А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 34
Текст из файла (страница 34)
0 применениях. Примеры применения закона для решения конкретных задач приведены в последующих главах. Здесь же проиллюстрируем его эффективность лишь на одном примере. Через закрепленную жестко трубу продета нить, на конце которой подвешено тело массы и, могущее вращаться по окружности вокруг оси вращения, совпадающей с осью трубы (рис. 47).
Пусть в начальный момент тело движется по окружности радиуса г, со скоростью и1. Затем к пити прилагается сила г', в результате чего тело массы т начинает двигаться по спирали с уменьшающимся радиусом и переменной скоростью. В конце процесса тело движется по окружности заданного радиуса г,. Требуется определить скорость г, тела.
155 В каком случае закон сохранения момента импульса можно применять к неизолнрованной системе1 Каким свойством пространства обусловливается справедливость закона сохранения момента импульса! глв чвх то — =г ° г к (27. 1 ) чВ. 27. Закон сохранения энергии Если решать эту задачу с помощью уравнений движения, то она оказывается довольно сложной. При движении по спирали сила, действующая вдоль радиуса, направлена под углом к скорости, вследствие чего скорость будет увеличиваться. Имея соответствующие данные, можно рассчитать изменение скорости и найти скорость и.
Однако значительно проще решить задачу с помощью закона сохранения момента импульса. Сила, действующая на массу т, всегда направлена вдоль радиуса, поэтому ее момент (22.2) равен нулю. Следовательно, момент импульса сохраняется. В данном случае в исходной ситуации момент импульса Х направлен параллельно оси вращения и равен г,твы В конечной ситуации он должен иметь такое же значение, т.
е. г,тгт, = — гзти,. Отсюда находим скорость тела: и = гтр,/г . 27. Закон сохранения энергии Работа сил. Если под действием силы изменяется абсолютное значение скорости, то говорят, что сила совершает работу. Если скорость увеличивается, то принимается, что работа силы положительна, а если уменьшается, то отрицательна. Найдем связь между работой и изменением скорости. Сначала рассмотрим одномерный случай, когда сила действует, например, вдоль оси х н движение происходит вдоль этой оси.
Например, пусть материальная точка массы т, перемещается под действием силы сжатой или растянутой пружины, закрепленной в начале системы координат — точке О (рис. 48). Уравнение движения точки имеет вид Умножив обе части этого уравнения на пя и учтя, что и (г(и!г(т) = 1(2 Ы (~>х)!М уменьшением расстояния вращающейся материальной точки от осн вращения под действием силы, направленной коси вращения, обусловлено возрастание угловой и линейной скоростей точки в силу закона сохранения момента им- пульса К вычислению работы силы в случае одномерного дви- жения Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ $56 получим '~х р (27.2) В правой части этого равенства заменим дд„ = ддх/ддт и обе части его умножим ыа й. Тогда (27.3) В этом виде равенство имеет очень наглядный смысл: при смещении точки на д/х сила совершает над ней работу г"„ддх, в результате чего изменяется величина т дд„'/2, характеризующая движение тела и, в частности, абсолютное значение его скорости.
Величина тодд„'/2 называется кинетической энергией тела. Если тело смещается из положения х, до хд, а его скорость при этом изменяется от и„д до о„„то, интегрируя (27.3), имеем (27.4) "х "хд Х1 Учитывая, что удод'„д 2 х "хд окончательно находим (27.5) т. е. изменение кинетической энергии материальной точки при ее перемещении между двумя положениями равно совершенной при этом силой работе.
Интеграл в правой части (27.5) является пределом суммы элементарных работ, которые совершаются прн элементарных перемещенных. Весь промежуток между точками х, и хд разбивается ыа маленькие отрезки Ьх; (ха — х, = ~Ах,), на каждом из них сила имеет некоторое значение г"„д (неважно, в какой точке интервала Лхд берется значеыие силы г"„д). Элементарная работа на участке Лхд равна 27. Закон сохранения энергии 157 ЛА; = Р„;Ахи а полная работа на всем перемещении от х, до хх будет ~Р„;Лх,. (27.6) Устремляя длины интервалов Лх, к нулю, а их число — к бес- конечности, получим работу силы при перемещении от точки х, к точке х,: А = 1!т ~Р„,Ь~, = ~ Р,И.
а .-о, 1 х, (27.7) Из (27.5) видно, что кинетическая энергия материальной точки изменяется, если силы не равны нулю. Таким образом, при наличии силы нипетнческая энергия не сохраняется. Она остается постоянной лишь в отсутствие сил, потому что при г'„= 0 из (27.5) следует "Ю~х ~по" х1 2 й 2 2 = сопзС. (27.8) Но этот закон сохранения кинетической энергии материальной точки в отсутствие сил тривиален, поскольку закон сохранения импульса в отсутствие сил уже устанавливает постоянство скорости, а следовательно, и ее квадрата. Если перемещение материальной точки не совпадает с направлением силы, то работу производит компонента силы вдоль перемещения. Работа равна абсолютному значению силы, умноженному на косинус угла между силой и перемещением. Поскольку элементарное перемещение точки является вектором Л, а сила Р— тоже вектор, элементарная работа может быть представлена в виде их скалярного произведения: ИА =ЕЛ сов(Р, сЛ) =(Р, с11).
(27.9) Пусть точна движется не вдоль прямой, кан в (27А), а по произвольной траектории (рис. 49). В этом случае работа силы при перемещении из точки 1 в точку 2 также выразится как предел суммы элементарных работ (27.9) на всем пути. Разобьем траекторию движения на малые отрезки Ыь один из которых изображен на рис.
49. Злементарная работа на этом отрезке равна ЛА, = (Р;, Ы;) = = г";Ы; соз (Р;, Ы;). Сумма же всех элементарных работ приближенно равна работе при перемещении из точки 1 в точку 2. Устремляя длины отрезков Ы; к нулю, а их число — к бесконечности, получим работу 158 дт те — — — Г, е( (27.11) 49.
К вычислению рвботы силы при движении по произвольной траектории 8 случае одномерного двитвния, ногда известна сила, зависни(ая толь- но от ноординат, уравнения двитения всегда решаются посредствам дву» квадратур. Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ силы при перемещении вдоль произволь- ной траектории: Интеграл в правой части (27.10) называется криволинейным, взятым вдоль линии Ь между точками 1 и 2.
В обозначении пределов интегрирования буква Ь указывает на конкретную линию, которой соединяются точки 1 и 2. Часто этот значок опускают, потому что известно, какая линия имеется в виду. Последовательность точек (1) внизу интеграла и (2) вверху говорит о направлении, в котором мы передвигаемся по этой кривой, в данном случае от точки 1 к точке 2.
Конечно, по той же кривой можно двигаться из точки 2 в точку 1. В этом случае пределы у интеграла в (27.10) надо было бы поменять местами. Если изменить направление движения вдоль кривой на обратное, то изменится только знак интеграла. Это видно из того, что направление всех элементарных перемещений (11, изменяется на противоположное, а сила в каждой точке остается неизменной и, следовательно, знаки всех элементарных работ (Р, Л) изменятся на обратные. При рассмотрении общего случая надо вместо уравнения (27.1) взять общее уравнение движения а дальше провести вычисления, аналогичные тем, которые были разобраны в связи с уравнением (27.5). Умножая обе части уравнения (27.11) скалярно на скорость т = (1гЯг и учитывая, что — — — — — (27.!2) 159 И ( — 2~ = ~г,ь~.
(27.13) (27 14) 27. Закон сохранения знергии получаем, как и в (27.3), Вектор Нг означает то же, что и вектор перемещения а1. В уравнении (27.10) было написано Л, чтобы подчеркнуть, что интеграл определяется исключительно линией, вдоль которой проводится интегрирование, и силами в точках на линии и не зависит от того, где помещена точка, относительно которой отсчитывается радиус-вектор.
Интегрируя. обе части (27.13) по траектории движения материальной точки между ее положениями 1 и 2, на- ходим Относительно равенства (27.14) можно сделать те же замечания, которые были сделаны в связи с (27.8), добавив, что в отсутствие сил траектория движущейся точки является прямой линией. Можно сказать, что (27.14) выражает закон сохранения энергии, если иметь в виду не только механические формы энергии, но и всевозможные другие, т. е. выйти за рамки механики.
Дело в том, что в правой части этого равенства стоит величина, имеющая размерность энергии. Однако может оказаться, что выяснить физический смысл этой величины, оставаясь в рамках механики, невозможно, потому что она совсем другой, немеханической природы. Например, если сила является силой трения, то интеграл в правой части (27.14) выражает в определенных единицах степень нагревания Нриволинейный интеграл, по определению, не отличается от интеграла одной переменной, надо лишь разбить на участии путь интегрирования, вычислить для наждого участна величину подынтегрального еыратения, а затем сумму атил величин для всех участнов нривой и найти предел атой суммы при стремлении величины натдого участна и нулю, а и» числа н беснонечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
