А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 160 <г) $ (Р, ск)), (1) (27.15) зависит только от положений точек 1 и 2, но не зависит от вида пути, соединяющего эти точки. Можно дать другое математическое выражение этому определению. Соединим точки 1 и 2 двумя различными кривыми Ь, и Ь (рис. 50). Согласно определению потенциального поля можно написать: (27.16) Пути интегрирования в 27.16) между точками 1 и 2 различны. Если по пути 1. идти не от точки 1 к точке 2, а в обрат- среды, о которую трется тело. Потребовалось немало труда, чтобы выяснить, что представляет собой форма энергии, называемая теплотой. Понимание смысла величины, стоящей в правой части (27.14), привело к созданию нового раздела физики, называемого термодинамикой.
Однако во многих случаях свойства сил таковы, что правая часть (27.14) имеет ясный смысл в пределах механики. Именно эти случаи представляют интерес для механики и будут здесь разобраны. Потенциальные силы. Силы по их свойствам можно разбить на два класса. Для сил одного класса работа при перемещении между двумя точками не зависит от пути, по которому это перемещение проиаошло, для сил другого класса — зависит. Приведем в качестве примера силу сухого трения, направленную против скорости, но в известных пределах не зависящую от нее. Ясно, что работа силы пропорциональна длине траектории и поэтому зависит от траектории, по которой произошло перемещение из одной точки в другую. Хорошо известен и другой пример: работа, совершаемая прн перемещении некоторого груза в поле тяготения Земли из одной точки в другую, зависит только от разности высот точек, но не зависит от конкретного вида траектории, ее длины и т. д.
Силы, работа которых зависит лишь от начальной и конечной точек траектории,но не зависит от ее вида, называются потенциальными. К этим силам относятся силы тяготения. Вместо выражения «потенциальные силы» чаще говорят «потенциальные поля».
Полем сил называется область пространства, в точках которого действуют рассматриваемые силы. В выражении «поле сил» слово «сила» часто опускается. Математический критерий потенциальности поля. Потенциальным называется поле, работа в котором, т. е. интеграл (27.17) с ( л ) ( Р ы г ) ф(р, а)=о. (27.19) 27. Закон сохранения энергии ном направлении, то знак интеграла изме- нится на противоположный: (г) (1) ~ (Р, Ы1)= — ~ (Р, Ы1).
(1) ь(г) ~я Заметим, что направление движения по пути интегрирования не имеет никакого отношения к направлению движения материальных точек. Вычисление интеграла является чисто математической операцией. Например, в правой части формулы (27.14) направление движения при интегрировании совпадает с действительным движением точки.
Однако нам ничто не мешает поставить перед интегралом знак минус и вычислить его, двигаясь вдоль пути в противоположном направлении. С учетом (27.17) равенство (27.16) принимает следующий вид: (2) (1) ~ (Г, 11)+ ~ (Г, а)=О.
(27.18) (1) (2) 1т т ° В левой части стоит сумма двух интегралов: в первом перемещение происходит от точки 1 до точки 2 по пути Ь„во втором — возвращение в исходную точку по пути Ьз. В итоге получен интеграл по замкнутому контуру и равенство (27.18) гласит: Кружок у знака интеграла означает, что берется интеграл по замкнутому контуру. По какому конкретно контуру, не обозначено, потому что известно без этого. При необходимости различить контуры под знаком интеграла могут быть поставлены соответствующие значки.
В исходном определении потенциального поля говорилось а Меявниит и теория етиееитеяьиеети К доказательству потенциальности поля нотенциальность полн определяется иэ условия равенства нулю интеграла по любому замкнутому контуру. Эта формулировна наглядна, но нв очень эффективна. Она напоминает следующую ситуацию: чтобы установить, проживает ли человек в данном городе, надо проверить, что он не проживает ни в каком другом городе.
Болев эффентивным являвтсп дифференциальное определение потенциальности поля, которое будет изучено в нурсе электричества. 562 54. до/ Г = — —. л лс ду ' (27.20) Вычисление работы силы в потенциальном поле Кемлененсы величин тиееенн инесе Ллл асей л и у В слунае одного иемерекия любая сила, вависящая только от «оординат, является потенциальной. Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ о произвольных путях, соединяющих произвольные точки.
Поэтому в качестве замкнутого контура в (27.19) может быть выбран любой. Утверждение, содержащееся в равенстве (27.19), может быть в)арал(ено словами в форме определения: 1) потенциальным называется поле, в котором работа сил поля по любому замкнутому контуру равна нулю; н в форме критерия: 2) чтобы поле было потенциальным, необходимо ндостаточно, чтобы работа сил поля по любому замкнутому контуру была равна нулю. Работа в потенциальном поле. Теперь воспользуемся одной математической теоремой, которую приведем без доказательства: если Е„ Р„,г", являются компонентами потенциальной силы, то существует такая функция (/ (х, р, з), с помощью которой эти компоненты выражаются следующими формулами: Производные д(//дх и другие называются частными.
Их вычисляют точно так же, как обычные производные в случае функций одного аргумента, считая, что при этом все остальные аргументы функций являются постоянными величинами и не имеют никакого отношения к дифференцированию по рассматриваемому аргументу.
Например, при вычислении дУ/дх мы дифференцируем функцию У по х, считая, что р и з постоянны. Теперь с помощью функции У моя(но вычислить работу силы в правой части равенства (27.14). Прежде всего запишем элементарную работу с учетом, что коьшонентами перемещения (Л по осям 27. Закон сохранения энергии 463 координат являются дх, о)у, а)г (рис. 51), в виде (Р, Д) /кд/ +Руйу+Р1й,=р„дх+Руг1у+гАг.
Выражая компоненты силы по формулам (27.20), имеем (27.21) дУ дУ дУ (Г, И)) = — — г(х — — Ну — — сЬ. дх ду дх (27.22) Из теории функций одной переменной известно, что величина д/ = = — дх называется дифференциалом функции и выражает приращед/ дх ние функции при изменении аргумента х на дх. Поэтому аналогично величину (дс//дх) дх считаем приращением У при изменении аргумента х на дх, если другие аргументы постоянны. При смещении на величину й полное приращение У складывается из приращений (дУ/дх) с)х, (дУ/ду) с(у, (дУ/дг) сЬ, обусловленных соответствующими смещениями по осям х, у, г: НУ = — Нх+ — Ну+ — гЬ, дУ д// дУ дх ду дг (27.23) (27.24) (Р, й) = — оУ.
Интегрируя, получаем работу при перемещении из точки 1 в точку 2: (2) д ~ (Г, Н!) = — ~ ИУ= — (Ух — У1), (1) и) (27.25) где У, и Уг — значения функции с/ в точках 1 и 2. Формула (27.25) непосредственно показывает, что работа в рассматриваемом случае зависит только от начальной и конечной точек траектории и не зависит от ее вида. С учетом (27.25) вместо (27.$4) имеем (27.26) Таким образом, между точками 1 и 2 кинетическая энергия изме- нилась на такое же значение, на какое с обратным знаком измени- лась величина У при перемещении между теми же точками. Равен- ство (27.26) удобно переписать в виде (27.271 и называется полным дифференциалом.
Поэтому выражение (27.22) для элементарной работы имеет вид Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 144 Отсюда следует, что сумма кинетической энергии и величины У при движении остается постоянной (в качестве точек 1 и 2 в (27.27) можно ваять любые две точки на траектории). Поэтому можно написать — + У = ыпз1. 2 (27.28) Величина У называется потенциальной энергией материальной точки, а равенство (27.28) — законом сохранения энергии.
Следует подчеркнуть, что это равенство выражает не только закон сохранения энергии, но и закон ее превращения, поскольку описывает взаимопревращения кинетической и потенциальной энергий. Нормировка потенциальной энергии. Пока потенциальная энергия определена как функция, частные производные от которой по координатам, взятые со знаком минус, должны быть равны соответствующим компонентам силы, как это записано в (27.20). Если вместо потенциальной энергии У взять другую У' = У + А, т. е. измененную во всем пространстве на постоянную величину А, то от этого силы не изменятся. Например, дУ' д (У+А) дУ д (27.29) Я' ду ду х' где учтено, что производная от постоянной величины равна нулю, т.
е. (дА!дх) = О. Таким образом, потенциальная энергия определена лишь с точностью до аддитивной постоянной. Если взять некоторую точку пространства, то можно сказать, что потенциальная энергия в ней равна любому наперед заданному значению. Отсюда ясно, что физический смысл имеет не само значение потенциальной энергии, а лишь разность потенциальных энергий между двумя точками.
Пользуясь имеющимся произволом в выборе потенциальной энергии, можно положить ее равной любому наперед заданному значению в некоторой точке пространства. Тогда во всех остальных точках ее значение будет фиксировано однозначно. Эта процедура придания потенциальной энергии однозначности называется нормировкой. Рассмотрим, например, силу тяготения вблизи поверхности Земли. Направим ось х вертикально и поместим ее начало на поверхности Земли.
Тогда компоненты силы, действующей на материальное тело массы т, равны: Г, = — тя, г'„= г'„= О. Следовательно, в соответствии с (27.20) потенциальная энергия дается выражением У (х) = = гхях + А, где А — постоянная. Если условимся считать, что на поверхности Земли (х = 0) У = О, то постоянная А = 0 и тогда У (х) = туг. Говорят, что это есть выражение для потенциальной энергии при нормировке ее значения на нуль на поверхности Земли. Можно условиться, что на поверхности Земли потенциальная энергия равна А0.
Тогда А = А0, У (х) = тдх + Аз. тб5 Млт г Р— 6 —— гт (27.30) 27. Закон сохранения энергии В атом случае говорят, что потенциальная энергия нормирована на значение Аз на поверхности Земли. Энергия взаимодействия. Наличие потенциальной энергии у тела обусловлено взаимодействием этого тела с другими телами, в данном случае с Землей. Если нет взаимодействия, то нет потенциальной энергии. Будем удалять тело от поверхности Земли.
Силу тяготения можно считать постоянной лишь приближенно в пределах небольших изменений расстояния тела от поверхности Земли. При удалении на большие расстояния необходимо принять во внимание уменьшение силы тяготения обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Расположим начало координат (точка О) в центре Земли. Сила тяготения направлена вдоль радиуса г. Составляющие силы, перпендикулярные радиусу, равны нулю, а абсолютное значение силы зависит только от расстояния до центра Земли. Нетрудно убедиться, что такая сила является потенциальной. Для этого вычислим элементарную работу при перемещении на Ы1 (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
