А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Из математики известно, что телесным (пространственным) углом Нй (рис. 56) называется отношение площади поверхности сферы, на которую опирается этот угол, к квадрату радиуса сферы. Отсюда заключаем, что в сферической системе координат элемент бесконечно малого пространственного угла Ньс = Няггз= = зуп Ооуойр. Поэтому формулу (30.2) для силы, с которой масса элемента объема с(У действует на материальную точку, можно записать в виде Нг' = бтрсЕ1сгг. (30.9) Следовательно, сила со стороны материального слоя толщиной дг зависит только от угла, под которым он виден, и не зависит от расстояния до слоя (рис.
57). Такая ситуация обусловлена убыванием силы тяготения именно обратно пропорционально квадрату расстояний. Если бы, например, сила убывала как 1/гэ, то этого не было бы. С другой стороны, ясно, что любая сила, убывающая обратно пропорционально квадрату расстояний, должна обладать тем же свойством, например силы, описываемые законом Кулона. Рассмотрим взаимодействие двух шарообразных тел.
Поскольку каждое из них взаимодействует с каждой материальной точкой другого тела так, как если бы тело было само материальной точкой, расположенной в его геометрическом центре, то два шарообразных тела притягиваются друг к другу с той же силой, с какой притягиваются материальные точки с соответствующими массами, расположенные в их геометрических центрах. К понятию пространственного угла Этот угол измарлатсл безразмарным числом, равным оснащению площади Я, аыделлвмой им иа пааеркностн сферы с центром а его ° ерюинв к квадрату радиуса г сферы 51. Масса тонкого сферического слоя, заключенного внутри некоторого пространственного угла стас, растет пропорционально квадрату расстояния от вершины угла.
Поэтому поле тяготения, создаваемое таким слоем в вершине угла, не зависит от его расстояния до слоя Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ тЯГОтЕНИЯ 188 Иг" =Стрйг — „, Ыт=Стрйг —. Ы1 НЯ~ 1— г", (зо.1о) Заметим, что,величины И у,/г,' и Ня,/г, 'не являются телесными углами, под которыми эти площадки видны из точки О, потому что их поверхности не перпендикулярны радиусам. Проведем через середину площадок плоскости, перпендикулярные радиусам, и обозначим проекции площадок ду, и дЯ, на эти плоскости через Ня,' и Ия; соответственно. Углы между этими плоскостями и касательными плоскостями у обеих площадок равны по теореме о касательных в концах хорды: 8, = 8т = 8.
Поэтому получаем ИЯ; = НЯ, соз 8, дЯ' = НЯ, соз 8. Следовательно, (ЗО 10) можно переписать в виде Ыю( 1 аЮ', 1 И, Ст рог — ' — ЙР, = Стрг/г — ' —. г', сов э ' созе ' (зо.1о ) Но (пЯ/г1) = (ЫЯ./г3) = дй есть одинаковые телесные углы, под которыми площадки НБ1 и ИЯт видны из О.
Величины 1/соз 8 также Сила со стороны шарового слоя. Из только что доказанного утверждения непосредственно следует, что шаровой слой действует на находящуюся ао внешнем пространстве материальную точку так, как если бы вся масса шарового слоя была сосредоточена в его геометрическом центре. В самом деле, сила от шарообразного тела может рассматриваться как сумма сил от меньшего шарообразного тела и шарового слоя, дополняющего это тело до первоначального. Поскольку сила от шарообразного тела сводится к силе от материальной точки, расположенной в его геометрическом центре, сила от шарового слоя равна силе от материальной точки, расположенной в его геометрическом центре, но с массой, равной разности масс шарообразных тел, т. е.
с массой шарового слоя, что и требовалось доказать. Сила в шаровой полости. Однако если материальная точка находится внутри полости, ограниченной шаровым слоем, то на нее никакая сила не действует. Чтобы это показать, рассмотрим действие на материальную точку со стороны бесконечно тонкого шарового слоя толщиной Нг.
Возьмем участок шарового слоя площадью Иу„на котором находится масса рдгдЯ,. Симметрично ему расположен другой участок поверхности шарового слоя ИЯ„видимый из точки 0 под тем же телесным углом Нй (рис. 58). На этом участке имеется масса рдгНЯ,. На рисунке изображено сечение в плоскости, проходящей через центр шарового слоя и линию, соединяющую площадки. Силы, действующие на массу и в точке 0 со стороны этих участков, направлены противоположно и равны: 30. Свойства сил тяготения т89 одинаковы. Следовательно, ЫР, и ИР равны по абсолютному значению, но направлены противоположно и поэтому компенсируют друг друга.
Суммарная сила, действующая на точку в полости со стороны симметрично расположенных масс на площадках йЯ, и аЯ„равна нулю. Каждая из площадок имеет себе симметричную. В результате получаем, что полная сила, действующая на материальную точку внутри полости со стороны бесконечно тонкого игарового слоя, равна нулю. Шаровой слой конечной толщины можно представить в виде суммы (интеграла) шаровых слоев малой (бесконечно малой) толщины.
Поэтому утверждение справедливо также для шаровых слоев любой толщины., Вычислим силу тяжести на глубине Ь ниже поверхности Земли. Она будет меньше, чем на поверхности Земли, потому что весь шаровой слой, лежащий выше глубины й, не дает никакого вклада в эту силу. Уменьшение силы тяжести равно той силе в точке на глубине д, которую может создать масса Земли в слое толщиной й от поверхности Земли, помещенная в ее центр. В центре Земли сила тяжести равна нулю.
Нетрудно видеть, что при удалении от центра Земли сила тяукести растет пропорционально первой степени расстояния от центра. В самом деле, масса, заключенная в шаре радиуса г, меньшего радиуса Земли, равна 4утгвр(3, где р— плотность Земли. Поэтому сила, действующая на массу утг внутри Земли, расположенную на расстоянии г от центра, равна 4ат — уврт Р=С й = сопзС.тг. 3 Так происходит до поверхности Земли. Вне поверхности сила убывает обратно пропорционально квадрату расстояний.
График зависимости силы тяготения от Вычисление силы, действующей на точку в шаровой полости Иа вычнсленнй получено, что внутрн нтаровой полостн со сфернческн снмметрнчным распределенном массы снлы твтотеннл отсут- ствуют дамена лола иуарообразного тела нолем материальной точки возмотна длл осек сил, убывающик обратно лролорционально квадрату расстолний, в том числе и длл злентричесник сил, дейстеующик ло закону лулона. 1)гО Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ О Зависимость поля тяготения от расстояния до центра однородного н)арообрвзного тела радиуса В При вычислении сил тяготения полость в материальном тела можно формально рассматривать нан «отрицател ьную» массу в.
сплошном теле. Можете ли Вы доказать, что центральные силы являются всегда лотенциальными1 Каким свойством сип тяготения обусловлена эквивалентность поля тяготения вне в)ара со стороны п)вра со сферически симметричным распределением массы и со стороны материальной точки с массой вара, помещенной в его центре1 расстояния до центра однородного шарообразного тела приведен на рис. 59.
Поле вблизи поверхности Земли. Обозначим радиус Земли В, а расстояние от ее поверхности до материальной точки массы т через Ь, причем Ь «В . Полное расстояние от центра Земли до материальной точки есть Вь + Ь, и, следовательно, в соответствии с формулой (30.8) сила тя- жести (30.11) (30.13) где д = (гзМ/В~с) = 9,8 м/сз есть ускорение силы тяжести у поверхности Земли. В этом приближении рассматривается большое число задач, связанных с силой тяжести вблизи поверхности Земли. Гравитационная энергия. Формула (27.35а) показывает, что потенциальная энергия равна работе, которую совершают силы поля при удалении частицы из точки ее нахождения на бесконечность.
.г'=от/(Вв+Ь) . Учтем, что 1 1 1 (Л,+й)э Л, (1+а/В,) = «, (1- 2 « .ь ...~, )30 )2) где отброшены члены (ЫВ,)' и члены более высоких степеней, потому что уже член ЫВ, очень мал. Например, для расстояний в пределах высот полета самолета порядка 20 км (ЫВ,) 3 10-з. Квадрат этой величины отличается от единицы уже в миллионных долях. В большинстве случаев нет необходимости учитывать изменения силы тяжести, составляющие лишь незначительную долю ее величины. Например, при падении тел с высот до 1 км изменение силы тяжести составит меньше 2 (Ь/В ) ж 3 10 4. С этой точностью можно считать силу тяжести постоянной, независимой от высоты и на основании (30.11) и (30.12) равной ЗО.
Свойства сил тяготения При перемещении частицы из одной точки в другую ее потенциальная знергия изменяется и на такую же величину изменяется кинетическая энергия, так что сумма зтих энергий остается постоянной. Поэтому возникает вопрос о физическом носителе той энергии, за счет которой изменяется кинетическая энергия тела, т.
е. о физическом носителе потенциальной энергии. Кинетическая энергия определяется относительной скоростью движения тел, а потенциальная энергия — их относительным расположением. Это наводит на мысль считать носителем потенциальной энергии взаимное расположение тел, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
