А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Это законы Ньютона. Теперь переходом в другую систему с помощью преобразований Лоренца можно установить вид закона движения в системе координат, в которой частица движется с любой скоростью. В данном случае этот переход позволяет записать отношения Р,/ш, и Р„/ш„для произвольных скоростей тел. Проделаем это вычисление. Система координат, в которой проводится опыт, изображенный на рис.
37, является штрихованной системой, где ось х' направлена по движению тележки. Нештрихованной системой, из которой мы хотим рассмотреть этот опыт, будет система координат, движущаяся относительно штрихованной влево со скоростью и, а штрихованная система в нештрихованной движется вправо со скоростью и.
В штрихованной системе опыт с тележкой дал следующий результат: (21.4а) А как преобразуется сила в непттрихованной системе? Ясно, что она остается без изменения, потому что ее значение определяется той цифрой, на которую показывает стрелка динамометра, а эта цифра, конечно, не изменяется. Поэтому закон преобразования силы есть Р = Р'.
Преобразование ускорения дается формулой (18.19). Подставляя из нее выражение ш„'в формулу (21.4а), находим ~с '"о вт 11 — ит/ст) ?а что совпадает со второй формулой (21.4), поскольку направление оси х в данном случае является тангенциальным. Совершенно аналогично, рассмотрев опыт, изображенный на рис. 37, в системе координат, движущейся со скоростью и перпендикулярно направлению движения тележки, мы получим первую формулу (21.4). Релятивистское уравнение движения.
Пусть частица движется вдоль некоторой траектории. Обозначим, как в $ 8 (см. рис. 15), тангенциальный к траектории единичный вектор через т, а нормальный — через п. Полную силу Г, действующую на частицу, можно 140 г=д(еч.(,, Вц. Что такое релятнвист. сная масса тела и как записывается релятивистское уравнение двнткения! Какими факторами обусловливается несовпадение направления силы н вызываемого ею ускорения! Откуда видно, что масса покоя является инвариантом$ В релятивистском случае ускорение и сила, вообще говоря, не совпадают по направлению ввиду различия инертности частицы вдоль скорости и перпендикулярно ей В реннтивистсном случае направления усноренин и сины не совладают, Глава 5.
ДИ4АМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ разложить на тангенциальную и нормальную компоненты (рнс. 42): с =кт+ кл. (21.5) Каждая из компонент силы создает в соответствующем направлении ускорение, которое определяется инертностью тела в этом направлении. Поскольку нормальное ускорение равно из/Я [см.
(8.21), где Я вЂ” радиус кривизны траектории, и — скорость частицы), а тангенциальное ускорение есть ттиlс/г, формулы (21.4) для нормальных и тангенциальных компонент силы могут быть записаны следующим образом: т то зг Рт1 и У ч- ту)' ь ' гт- *7лв (21.6) Сложив почленно выражения (21.6) и учитывая (21.5), получим уравнение движения частицы под действием полной силы Г: та ао тв т з г + и — —— Г. (21.7) и ~мЛ'ь ' тг — ' ч. в Левую часть этого уравнения можно упростить. Принимая во внимание, что (Нт/атг) = = (ат/с(в) (г/е/стг) = и( г/т/Йв) и представив формулу (8.20) в виде дт й В' — — ив (21.8) 21. Релятивистское уравнение движения 141 величину ппо/Я в (21.7) заменим на Ыт/о/1, и это уравнение примет вид (21.9) (1 — ио/с»)~/В сй $' 1 — и«/с» сй Прямым дифференцированием проверяем следующее равенство.
Н/ и ~ 1 с)и сй У 1 — ио/с»! (1 — и«/со) /2 й Согласно этому, левую часть уравнения (21.9) преобразуем к виду то о/и то о(т о/ ~о тои ') тои ~И т + й — = т— (1 — ио/с»)з/' й р 1 — ио/со ой сй ~)' 1 — и%»! р 1 — ио/с» ~й 4 ( тост ) о / т«1' — ' Ь т= —:,31 . М=-~7;) где учтено, что нт = ч есть вектор скорости частицы. Таким обрааом, получаем релятивистское уравнение движения частицы: а' /' тот сй ),Р 1 — и»/с»/ (21.10) которое является обобщением уравнения движения Ньютона (20.1). Более удобно представить его в виде, аналогичном (20.3): — р=г', р=»тгч, и«= г' 1 — иа/со (21.11) Величина т называется релятивистской массой или просто массой; то — масса покоя, р называется релятивистским импульсом или дросто импульсом.
Обычно нет необходио»ости специально оговаривать, что импульс является «релятивистским», масса — «релятивистской» и т. д, потому что когда скорости очень большие, релятивистские, то можно нспольаовать только релятивистские выражения импульса и массы, а когда скорости малы, то этн выражения автоматически превращаются в иерелятнвистские. Несовпадение направлений силы и ускорения в релятивистском случае.
Поскольку инертность тела различна в направлении движения и перпендикулярном направлении, вектор полной силы неколлинеарен вектору полного ускорения, т. е. вектору иаменения скорости, вызываемого этой силой, как это показано на рис. 42. Как видно иа уравнения (21.11), с вектором силы совпадает по направлению вектор изменения импульса. Вот почему в нерелятивистском случае различие между уравнениями Ньютона (20.1) и (20.3) чисто формальное и сводится к изменению обозначений, но для обобщения на релятивистский случай они не равноценны. Уравнение Ньютона в форме (20.3) непосредственно обобщается на релятивистский случай (21.11) простой подстановкой массы, зависящей от скорости. 142 (22,1) (22,2) (22.3) !р 4т т р = ту'т пуо 'тУ 1 — рд/сэ с!К вЂ” =М 4т (22.4) К определению понятий мо- мента импульса и момента сил Вектор момента импульса перпендикулврен плоскости, ° которой лежат радиус-вектор и импульс точки, а вентор момента силы перпендикуллрен плоскости, ° «оторой расположены радиус-вектор и сил*.
точка Π— начало отсчета радиусов-вектороа Момент импульса н момент силы определяются относительно точки. Произвольно ли состояние движения этой точки! Чем отличаются выражения дпя моментов импульса и силы в керепятивистском и релятивистском случаях! При каких условиях справедливо уравнение моментов! Нак зависят моменты силы и импульса от положения точки, относительно которой они вычисляются! Глава 5.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 22. Уравнение моментов Момент импульса. Пусть положение некоторой материальной точки относительно точки О, принятой за начало, характеризуется радиусом-вектором г. Моментом импульса материальной точки относительно О называется вектор (рис. 43) Это определение справедливо как для нерелятивистского, так и для релятивистского импульса.
В обоих случаях импульс р по направлению совпадает со скоростью материальной точки. Момент силы. Моментом силы, действующей на материальную точку, относительно точки О (рис. 43) называется вектор Под г' здесь, как и в других случаях, понимается равнодействующая всех сил, действующих на материальную точку. Уравнение моментов. Продифференцируем момент импульса (22.1) по времени: Учтем, что (пг/и!) = т является скороростью, по направлению совпадающей с импульсом р.
Векторное произведение двух параллельных векторов равно нулю. По- атому первый член в правой части (22.3) равен нулю, а второй член выражает момент сил (22.2), поскольку в соответствии с (21.11) (Ыр/й) = Г. В результате уравнение (22.3) превращается в уравнение моментов которое играет важную роль при рассмотрении движений материальных точек и тел, 33, Уравнение движения системы материельныв точек 143 23.
Уравнение движения системы материальных точек Система материальных точек. Системой материальных точек называется совокупность конечного их числа. Следовательно, эти материальные точки можно пронумеровать. Примером такой системы может служить газ, находящийся в некотором объеме, если по условиям задачи его молекулы могут считаться материальными точками. Солнце н планеты, входящие в солнечную систему, могут рассматриваться как система материальных точек во всех вопросах, когда внутреннее строение и размеры Солнца и планет не играют роли.
С течением времени взаимное положение отдельных точек системы, вообще говоря, изменяется. На каждую из точек системы действуют силы двоякого происхождения: во-первых, силы, источники которых лежат вне системы, называемые внешними силами; во-вторых, силы со стороны других точек системы, называемые внутренними силами. Обычно принимается, что внутренние силы удовлетворяют третьему закону Ньютона. Частным случаем системы материальных точек является твердое тело. Характерная особенность этой системы заключается в постоянстве расстояний между точками, ее составляющими. Эти точки будем нумеровать индексами, например индексами 1, у и т. д., которые пробегают все значения 1, 2, 3, ..., и, где п — число точек системы. Физические величины, относящиеся к 1-й точке, обозначаются тем же индексом, что и точка.
Например, г„р,, т; и т. д. выражают соответственно радиус-вектор, импульс и скорость 1-й точки. Не следует, конечно, путать атн индексы с единичными векторами 1, ), а, направленными вдоль осей декартовой системы координат. Импульс системы. Импульсом системы называется сумма импульсов материальных точек, ее составляющих: Р = Х Р~ = Р1+ Ра+ ° + Ро (23.3) В последующем для упрощения написания формул можно не ставить у знака ~ значений индексов, по которым производится суммирование, поскольку это обычно бывает ясно.
Момент импульса системы. Моментом импульса системы относительно точки О, принятой за начало, называется сумма моментов импульса материальных точек системы относительно О: Х=~:Х,=~~г;, РД, (23.2) Момент силы, действующей на систему. Моментом силы, действующей на систему, относительно точки О называется сумма моментов снл, приложенных к точкам системы, относительно О: М=ХМ,=~~г,, Р,1. 144 х'з = Рави+ ~з ~Е".
ю -сг (23.4) Х=]г, р]. 'х =м. В релятивистском случае понятие центра масс не имеет смысла, поснольну оно не является инеариантом преобразований Лоренца. Однано понятие системы центра масс имеет весьма точный смысл и оназывается очень полезным и ватным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
