А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Если при этих условиях нам удастся, не имея решений уравнений, установить, что тело будет двигаться вблизи Земли, и предсказать, что ни при каких условиях оно не удалится от поверхности Земли дальше, например, чем на 10 км, то это будет существенным успехом. А если еще удастся установить, что на высоте 10 км скорость тела будет равна нулю, и указать, какое направление должна иметь заданная скорость тела на Земле, чтобы оно достигло высоты 10 км, то в сущности для определенных целей нам известно все об этом движении и вообще нет необходимости решать уравнения.
Законы сохранения позволяют рассмотреть общие свойства движения без решения уравнений и детальной информации о развитии процессов во времени. Исследование общих свойств движения проводится в рамках решений уравнений движения и не может содержать в себе больше информации, чем имеется в уравнениях движения. Поэтому в законах сохранения имеется не больше информации, чем в уравнениях движения.
Однако в них нужная информация содержится в столь скрытом виде, что непосредственно увидеть ее является нелегкой задачей. С помощью законов сохранения эта неочевидная информация представляется в легкообозримом виде, удобном для использования. Ее важная особенность заключается в общем характере: она применима к любому конкретному движению независимо от его детальных особенностей.
Общий характер законов сохранения позволяет их применять не ~олько тогда, когда известно уравнение движения, но неизвестно их решение, но и тогда, когда неизвестно уравнение движения, т. е. в рассматриваемом случае механических движений, когда неизвестны силы. Для применения законов сохранения часто достаточно лишь знать определенные свойства симметрии действия сил и нет необходимости детально знать законы действия этих сил. Благодаря этому часто удается выяснить весьма важные особенности движения без знания закона действия сил. Уравнения движения и законы сохранения. Уравнения движения являются уравнениями изменения физических величин во времени и пространстве.
Перед нашим мысленным взором проходит бесконечная последовательность физических ситуаций. В сущности, нас не интересует какая-то одна ситуация в конкретный момент времени, которая не содержит в себе движения, а интересует именно последовательность ситуаций, через посредство которой осуществляется движение. При рассмотрении последовательности ситуаций нас интересует не только то, чем они различаются, но и то, что в них общее и что 25. Закон сохранения импульса 151 в них сохраняется.
Законы сохранения и отвечают на вопрос о том, что в последовательности физических ситуаций, описываемой уравнениями движения, остается неизменным, постоянным. Ясно, что физическая теория должна сформулировать это постоянство в виде постоянств численных значений соответствующих физических величин, или, как говорят, в виде законов сохранения.
Математическая сущность механических законов сохранения. Рассмотрим пример одномерного уравнения Ньютона, которое запишем в виде двух уравнений: «~" х с~х а) т,— *=г", б) — =и„. 0 ~~ — кз л к. (24.1) Задача считается полностью решенной, если известно положение движущейся материальной точки в любой момент времени. Поэтому для решения надо сначала проинтегрировать уравнение (24.1а) и получить и„а затем, рассматривая э„как известную величину, интегрированием уравнения (24.1б) получить х (г). Для очень широкого класса сил первое интегрирование удается произвести в общем виде и представить результат как постоянство численного значения определенной комбинации физических величин.
Это и есть закон сохранения. Таким образом, в механике законы сохранения в математическом смысле сводятся к первым интегралам уравнений движения. Однако значение сохраняющихся величин выходит за рамки механики; они играют важнейшую роль и за пределами механики. Сохраняющиеся физические величины являются фундаментальными, а их законы сохранения — фундаментальными законами физики, а не просто результатом математического упражнения с уравнениями механического движения.
25. Закон сохранения импульса Изолированная система. Система материальных точек нлн материальная точка называется изолированной, если отсутствуют внешние силы. Во Вселенной не может быть изолированных в абсолютном смысле систем, поскольку все тела взаимно связаны, например, силами тяготения. Однако при определенных условиях можно тела считать в достаточной степени изолированными.
Например, материальное тело в некоторой области космического пространства, достаточно далеко удаленной от массивных небесных тел, ведет себя как изолированная система. В других случаях движение системы в определенных направлениях можно рассматривать как движение изолированной системы, хотя в целом система заведомо не является изолированной. Закон сохранения импульса для изолированной системы.
В изолированной системе внешние силы отсутствуют. Поэтому в уравне- Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 152 нии движения (21.11) сила г = О, и оно принимает вид (25.1) Интегрируя это уравнение, получаем р = сопз1, (25.2) (25.2а) р„= сопз$, р„= сопзФ, р, = сопз$. (25.3) Интегрируя первые два уравнения, получаем: р =сопз$, ра — — сопз$.
(25.4) Это означает, что импульс системы в направлениях, параллельных плоскости (х, у), сохраняет свое значение и относительно них система ведет себя как изолированная. Например, вблизи поверхности Это равенство выражает закон сохранения импульса: импульс изолированной системы не изменяется при любых процессах, происходящих внутри системы.
Для материальной точки закон сохранения импульса означает, что в отсутствие внешних снл она движется с постоянной скоростью по прямой линии. Для системы материальных точек в нерелятивистском случае закон утверждает, что центр масс системы движется равномерно и прямолинейно.
Закон сохранения импульса (25.2) справедлив как в релятивистском, так н нерелятивистском случае. Однако в релятивистском случае его нельзя интерпретировать как равномерное н прямолинейное движение центра масс, потому что в этом случае не существует центра масс, как это было разобрано в $23. Однако существует система центра масс, в которой закон сохранения импульса сводится к равенству р = О и означает, что эта система при любых процессах внутри нее остается системой центра масс. Законы сохранения для отдельных компонент импульса.
Может случиться, что система материальных точек или отдельная материальная точка не изолирована, но внешние силы действуют лишь в определенных направлениях, а в других — отсутствуют. Тогда соответствующим выбором системы координат можно добиться того, что одна или две компоненты внешних сил обращаются в нуль. Пусть, например, нет сил в направлениях, параллельных плоскости (х, у), т.
е. Р„= О, Р„= О, Р, =,й О. Тогда уравнение движения (21.11), написанное в компонентах величин по осям координат, имеет следующий вид: 25. Закон сохранения импульса 153 Земли силы тяготения вертикальны, горизонтальные составляющие отсутствуют. Поэтому систему материальных тел относительно горизонтальных двиятений можно рассматривать как изолированную, если речь идет о силах тяготения. Применение закона сохранения импульса. Примеры применения закона сохранения для решения конкретных задач будут даны в последующих главах.
Здесь же рассмотрим пример с так называемым баллистическим маятником, представляющим собой небольшой свинцовый шар массы гп.„подвешенный на длинной нити (рис. 46). Размеры шара таковы, что пуля массы гггэ, движущаяся со скоростью и и попадающая в шар в направлении его центра, застревает в нем, а шар отклоняется. Какова будет скорость и шара с застрявшей в нем пулейг Если попытаться проанализировать картину проникновения пули в свинцовый шар, выяснить зависимость от времени возникающих при атом сил и затем решить уравнения движения, то будет затрачено много усилий и все же не будет уверенности в результате, потому что для его получения придется принять многие допущения, строгое докааательство которых оказывается затруднительным. Если же воспользоваться законом сохранения импульса, то задача решается достаточно просто и совсем не надо знать деталей проникновения пули в шар.
В горизонтальном направлении силы отсутствуют и система шар — пуля является изолированной. Закон сохранения импульса записывается в виде равенства суммарного импульса шара и пули до столкновения и импульса шара с застрявшей в нем пулей после столкновения, т. е. тзи = = (т, + тз) и. Обычно с помощью баллистического маятника измеряется скорость пули и, потому что скорость шара с застрявшей в нем пулей, массы шара и пули можно легко измерить. вэзй Определение скорости пули при помощи баллистического маятника В каком случае закон со~ранения импульса можно применить к неизолированной системе! На систему бильярдных шаров, движущихся по горизонтальному столу, действует сила трения и поэтому эта смстема в отношеним горизонтальных движений не является изолированной. Можно ли применять закон сохранения импульса и столкновению варов! Почему! Можно ли систему взаимодействующих электрических зарядов, вообще говоря, рассматривать как изолированную! Какие факторы следует при этом учесть! м.
Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 154 26. Закон сохранения момента импульса Формулировка закона. Этот закон, так же как и закон сохранения импульса, справедлив лишь для изолированных систем. Для них момент внешних сил М равен нулю и уравнение моментов (22.4) принимает внд ~ЛЧ вЂ”,=О. Иг (26.1) Интегрируя это уравнение, получаем (26.2) (26.2а) Это равенство выражает закон сохранения момента импульса: момент импульса изолированной системы не изменяется при любых процессах, происходящих внутри системы. Закон сохранения для отдельных компонент. Может случиться, что система не является полностью изолированной, но в некотором направлении, например вдоль оси з, компонента момента сил равна нулю. Тогда уравнение моментов (23.5) запишется в компонентах следующим образом: —" = М„, — "- = ̄— * = О.
с'Ж„ИЛ' НЛ', х1,;и ю,ую (26.3) Следовательно, систему можно считать изолированной лишь в отно- шении г-й компоненты момента импульса: Ф, = сопзС. (26.4) Поэтому закон сохранения момента импульса, так же как и импульса, можно применять не только к полностью изолированным системам, но и к частично изолированным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
