А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 42
Текст из файла (страница 42)
чисто геометрическое соотношение. Однако одно и то же изменение взаимного расположения тел приводит к совершенно различным изменениям потенциальной энергии в зависимости от того, о каких силах идет речь. Поэтому относительное расположение тел есть лишь мера потенциальной знергин, а ее физическим носителем является то состояние в пространстве, которое обусловливает наличие в нем сил. Область пространства, в которой действуют силы, называется полем сил. Следовательно, можно сказать, что носителем потенциальной знергии является поле сил и потенциальная энергия тела обусловливается знергией поля.
Картина взаимопревращения потенциальной и кинетической энергий при движении состоит в следующеьн имеется кинетическая энергия тела и энергия поля, которая не связана непосредственно с потенциальной энергией. При движении тела изменяется его кинетическая энергия и так же, но в противоположном направлении изменяется знергия поля, т. е. энергия поля переходит в энергию кинетического движения тела, при этом вопрос об абсолютном значении энергии поля остается открытым. Поскольку физически наблюдаемой величиной являются лишь изменения энергии поля, то начало ее отсчета может быть выбрано произвольно.
Сумма кинетической и потенциальной энергий частицы является в действительности энергией системы частица — поле, причем кинетическая энергия принадлежит частице, а потенциальная— полю. Прп движении частицы происходит обмен энергией между ней и полем. Таким образом, поле является важнейшим участником всякой картины взаимодействия материальных тел. Энергия поля, обусловливающего гравитационное взаимодействие, называется гравитационной энергией. Возникает вопрос о ее вычислении. Гравитационная энергия шарообразного тела.
Пусть имеется шар радиуса Л и массы ЛХ. С взаимодействием частиц шара друг с другом связана знергия гравитационного поля, называемая гравитационной. Она численно равна работе, которую необходимо затратить, чтобы все частицы шара развести на бесконечные расстояния друг от друга. Конечно, при этом необходимо принять во внимание лишь работу на преодоление сил гравитационного притяжения и не рас- (30.14) Чему равна гравитационная энергия шарового сферически симметричного тела! Что такое гранита« ционный радиус! Чему равен гравитационный радиус Земли! Солнца! Что такое кчерные дырын! Какие свидетельства в лолаэу ик существования Вы знаете! (30.15) К вычислению гравитацион- ной энергии шара твм нам лотемцмальнам энергия юарообравного слою вещества вавмсит лищь от внутренних слова, то расчет следует начинать ог анеюних слоев материального тела и валанчивать ° центре Глава 7.
ДВИЖЕНИЕ В ГЮЛЕ ТЯГОУЕНИЯ сматривать, например, электромагнитные силы, которые удерживают атомы в молекулах, молекулы в твердых и жидких телах и т. д. Для упрощения расчетов будем считать, что масса тела распределена равномерно в шаре с плотностью р = ЗЛХ/4ттВэ, Удобнее всего удалить частицы на бесконечность последовательно шаровыми слоями, начиная с поверхности.
Удаленные на бесконечность слои не могут оказывать никакого действия на удаление последующих слоев, поскольку эти последующие слои находятся внутри полости предшествующих шаровых слоев. В слое толщиной с?г на расстоянии г от центра шара содержится масса р4гтггггг (рис.
60). При удалении этого слоя на него действует лишь масса шара радиуса г, заключенная в полости, ограниченной шаровым слоем. Работа удаления равна потенциальной энергии этого шарового слоя в гравитационном поле, созданном всеми внутренними слоями: ( 4л р — ггт р4ггггс?г сас?гр = 3 г Интегрируя зто выражение по всему объему шара, т. е. от г = 0 до г = Л, получим полную гравитационную энергию шара: а !еле Г?гр = — !» — р' г441г = 3 а - — б 15 рдг.
(30.14а) или с Учетом, что Р = ЗМ(4гтЛэт Это есть энергия гравитационного поля, связанная с гравитационным притяжением составляющих шар элементов массы. Однако это не полная энергия гравитационного поля, а та часть ее, ЗО. Свойства сия тяготения 193 которая связана с гравитационным взаимодействиелл частиц шара. Она показывает, на сколько энергия гравитационного поля, когда шар существует, меньше энергии гравитационного поля в его отсутствие. Гравитационный радиус. Энергия покоя тела массы М равна Мс'.
Возникает вопрос, нельзя ли себе представить дело так, что эта энергия является энергией гравитационного поля, превратившейся в энергию массы покоя при стягивании материи, составляющей тело, из рассеянного состояния на бесконечности, когда никакого взаимодействия между частицами не было.
При стягивании материи в шар энергия гравитационного поля уменьшается на величину (30.15), а образовавшийся шар должен иметь соответствующую энергию. Чтобы вычислить радиус шара, надо гравитационную энергию приравнять энергии массы покоя (отбросив численные коэффициенты): амл/г„= Мс'. Отсюда получаем ~г, = 6М/с'.~ 130.16) Эта величина называется гравитационным радиусом. В качестве примера вычислим гравитационный радиус Земли, масса которой М = 6 10" кг: г„з,„— ' ',',, — 4. 10-' и =0>4 см. (6,7 10 "1 (6 ° 10л'/ и -з Это число означает, что для того, чтобы гравитационная энергия массы Земли была равна энергии массы покоя, необходимо было бы всю ее массу сжать в шарик диаметром примерно 1 сы. Фактически же диаметр Земли имеет порядок 10' см.
Полученный результат свидетельствует, что в общем энергетическом балансе Земли, включающем и ее энергию массы покоя, гравитационная энергия играет пренебрежимо малую роль. Аналогичная ситуация существует и для Солнца, у которого гравитационный радиус составляет примерно 1 км, а его действительный радиус почти 700 тыс. км.
Размеры Вселенной. Однако так обстоит дело пе всегда. В астрономии есть объекты, для которых гравитационная энергия примерно равна энергии пх массы покоя н поэтому в ппх повседневно гравитационная энергия играет очень существенную роль. Примером такого ооъекта может служить Вселенная в целом. Среднюю плотность распределения материи ао Вселенной можно найти из наблнлденпй, оценивая массу астрономических объектов н расстояния до пих. Точность этих оценок невелика, поскольку, во-первых, имеются большие погрешности в определении расстояний т меш>ика» по>»»> ап»ки»ль»»сти Глава?.
ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 194 и, во-вторых, очень трудно учесть массу межзвездного гааа и несветящихся объектов, которые не наблюдаются. В настоящее время считается, что средняя плотность по порядку величины лежит где-то около р 10-" кг/м~. Зто означает, что в 1 м~ заключено примерно 100 протонов, т. е. среднее расстояние между ними было бы около 30 см, если бы масса Вселенной была распределена равномерно по ее объему в виде протонов. Можно представить себе эту ситуацию следующим образом.
Иавестно, что алектрический заряд протона распределен в объеме с линейными размерами порядка 10 ". Поэтому если бы протон был горошиной диаметром 1 см, то среднее расстояние между протонами, соответствующее их среднему расстоянию во Вселенной, было бы примерно равно двадцати расстояниям от Земли до Солнца. Подсчитаем, какое значение надо ваять для радиуса В» шара во Вселенной, чтобы энергия покоя содержащейся внутри него массы была равна гравитационной энергии или, иначе говоря, чтобы радиус этого шара был равен гравитационному радиусу массы, заключенной внутри шара. Поскольку масса этого шара ЛХ р»В~, ожидаемое условие на основании (30.16) запишется в виде (30.1?) В» — Ср»В»!с'.
Отсюда следует с 3 10» м-10" м. РсСр~ Р 6 7 10 " 10»» Таким образом, искомый гравитационный радиус равен той величине, которая в настоящее время принимаетея за радиус Вселенной. Утверждение о конечности раамеров Вселенной, которое при определенных условиях следует из общей теории относительности, означает, что все физические процессы аамкнуты в конечном объеме и не выходят «наружу». В частности, лучи света не в состоянии покинуть этот объем. С другой стороны, расчеты показывают, что лучи света не в состоянии покинуть область, заключенную внутри гравитационного радиуса, независимо от его абсолютных размеров и, следовательно, ситуация в ней в этом отношении аналогична ситуации в конечной Вселенной. «Черные дыры». Наиболее важным физическим содержанием понятия гравитационного радиуса является представление о том, что область внутри сферы такого радиуса как бы теряет всякую связь с областью вне этой сферы, за исключением гравитационной связи.
Если бы, например, всю массу Земли удалось сосредоточить в шарик диаметром меньше 1 см, то внутренние области этого шарика потеряли бы связь с внешними областями, оказывая на них лишь гравитационное воздействие. Зто означает, что свет не смог бы выйти из внутренней области. Во внешнем пространстве эта область проявляется лишь громадными силами тяготения — вблизи «поверх- 195 31.
Движение планет и комет ности» такой сферы силы тяготения больше сил тяготения у поверхности Земли примерно во столько раз, во сколько квадрат радиуса Земли больше квадрата ее гравитационного радиуса, т. е. приблизительно в (гз/г,)« = 10г» раз. Пролетающие вблизи частицы и кванты излучения будут втягиваться внутрь сферы гравитационного радиуса н там исчезать. Поэтому такая область называется «черной дырой» . Имеются ли «черпые дыры» во Вселенной? Теоретические расчеты показали, что если масса звезды меньше примерно двух масс Солнца, то силы тяготения ее постепенно сжимают, однако не в состоянии сжать до такой степени, чтобы радиус звезды стал равным ее гравитационному радиусу. Звезда превращается в белого карлика, плотность материи которого весьма велика, а радиус весьма мал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
