А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В нерелятивистском случае движение можно представить состоящим из двух независимых движений: 1) вдоль осн з с постоянной скоростью, равной начальной ио, и 2) вдоль осн х под действием силы со стороны электрического поля с начальной скоростью в атом направлении, равной нулю. Таким образом, в момент ( координата частицы равна з =: ио(, а координата х может быть найдена по формулам, которые только что были получены для движения в продольном электрическом поле, поскольку движения вдоль осей х и г между собой никак не связаны. В релятивистском случае такое простое рассмотрение движения, как состоящего из двух независимых движений во взаимно перпендикулярных направлениях, невозможно. Это обусловливается несовпадением направления ускорения и силы (см.
э 21), вследствие чего сила, действующая вдоль оси х, вызывает ускорение также и вдоль оси г и движения вдоль осей х и г оказываются взаимно зависимыми. Формулы значительно усложняются. Поэтому ограничимся лишь сделанным замечанием, характеризующим при~щипиальную сторону релятивистского движения. Случай малого отклонения.
Предположим, что траектория частицы мало отличается от прямой линии, т. е. радиус кривизны траектории много больше ее длины. Пусть электрическое поле направлено вдоль оси х, а магнитное поле отсутствует (рис. 77): 235 где гв $ о о 37. Дрейф зарюкенных частиц При решении этой задачи можно воспользоваться теми же соображениями и преобразованиями переменных, которые были описаны в связи с уравнениями (35.21). Разница состоит лишь в том, что теперь вместо (35.25) получается уравнение „вЂ”,, = —,,Е(з), — =О, х(О) =О.
(36.13) Решение полностью аналогично формуле (35.26): х(зо) = еа/ти', (36.14) а ~ г1$ ~ Е(т))Нт) = ~ (го — т))Е(т)) с)т) (36.15) зависит только от конфигурации электри- ческого поля. 37. Дрейф заряженных частиц Дрейф в скрещенных электрическом и магнитном полях. В т 35 и 36 было рассмотрено движение заряженных частиц при наличии либо электрического, либо магнитного постоянного по времени поля. Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля, то движение значительно усложняется. Возьмем простейший случай, когда эти поля перпендикулярны друг другу, причем их величина такова, что радиус кривизны траектории частицы много меньше линейных размеров области движения, т. е.
магнитное поле достаточно велико. Следовательно, частица в области двиясения совершает большое количество оборотов. При этих обстоятельствах возникает явление дрейфа ааряженных частиц. Пусть имеются однородные скрещенные поля (Е 1 В), изображенные на рис.78. Общий характер движения может быть выяснен с помощью чисто качественных соображений без решения уравнений. Будем для определенности считать заряд Траектория движения заря- женной частицы в попереч- ном электрическом поле Можете ли Вы записать закон со~ранения энергии при движении заряда в стационарном электрическом полег Чем отличается в заданном поле движение зарядов различных зна« ковг Что такое электрон- вольт! Можно ли пользоваться этой единицей энергии, еспн за систему единиц принята СИ! Что такое внесистемные единнцыг Элентричесное поле потенциально и для него мотне записать закон солранения энергии.
гтосле этого для решения задачи о деияении заряяенны» частиц остается выполнить одно интегрирование. Гла в а 8. ДВИЖЕН1% В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ ДТГ б) Дрейф заряженной частицы а скрещенных электрическом и магнитном полях Дрейф заряда в постоянном магнитном поле является следствием изменения радиуса яривизны тра ентории, проислодящего из-за изменения знергии частицы, обусловленного наличием постоянного злентричесного поля. ша — „.г =сЕ+е~ч, В1 Ич (37 1) частицы положительным (е ) О). В отсутствие электрического поля в постоянном магнитном поле частица движется по окрупспости с постоянной скоростью и (рис.
78, а). При наложении электрического поля, перпендикулярного магнитному, скорость частицы становится переменной. При смещении в направлении действия электрической силы г', ее скорость возрастает, а радиус кривизны траектории частицы увеличивается (верхние полуокружности на рпс. 78, б). После изменения направления скорости па обратное частица движется против электрической силы, вследствие чего ее скорость, а следовательно, и радиус кривизны траектории уменьшаются (нижние полуокружности на рис.
78, б). Движение с малым радиусом кривизны происходит на меньшем участке траектории, в результате чего за один полный оборот частица смещается в направлении,перпендикуляри ном как электрическому, так и магнитному полю. Это движение называется дрейфом.
Дрейф в скрещенных электрических и магнитных полях не зависит от знакй заряда. Если заряд частицы отрицателегв (е ' О), то направление вращения чм. стицы в мапгитном поле меняется на обратное, т. е. на рис. 78, а частица должна была бы вращаться пе по часовой стрелке, а против нее. Направление силы со стороны электрического поля также изменится на обратное, т. е. вниз на рис. 78, б. Поэтому в нижней части траектории радиус кривизны будет больше, чем в верхней, а дрейф происходит в ту же сторону, что и при положительном знаке заряда. Дрейф можно представить себе как движение по окружности вокруг центра, который смещается со скоростью дрейфа ч„. Для ее вычисления необходимо решить уравнение движения 37. Дрейф заряжемых части~ в заданном поле.
Будем искать это реп~ение в виде у = т'+ В-э [Е, В[, где ч' — неизвестная переменная скорость, а величина 237 (37.2) (37.3) есть постоянная скорость, которая, как это сейчас будет видно, и является скоростью дрейфа. Подставив (37.2) в (37.1), получим т,— =еЕ+е[т', В[+(е/В') [В(Е, В) — ЕВ'[=е(т', В], (37.4) где использована формула разложения для двойного векторного произведения [[Е, В[ В] = В(Е, В) — Е(В, В) и учтено,что скалярное произведение векторов Е и В равно нулю в силу их ортогональности. Уравнение (37.4) для вектора т' (37.5) совпадает с уравнением (35.8б), описывающим равномерное движение по окружности.
Следовательно, вектор т' есть скорость этого движения. Радиус окружности и частота вращения даются формулами вида (35.13). Центр окруягности движется со скоростью дрейфа т, выражаемой формулой (37.3). По абсолютному значению она равна (37.6) а по направлению перпендикулярна Е и В. Формула (37.3) непосредственно показывает, что скорость дрейфа не зависит ни от знака заряда, ни от его величины, а также и от массы частицы.
Это обстоятельство весьма существенно, поскольку дрейф тяжелых частиц, например протонов, оказывается аналогичным дрейфу легких частиц, например электронов, имеющих заряды противоположного знака. Поэтому если имеется плазма, состоящая из протонов и электронов, заряды которых взаимно компенсируют друг друга, то при помещении ее в скрещенном электромагнитном поле она приобретает общее движение со скоростью дрейфа. Каких-либо сил, стремящихся разделить положительно и отрицательно заряженные компоненты плазмы, при этом не возникает. Дрейф в неоднородном магнитном поле. Рассмотрим магнитное поле, линии индукции которого параллельны друг другу, а величина поля изменяется в направлении, перпеиднкулярном полю.
Если бы поле было однородным, то заряженная частица двигалась бы по Гла ва 8. ДВИЖЕНИЕ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ 238 Чд аюеаааатааан чд ~ СГ Дрейф заряженной частицы в неоднородном магнитном поле Стрелка авера укааыаает направление, а котором уаеличиааетс» абсолютное значение магнитного попа фуад 1В1) К вычислению скорости дрейфа а неоднородном магнитном поле окружности. Однако вследствие неоднородности поля радиус кривизны траектории при движении изменяется: там, где поле больше, радиус кривизны меньше, и наоборот. Таким образом, полностью повторяется картина, которая имеет место в скрещенных полях, с тем лишь отличием, что в рассматриваемом случае радиус кривизны траектории меняется вследствие изменения не энергии частицы, а величины магнитного поля в различных точках траектории.
Дрейф частицы происходит в направлении, перпендикулярном как магнитному полю, так и тому направлению, в котором магнитное поле неоднородно. Картина дрейфа изображена на рис. 79. Как зто непосредственно видно на рисунке, частицы с различным знаком заряда дрейфуют в различных направлениях. Точное вычисление скорости дрейфа в атом случае довольно сложно, но можно произвести более простое приближенное вычисление, которое дает достаточно точный результат. Предположим, что вместо непрерывного роста магнитного поля его величина изменяется скачком вдоль линии АА, (рис.
80), причем В, ~ В,. В каждой из полуплоскостей частица движется по окружностям, но радиусы их различны (В,) ВД. На рис. 80 непосредственно видно, что за одно вращение, состоящее из двух двиясений пр, 2 (Вт — Вт) (1/2) (Тт+ Т,) (37.7) (37.8) ? — з(п 000= 2 ~ (37.9) (37.10) З7 Дрейф заряженных частиц полуокружностям разного радиуса, смещение точки, вокруг которой происходит вращение, равно 2(Л, — Л,). Если через Т, я Т, обозначить полные периоды соответствующих вращений с радиусами Л, и Л„для скорости дрейфа можно написать следующее выражение: Вырансая периоды вращения Т, и Т, и радиусы орбит Л, и Л, через величину поля по формулам (35.13), преобразуем (37.7) к виду Теперь вычислим среднее расстояние точек полуокружности траектории от диаметра, на котором происходит скачкообразное изменение поля.
Очевидно, имеем (рис. 81): И=Лз(п0, х=Лсоз0, +я 1 Ы ° дх (г") -(- я ~ ь и В 4 = — 1 (1 — соз 20) Ю= — гт. 4 Поэтому в первом приближении можно написать: л д  — В,=- (Л,+Л,) — = т т дх л твв Вт+ Вт дВ 4 е ВтВт дх ' где  — индукт(ия поля на средней линии в том случае, если бы поле менялось не скачкообразно, а плавно. Далее при том же предположении можно написать приближенно: В1+Вз--2В, ВВ, В'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
