А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Момент внутренних сил, приложенных к точкам 1 и у, равен нулю согласно третьему закону Ньютона Глава 5. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В силу третьего закона Ньютона выражение в правой части (23.3) значительно упрощается, поскольку моменты всех внутренних сил взаимно уничтожаются. Чтобы зто доказать, учтем, что сила Р;, действующая на з-ю точку системы, слагается иа внешней силы Г;вн и суммы внутренних сил взаимодействия, т. е. сил, приложенных к данной точке со стороны всех других точек системы. Обозначив внутреннюю силу, действующую на точку со стороны точки ], как Е,;, представим полную силу Р; в виде Знак у'+ ~ у суммы показывает, что надо суммировать по всем значениям /, за исключением значения у = $, поскольку действие точки самой на себя отсутствует. Можно, конечно, было бы и не писать этого значка, заметив, что Ея = О.
Подставив (23.4) в (23.3), запишем момент сил в виде двух слагаемых: М=,'5'„~г;, Р;,„1+,").;~г;, Е,Д. (23.5) Вторая сумма является двойной суммой по обоим индексам, т. е. прп каждом значении одного из индексов второй пробегает всевозможные значения. Следует поупражняться в расписании таких сумм. Покажем, что вторая сумма в (23,5) равна нулю. Учтем, что по третьему закону Ньютона, Ец + Е,; = О, поскольку сила действия з-й точки йа г'-ю равна силе действия у-й точки на Е-ю и противоположно направлена.
Рассмотрим момент действующих на точки г и у сил взаимодействия (рис. 44). Вектор г;;, соединяющий эти точки, направлен от $ к у. Момент сил Е„. и Е,; относительно точки О равен М' =~г„Е,,]+~г;, Е;;1. 145 23. Уравнение движения системы материальных точек Учтя, что 1„. = — 1;;, г; — г, = г,;, находим М'=[г;, Я вЂ” [г,, 1,Д=[г; — г,, 1,;1=[гд, Я=О, поскольку векторы г,; и 1я параллельны и их векторное произведение равно нулю.
Таким образом, моменты всех внутренних сил взаимодействия во второй сумме в правой части (23.5) взаимно сократятся и вся сумма оказывается равной нулю. Остается только первый член, который равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отдельным точкам системы. Поэтому, говоря о моменте сил, действующем на систему материальных точек, можно иметь в виду определение (23.3), понимая под силами Г; только внешние силы. Уравнение движения системы материальных точек, Продифференцируем (23.1) по времени и учтем, что уравнение движения 1-й точки на основании (21.11) имеет вид (Ир;/й) = Г;: (23.6) где (23.6а) Величина Г, равная сумме сил, действующих на точки системы, называется силой, приложенной к системе точек, или внешней силой, так как в сумме (23.6а) все внутренние силы взаимно сокращаются. Уравнение (23.6) по внешнему виду полностью совпадает с уравнением (21.11) для материальной точки, но по содержанию отлично от него, поскольку физические носители импульса р распределены по всему пространству, занимаемому системой точек; точки приложения внешних сил, составляющих Г, распределены аналогичным образом.
Лишь в нерелятивистском случае можно дать такое истолкование уравнениям (23.6), которое близко к смыслу уравнения (21.11). Центр масс. В нерелятивистском случае, т. е. при движении с малыми скоростями, можно ввести понятие центра масс. Прежде всего рассмотрим выражения для импульса системы точек в нерелятивистском сиучае: Ыг; Н~ 4/1 ч1 (23.7) где под и = ~;т,.
понимается масса системы как сумма масс покоя составляющих ее точек. Радиус-вектор (23.8) Глава 5. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ $46 определяет воображаемую точку, которая называется центром масс системы. Величина (дК/й) = У есть скорость движения этой вообра- жаемой точки.
Импульс системы (23.7) с учетом (23.8) записывается в виде Нй р=т — = тЧ, с (23.9) т. е. представляется как произведение массы системы на скорость ее центра масс, что совершенно аналогично импульсу материальной точки. За движением центра масс можно следить так же, как за движением материальной точки. С учетом выражений (23.8) и (23.9) уравнение двинсения (23.6) системы приобретает следующий вид: «У т — =Г, ся (23.10) т.
е. оно эквивалентно уравнению движения материальной точки, вся масса которой сосредоточена в центре масс, а все внешние силы, действующие на точки системы, приложены к ее центру масс. Точка центра масс (23.8) занимает вполне определенное положение относительно материальных точек системы.
Если системз не является твердым телом, то взаимное положение ее точек с течением времени меняется. Вследствие этого меняется и положение центра масс относительно точек системы, но в каждый данный момент он имеет вполне определенное положение. Выражение «определенное положение» означает, что если в этот момент «взглянуть» на систему точек из другой системы координат, то положение центра масс относительно точек системы останется неизменным. Это мо»кно доказать следующим образом.
Из определения радиуса-вектора центра масс (23.8) видно, что если точку О, относительно которой отсчитывается радиус-вектор К, поместить в точку центра масс, то очевидно, что К = О. Поэтому если радиусы-векторы г; отдельных точек системы отсчитывать относительно центра масс, то из (23.8) находим ,'ь~~ тсягс = О. (23.1») Напомним, что в формуле (23.8) начало радиусов-векторов г; находится в произвольной точке, относительно которой положение центра масс системы дается радиусом-вектором К.
Теперь представим себе, что надо найти центр масс по формуле (23.8), пользуясь другой точкой отсчета радиусов-векторов, т. е. другой системой координат. Спрашивается, получим ли мы в качестве центра масс ту же точку нли другую? Найдем положение центра масс, исходя из начала отсчета в точке О', положение которой характеризуется относительно О радиусом-вектором р (рис. 45). Вели- 23.
Уравнение движения системы материальных точек 147 В = — ~ гпе,г;. ги,еы (23.12) Инварнантность центра масс системы материальных точек в нерелятнвистском слу- чае чины, относящиеся к точке отсчета О', будем обозначать буквами со штрихами. Чтобы определить положение центра масс относительно точки О', формулу (23.8) перепишем в виде Учтя, что г,' = г; — р, и подставив это выражение в (23.12), находим К = — р те,г< — — р ~те| —— =К вЂ” р, (23.13) где т = ~;тем Формула (23.13) показывает, что радиус-вектор Й', проведенный из 0', действительно заканчивается в тои же точке, что и радиус-вектор Н, имеющий начало в точке О.
Тем самым доказано, что положение точки центра масс не зависит от того, в какой системе координат оно определяется. Неприменимость понятия центра масс в релятивистском случае. В этом случае дело обстоит по-другому. Преобразования в выражении для импульса, которые проведены в (23.7), выполнить нельзя, потому что в этом случае вместо постоянных масс покоя те стоят релятивистские массы, зависящие от времени, так как скорости зависят от времени. Можно было бы попытаться определить центр масс формулой (23.8), подставив в нее вместо масс покоя те! релятивистские массы, а под т понимая их сумму. При этом, конечно, получился бы радиус-вектор, оканчивающийся в некоторой точке. Ее можно попытаться назвать центром масс.
Однако эта точка не имеет смысла. Если бы мы попытались для данного момента времени найти положение центра масс в другой системе координат, то получили бы точку, которая относительно точек системы занимает другое положение. Следовательно, в релятивистском случае понятие центра масс не является инварнантным понятием, Кам определяются импульс системы материальных точек м сила, действующая на нее! Кам доказывается независимость момента силы, действующего на систему материальных точек, от внутренних сил, удовлетворяющих третьему закону Ньютона! Почему в релятивистском случае не имеет смысла понятие центра масс и какой смысл имеет понятие системы центра масс! Каково должно быть состояние движения точмм.
относительно которой написано уравнение моментов, чтобы оно выполнялось! Можете лм Вы доказать, что уравнение моментов справедливо относительно центра масс, хотя движение последнего может быть весьма сложным! Глава 6 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 24. Значение и содержание законов сохранения 25. Закон сохранения импульса 26. Закон сохранения момента импульса 27. Закон сохранения энергии 28. Законы сохранения и симметрии пространства и времени 3.. акопы сохранения справедливы для изолированных систем и в механике математически сводятся к первым интегралам уравнений движения.
Законы сохранения для изолированных систем в целом обусловлены фундаментальными свойствами пространства и времепи— однородностью и изотропностью пространства и однородностью времени. 24. Значение и содержание законов сохранения Содержание законов сохранения. Сформулированные в предыдущей главе законы движения позволяют в принципе ответить на все вопросы о движении материальных частиц и тел. При достаточном искусстве и терпении можно вычислить положение частиц в любой момент времени, что означает полное решение задачи. С появлением электронных вычислительных машин увеличились возможности решения этих уравнений.
Многие задачи, связанные, например, с движением искусственных спутников Земли и межпланетными полетами ракет, можно было бы уже давно формулировать корректно в виде уравнений, но решить зти уравнения, чтобы получить из них нужную информацию, было невозможно до появления ЭВМ. Однако и сейчас есть задачи, которые можно сформулировать в виде уравнений, но решить их даже с помощью ЭВМ нельзя. Позтому до настоящего времени остается важным исследование общих 150 Глава 6.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ свойств решения уравнений без получения конкретного вида решения. Например, пусть нас интересует движение тела, но мы не в состоянии решить уравнение этого движения и поэтому не знаем не только, где это тело будет в тот или иной момент времени, но и будет ли оно при своем движении находиться вблизи поверхности Земли или покинет Землю, отправившись в межпланетное путешествие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
