А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 36
Текст из файла (страница 36)
52). Сила, действующая на массу тп, равна где М вЂ” масса Земли, 6 — гравитационная постоянная, г/г — единичный вектор по радиусу от центра Земли. Знак минус означает, что сила направлена к центру Земли. Элементарная работа при перемещении на о1! равна (рис. 52) (г, л)- — з —,( —,, о)- = — 6 —, <У соз а = — 6 —,, Нг, (27.31) где учтено, что вектор г~г является единичным, а ог соз а — проекция перемещения на направление радиуса, равная перемещению 0г вдоль радиуса. Таким обра- В чем состоит смысл криволинейного интеграла, выражающего работу прн перемещении между двумя точками! От чего зависит этот интеграл в общем случае! Что такое потенциальные силы1 Какие критерии потенциальности сил Вы знаете! Какая существует связь между силамн и потенциальной знергией1 К доказательству потенциальности силы тяжести Глава б. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 166 зом, элементарная работа определяется только перемещением вдоль радиуса и не зависит от перемещения, перпендикулярного радиусу.
Это означает отсутствие сил тяготения в плоскости, перпендикулярной радиусу. Элементарная работа в (27.31) зависит только от одной переменной г и ее дифференциала Нг. Поэтому вычисление работы при перемещении тела из произвольной точки, находящейся на расстоянии г„в точку на расстоянии г, сводится к интегрированию функции одной переменной: < г> тз г Иг ( > ~1 11 (г', И) = — СМт ~ —,= — СМт> — — — ), г~ >~ г~ г~ (27.32) Уже сейчас видно, что сила тяготения потенциальна, потому что работа между точками 1 и 2 зависит только от расстояний г, и г от центра Земли н не зависит от пути, соединяющего эти точки. Ясно, что и работа по замкнутому пути равна нулю, потому что если вернуться из точки 2 в точку 1 по другому пути, то работа будет равна тому же значению (27.32), но с обратным знаком, так что полная работа по замкнутому пути 1-2-1 равна нулю, как это и должно быть для потенциальных сил.
Тем самым доказано, что сила тяготения является потенциальной. Сравнив (27.32) с общей формулой (27.25), находим потенциальную энергию У материальной частицы массы т: с> (~) = — 6 — „~ + А. (27.33) У(со) =О, (27.34) которое уже не является чисто произвольным требованием, а учитывает сущность физических процессов, происходящих при взаимодей- Возникает вопрос о нормировке энергии. Желательно выбрать условие нормировки так, чтобы оно учитывало физические особенности взаимодействия,и тогда, возможно, численное значение потенциальной энергии приобретет более ясный смысл, а не будет чисто формальным числом, как это было до сих пор.
Такое физическое соображение есть. Дело в том, что если материальное тело удалить от поверхности Земли на бесконечно большое расстояние, то никакого взаимодействия между телом и Землей не будет. Это означает, что существование на бесконечности материального тела не опаляет никакого влияния на явления, происходящие в пределах любого конечного расстояния от Земли. То же самое можно сказать и о явлениях в пределах любого конечного расстояния от тела т. Поэтому логичным является заключение, что в этом случае и потенциальная энергия У, связанная с взаимодействием между телом и Землей при удалении тела от Земли, должна быть равна нулю. Это приводит к следующему условию нормировки: 27.
Закон сохранения энергии 167 стени. Из условия нормировки (27.34) следует, что в (27.33) постоян- ная А = О и потенциальная энергия массы и в поле тяготения Земли равна Мт У(г) = — 6 —. (27.35) Заметим, что при условии нормировки (27.34) формула для потенциальной энергии частицы, находящейся в некоторой точке В, может быть записана в виде У (В) = ~ Г (г) Нг, <в1 (27.35а) где работа вычисляется по любому пути, начинающемуся в точке В и заканчивающемуся на бесконечности, когда сила г" обращается в нуль и взаимодействие выключается.
Применения. Многие применения закона сохранения энергии будут рассматриваться в последующих главах. Здесь достаточно сослаться на эффективность использования закона сохранения энергии в хорошо известных примерах скатывания санок с горок сложной формы. Если задана подобная горка, с верхней точки которой скатываются сани, и требуется определить скорость саней в любой точке горки (с учетом или без учета трения), то решение этой задачи на основе уравнений движения является довольно утомительным, а с помощью закона сохранения энергии значительно упрощается.
Закон сохранения энергии позволяет провести сравнительно простой анализ общих особенностей движения без детального знания уравнений движения, если нам известен закон изменения потенциала, т. е. потенциальной энергии. Рассмотрим этот метод в одномерном случае, В этом случае любая сила, зависящая только от координат ( и не зависящая от скорости и времени), является, согласно определению, потенциальной силой. Нахождение потенциала сводится к вычислению интеграла от известной силы и всегда выполнимо. Поэтому можно считать закон изменения потенциальной энергии известным. Пусть он имеет внд, показанный на рис.
53. Рассмотрим движение частицы, полная энергия которой равна И'. Эта частица может находиться либо в области между точками х, и х, либо правее точки х,. В самом деле, по закону сохранения энергии, кинетическая энергия частицы равна разности полной энергии и потенциальной, т. е. И' — У, причем она может быть только положительной. Поэтому допустимыми областями движения являются лишь те, з которых полная энергия больше потенциальной Например, движение в области между х, н х, невозможно, потому что кинетическая энергия частицы должна была бы быть отрицательной.
Теперь проанализируем движение в допустимой области, например на участке х,хэ. Пусть частица находится в точке х. 168 х! х х хт хт дУ ах (27.36) Частица может двигаться лишь э области, где ее полная энергия больше ипи равна потенциальной, Эта область называется потенциальной ямой Можно ли, оставаясь в лределак механики, написать закон созранения энергии для непотеициальнык сип! Какие немезанические формы энергии Вы знаете! Что таков нормировка потенциальной энергии н благодаря чему она возмои«на! Какие наиболее употребительные нормировки Вы знаете! Что таков энергия взаимодействия! Что яапвется носителем потенциальной энергии! Глава 6.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Ее кинетическая энергия дается величиной Н~ — У, а двигаться она может как влево, так и вправо. Если она движется влево, то ее потенциальная энергия возрастает, и, следовательно, кинетическая энергия убывает (потому что полная энергия остается постоянной), т. е. скорость частицы уменьшается.
Это означает, что на частицу действует в точке х сила, направленная вправо. Это видно также из формулы, выражающей силу через потенциальную энергию: В точке х потенциальная энергия убывает с ростом х и, следовательно, дГПдх отрицательно, а г"„= — дУ/дх положительно, т. е. сила действует вправо — в направлении положительных значений оси х. Частица будет двигаться влево до тех пор, пока ее скорость не уменьшится до нуля, т. е. пока полная ее энергия не превратится в потенциальную.
Это произойдет в точке хд. Однако в атой точке частица не сможет остаться в покое, потому что на нее действует сила, направленная вправо. Под действием атой силы частица будет двигаться вправо с возрастающей скоростью, которая достигнет максимального абсолютного значения в точке х', когда потенциальная энергия частицы будет минимальной. На отрезке (х', х,) на нее будет действовать сила, направленная влево, 28.
Законы сохранения и симметрии пространства и времени которая вызовет уменьшение ее скорости до нуля в точке т . Затем частица начнет двигаться влево и т. д. На всем отрезке (х„х ) существует только одна точка, где частица может покоиться. Это есть точка х', в которой потенциальная энергия станет минимальной, что является условием устойчивого равновесия. Частица, находящаяся левее хт, может двигаться от точки хз и до бесконечности (если правее хэ потенциальная энергия нигде не поднимается выше И').
Между хт и хз движение невозможно. Область между х, и хм в которой частица оказывается запертой, называется потенциальной ямой, а область между х, и хз, через которую частица не может пройти, называется потенциальным барьером. В классической механике потенциальный барьер является абсолютным препятствием для движения частицы. В квантовой механике при определенных условиях частица может пройти через потенциальный барьер. Это явление называется туннельным эффектом и играет важную роль в микромире. Более подробно этот эффект рассматривается в квантовой механике. 28. Законы сохранения и симметрии пространства и времени (28.2) Дифференцируем левую часть этого уравнения: Полная энергия и энергия покоя.
Все соображения, наложенные в предшествующем параграфе относительно работы сил, потенциальности сил и потенциальной энергии, остаются справедливыми и для движений с большими скоростями, потому что при их рассмотрении было несущественно, с какой скоростью движется тело. Различие заключается лишь в том, что вместо нерелятивистского уравнения движения (27Л1) необходимо исходить из релятивистского уравнения движения (21ЛО): —:(л-.-% ) =' (28.1) Так же как и в нерелятнвнстском случае (27.11), умножая обе части (28Л) на скорость ч, получим —,„)— Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 170 Следовательно, равенство (28.2) принимает следующий вид: (28.3) где учтено, что» = (с(г/й) и обе части равенства умножены на Ж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
