члены в обеих частях равны в силу закона сохранения момента импульса для невозмущенного движения: тагана = тагаоа, последние члены пренебрежимо малы в сравнении с предпоследними, поскольку (Лиа/иа) <" ,1, (Лиа/иа) ~" 1, и их можно отбросить. Сокращая на общий множитель ш„уравнение (31.32) можно окончательно представить следующим образом: 'й аа /~~ 010+ 2 0 ~п~п / ~~ЙГа+ 2 0 ~ага' (31.33) Учтем далее, что согласно закону сохранения момента импульса при невозмущенном движении множители и„га и вага равны друг другу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
