А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(37.11) К вычислению среднего расстояния точек окружности от диаметра Ояишите механизм возникновения дрейфа заряженных частиц в скрещенных электрическом и магнитном попах. Зависит ли направление дрейфа в скрещенных полях от знака заряда! Дрейф заряда в неоднородном магнитном поле является следствием изменения радиуса «ривизны траектории, обусловленного непостоянством магнитного поля, Глава 8. ДВИЖЕНИЕ В ЭЛЕКУРОМАГНИУНЫХ ПОЛЯХ 240 Подставляя (37.11) и (37.10) в (37.8), окончательно для скорости дрейфа найдем следующую формулу: й'кээ дВ У еВе дх ' (37.12) где И|„э„ =- т эз/2 есть кинетическая энергия частицы. Дрейф перпендикулярен магнитному полю и направлению максимального изменения абсолютной величины магнитного поля.
В векторной форме равенство (37.12) можно переписать так: | ъ д —— ","" [Ъ|, 8тай ~ В )], (37 13) где Ъ, = В/ — единичный вектор вдоль магнитного поля, ига|1 ~В~— вектор, направленный в сторону максимального возрастания абсолютного значения В и равный производной от абсолютного значения ~В~ в атом направлении. Формула (37.13) выведена в первом приближении. Это означает, что изменение магнитного поля на расстояниях порядка радиуса орбит должно быть малым в сравнении с величиной самого поля. Математически это условие может быть записано следующим образом: Л |кеадп! ~1 (37 14) Еца =- тпоир/Л = еЕеф (37.15) Дрейф, обусловленный' кривизной линни магнитной индукции.
В общем случае линии индукции неоднородного магнитного поля не являются прямыми. Они представляют собой изогнутые линии, каждая точка которых имеет определенный радиус кривизны. Заряженная частица вращается вокруг центра, который как бы закреплен на линии и движется вдоль нее. Поэтому он называется ведущим центром. Траектория частицы является спиралью, навивающейся на линию магнитной индукции (рис. 82). Свяжем систему координат с ведущим центром. В этой системе координат на частицу действует центробежная сила инерции Гкз (более подробно о силах инерции будет сказано в гл. 14), эквивалентная действию электрического поля величины Е,ф — — Рце/е. Таким образом, частица движется как бы в скрещенных полях.
Этот случай только что был рассмотрен. Частица должна дрейфовать в направлении, перпендикулярном как В, так и габ, т. е. перпендикулярно плоскости (рис. 82). Скорость дрейфа легко найти. Известно, что центробежная сила определяется по формуле 241 впар|~ 2И'З ~я"-~ У (37.16) еВЛ 82. Дрейф заряженной частицы, обусловленный кривизной магнитной линии Система ноординат, связанная с центром вращенн» частицы, является неинерциальнай, и в ней воз. нииает центробежна» сила инерции Гц.е 38. Адиабатическап инвариаттность магтягтного момента где ггй — составляющая скорости частицы в направлении магнитного поля.
Подставляя Е,ф нз (37.15) в (37.6), получим выражение для скорости дрейфа, обусловленного кривизной магнитной силовой линии: где И'й — — тйгтУ2 — кинетическая энергия движения вдоль силовой линии, ьг— круговая частота вращения частицы. Этот дрейф складывается с дрейфом, обусловленным неоднородностью магнитного поля, скорость которого описывается формулой (37 13). На основании изложенного можно сказать, что движение частицы в магнитном поле состоит из трех составляющих: 1) вращение вокруг силовой линии; 2) движение ведущего центра вдоль силовой линии; 3) дрейф ведущего центра в направлении, перпендикулярном магнитному полю и градиенту его абсолютной величины, т.
е. плоскости, в которой вблизи данной точки лежит линия магнитной индукции. 38. Адиабатическая инвариантность магнитного момента Магнитный момент. Во многих практически важных случаях магнитное поле мало меняется на расстояниях порядка радиуса траектории частицы. По аналогии с магнитным моментом кругового тока можно говорить о магнитном моменте частицы, двнжутцейся в магнитном поле.
Целесообразность введения такого понятия оправдывается тем фактом, что в медленно меняющихся магнитных полях этот магнитный момент сохраняет свое значение и его использование значительно упрощает анализ движения. В чем состоит механизм возникновения дрейфа в неоднородном магнитном попе! Зависит пи направпение дрейфа от знака заряда! Как! каким образом кривизна пиний магнитной индукции приводит к возникновению дрейфа заряженных частиц! Из-за каких обстоятельств заряженная частица при движении вокруг силовой пинии сходит с нее! Глава 8.
ДВИЖЕНИЕ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ ?4? Магнитный момент М кругового тока силы Т, по определению, равен (38Л) где Я вЂ” площадь, обтекаемая током. Заряд ~е), движущийся по окружности радиуса В и имеющий период вращения Т, аналогичен круговому току силы ~еТ(Т. Следовательно, магнитный момент заряженной частицы в соответствии с формулой (38,1) может быть записан в виде М=(~е~~Т) яВ'. Учитывая, что Т = 2пЛ/и~, Л = тиЯ е ~ В, (38.2) (38.3) получаем окончательно для магнитного момента частицы следующее выражение: (38,4) 1 с1Ф Л йВ Е— 2лВ ~й 2 ~й (38.5) где учтено, что магнитный поток Ф = пЛ'В (по условию, па рас- стояниях порядка радиуса орбиты величина поля меняется незна- чительно и, следовательно, поле можно считать постоянным). За один оборот частицы это поле сообщает ей энергию Л ( — ти',) = 2пВЕ ~ е ~ = ~е~аЛ~ (йВ/й).
~2 (38.6) Медленность изменения по времени означает, что за время одного оборота частицы по окружности величина поля меняется незначительно. За время одного оборота энергия частицы меняется мало и где И'„= ти".„ /2 — кинетическая энергия, соответствующая составляющей скорости в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Адиабатическая инвариантность магнитного момента. Адиабатическая инвариантность магнитного момента означает сохранение его значения в магнитных полях, медленно изменяющихся либо во времени, либо в пространстве. Рассмотрим сначала случай изменения магнитного поля во времени (рнс. 83).
Пусть поле В растет в указанном на рисунке направлении. Тогда, по закону электромагнитной индукции Фарадея, на частицу, движущуюся по окружности, действует вихревое электрическое поле Е, направленное вдоль нее и равное поэтому можно разделить обе части ра- венства (38.6) на Т и, учитывая (38.2), записать Ь (гни-"„/2) ус — (ти-'„ /2) = (е (лВв с1В Ы — =М вЂ”. Т ~Рт гт'т (38.7) Выражая энергию тпз, /2 по формуле (38.4), уравнение (38.7) представим в виде аз.
—,'- (М8) = М вЂ” '„. Изменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле Отсюда следует Направления изменений магнитного м зпвктрммеского попей связаны прааипом и е в о г о винта (38.8) что н требовалось доказать. Теперь рассмотрим случай пространственного изменения магнитного поля. Пусть частица движется в направлении изменения магнитного поля (рис. 84). Если оно усиливается вдоль оси г, то линии магнитной индукции в этом направлении сгущаются. Эти линии в данном случае имеют составляющую В, вдоль радиуса Л.
Вследствие наличия скорости у„радиальная составляющая В„обусловливает силу Лоренца Гй=е~тй, В„), (38.9) которая действует вдоль оси з противоположно направлению сгущения линий индукции, т. е. в сторону ослабления магнитного поля. Эта сила тормозит движение частицы. Для вычисления тормозящей силы (38.9) необходимо знать В„. Учтем, что линии индукции не имеют пи начала, ни конца.
Поэтому число линий индукции, входящих в некоторый объем, равно числу выходящих, или, иначе, входящий в некоторый объем магнитный поток равен выходящему. Возьмем в качестве объема цилиндр радиуса Л и толщиной Лз, ось которого совпадает с осью з за. При движении эаряженной частицы в область с усиливающимся магнитным полем ее скорость вдоль поля уменьшается, а линейная скорость вращательного движения увеличивается 38. Адиабатическая инвариайтность магнитного момента Глава 8. ДВИЖЕН% В Э5%КТРОМАТНИТНЫХ ПОЛЯХ й ЬВ, й дВ, В т т 2 Ьв 2 дв (38.11) а5.
(38.14) К вычислению радиальной составляющей магнитного поля Адиабатичесним наэывается иэменение, проискодясцее достаточно медленно в сравнении с измен опиями, карантерными для рассматриваемого явления. Поэтому один и тот те процесс в одник случаяк мотне рассматривать нан адиобатичесний, а в другик — нельзя. (рис. 88). Приравнивая входящий через левое основание и боковую поверхность цилиндра поток потоку, выходящему череа правое основание цилиндра, получим В,яВв+ В,2яВЬг = (В, + схВ,) яВв.
(38.10) Отсюда следует Поэтому сила (38.9), действующая вдоль оси г, равна ~с )2яй й дВг дВт Рв=~е(и~В = — — — *=М вЂ” * У 2 дв дв (38.12) где учтено, что и = 2яВ/Т, и принято во внимание определение магнитного момента (38.2). Направление действия этой силы, как это видно на рис. 84, противоположно тому, в котором магнитное поле растет, т. е. в данном случае полонсительному направлению оси г. Поэтому уравнение для составляющей скорости р, можно написать в виде т — '= — М вЂ” '= — М вЂ” (38 13) Ып, дВ дВ Жт дв дв где учтено, что в силу медленности иамепения поля (дВ,/дг) ~ дВ/дг, т.
е. составляющая магнитного поля В, заменена его полной величиной. Это означает, что линии магнитной индукции сгущаются не очень сильно, т. е. их наклон к оси г не очень велик. Знак минус в уравнении (38.13) обусловлен направлением действия силы. Умножив обе части (38.13) на и, и приняв во внимание равенства преобразуем (38.13) к виду 38. Адиабатическая икварианткость магнитного момента ?45 Так как при движении в магнитном поле полная скорость частицы сохраняет -свое значение, то ти"- те"-„тее +— 2 2 2 и формула (38.14) примет вид — — = — „, (мв)=м — „,, (38.15) где сделана замена (ти) /2) = МВ в соответствии с (38.4).
Это уравнение совершенно аналогично (38.8), и из него следует М= сонат, т. е. магнитный момент сохраняется также и при медленных (адиабатических) пространственных изменениях магнитного поля. Таким образом, доказано, что магнитный момент М, определенный равенством (38.4), остается неизменным при движении частицы в случае медленных изменений магнитного ноля как в пространстве, так и во времени. Напомним, что критерием медленности пространственного изменения магнитного поля является малость его изменений на расстояниях порядка радиуса вращения и перемещения за один оборот, а критерием медленности изменения во времени — малость его изменения в течение времени одного оборота.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
