А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 54
Текст из файла (страница 54)
8~ !а! оРе !пеона о о. (39.9) где учтено, что Е, = сВ,. Если скорость частицы мала в сравнении со скоростью света ((г/с) .4. '1), то нз этого условия следует ! /ег = в — ' й ~<, "ве, (39.5) где /е = (2пй) = в/с. Поэтому в уравнениях движения (39.4) можно пренебречь величинами г/с в сравнении с единицей и /ег в сравнении с в1. Уравнения принимают вид х = (еЕо/т) з1 и в1, г = (еЕо/т) х з1 и ои. Интегрируя дважды первое уравнение, получим: х = — (еЕе/тв) соз в1+ х„ (39.7) х = — (еЕо/твг) з1п в/+ хо1+ х„ где х, — х-я составляющая скорости частицы в момент 1 =- О, х,— ее координата в тот же момент. Подставляя решение (39.7) во второе уравнение (39.6), имеем 1 /еЕ, '~г 1 еЕо — — — — з1 и 2вг + —" хо з(п в1.
2~!!! / ве г!!е 40. Движения в переменном электр. и постоянном магн. полях ?51 Рб. Расположение системы координат относительно постоянного магнитного поля и переменного электрического поля, в которых рассматривается движение заряженной частицы (40.1) (40.2) Переменное алентричесиов поле при наличии постоянного магнитного поля в услоеиял цинлотронного резонанса вызывает увеличение иииетичесиой анергии заряженной частицвг. Анализ движения.
Из решений (39.7) и (39.9) можно сделать следующие выводы. Если в начальный момент частица покоится (зо = О, хо = О), то электромагнитная волна вызывает колебания частицы в окрестности ее положения. Какого-либо систематического удаления от начального положения нет. Если при 1 = 0 частица обладает некоторой скоростью хо ~ О, хо ~' О, то в последующем она будет удаляться от первоначального положения с этой скоростью, как средней.
При этом частица будет совершать колебания. Таким образом, можно скааать, что электромагнитная волна не изменяет средней скорости движения частицы, но вызывает колебания скорости с частотой электромагнитной волны. 40. Движения в переменном электрическом и постоянном магнитном полях Постановка задачи. Пусть имеются переменное алектрическое поле, частота которого то, и постоянное магнитное поле, направленные так, как указано на рис. 90, и заданные уравнениями: Ех = Е Ео соз согт В,=всч В„=В„=О. Уравнения движения имеют вид: х = (еЕо4т) соя то|+ шоу, у = — оэср, где гоо = еВо/т — частота вращения частицы в магнитном поле В„называемая циклотронной частотой.
Будем считать, что в момент 1 = 0 частица покоится з начале координат, т. е. х, = у, = О, х, = Уо Анализ различных случаев движения. Циклотронный резонанс. Интегрируя уравнения (40.2) и учитывая указанные начальные условия, получаем: х = (еЕо/гшо) з1п гог+ тооу, у = — тоох, (40,3) Каково соотношение между векторами злектрического и магнитного полей в плоской злектромагнитной волне1 При каком условии можно вренебречь пространственным изменением поля в копне по сравнению с его изменением по времени при реше.
нии уравнений движенив1 Глава 8. ДВИКИНИЕ В ЗЛЕКУРОМАГНИГНЫХ ГЮЛЯХ 252 Подставляя выражение для х из (40.3) во второе уравнение (40.2), имеем ыо обо у + в*у = — — — ' з1 и Ы. о а св (40.4) Характер движения частицы существенно зависит от соотношенкя между частотой о переменного поля и циклотропной частотой ио. Существуют четыре важных случая: о ~ в„о ~ оо, о ы„ в = во. Рассмотрим каждый из них отдельно. С л у ч а й $: о ~ ао. При этом условии электрическое поле меняется мало за период обращения частицы в магнитном поле.
Поэтому электрическое поле практически можно считать постоянным при расчете движения. Величина з1пв1 является медленно меняющейся функцией. Усреднив обе части уравнения (40.4) по многим периодам колебаний магнитного поля (у) =О, (з!и ш1) з1п Ы, получим следующее равенство: (40.5) 1 ейо (У) = — — — з1п он. охоо го (40.6) Отсюда находим скорость смещения среднего положения частицы: Н 1 еЕо Ь'о Д и„= — (у) = — — — сов Ы = — — соз ы1= — —. Ж ыо ~п ~о Во ' (40.7) х = (еЕо/лкоо) з1п во1+ Йоу, у = — (во*, (40.9) Это есть обычный дрейф в скрещенных электрическом и магннтнозЗ полях, рассмотренный для случая постоянного электрического поля в 3 37.
Скорость дрейфа меняется с изменением величины Е электри) ческого поля, т. е. колеблется с частотой о, С л у ч а й 2: о ~ оо, При этом условии за один оборот частицц в магнитном поле электрическое поле меняется много раз. Поэтому вращение ее является медленным процессом, а изменение поля — ' быстрым.
Усредним (40.4) по многим периодам колебаний электри ческого поля, которые в сумме составляют лишь небольшую частьо периода обращения частицы. Очевидно, что прп этом (з(п а1) = 0 и уравнение (40.4) принимает следующий вид: (у)+во (у) =О. (40.8) Таким образом, какого-либо дрейфа частицы нет. Она колеблется с циклотронной частотой оо. С л у ч а й 3: а = оо. При этом условии наблюдается явление, называемое циклотронным резонансом. Уравнения (40.3) принимают вид: 40. Движения в переменном электр. и постоянном маги. полях (40Л1) (40.16) а вместо (40.4) получаем у + воу = — (еЕо/т) з1п во а. (40Л0) Решение этого уравнения имеет вид а еЕо у = — — (з$поэ ~ — оо8созоо/).
о Отсюда с помощью второго уравнения (40.9) находим х = — — /з1поо/. 1 еЕо (40Л2) 2 тва Таким образом, при циклотронном резонансе движение частицы является колебательным. Вычислим ее кинетическую энергию: (40.13) Слагаемое, пропорциональное аа, показывает, что энергия частицы неизменно увеличивается. Остальные слагаемые не имеют существенного значения — они характеризуют колебания энергии частицы вокруг увеличивающегося значения, определяемого членом д.
Таким образом, при цикпотронном резонансе энергия от переменного электрического ноля передается частице. Сл у ч а й 4: в ао. При этом условии нет точного цикло. тронного резонанса. Энергия от переменного электрического поля переходит к частице лишь до некоторого максимального значения. После этого частица начинает обратно отдавать энергию электрическому полю и т. д. Этот процесс обмена энергией является периодическим процессом, имеющим частоту а=!ю — юо!. (40Л4) Не вдаваясь здесь в подробности, отметим лишь, что эта формула выражает частоту биений, которые получаются при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами (см.
гл. 13). Вычислим максимальную энергию частицы. Она приобретает энергию в течение половины периода, соответствующего частоте О, т. е. в течение времени я/й. За это время на нее действует среднее электрическое поле (Е) = Е,/2. Коэффициент 1/а при амплитудном значении Ео поля получается потому, что вычисляется среднее значение поля за полупериод колебаний. Поэтому в течение полу- периода частица приобретает импульс раааа„который в соответствии с уравнением движения Ньютона равен р ах=!е!(Е) — „=," ' (40Л5) Следовательно, максимальная энергия частицы Р,'„а„~Р е'Е1 И еах = 8 тМ шо) 254 Глава 8.
ДВИЖЕНИЕ В ЗЛЕКтРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ 41. Ускорители заряженных частиц Как было отмечено в $ 29, при рассмотрении различных сил, имеющихся в природе, электромагнитные силы — единственные силы, с помощью которых можно искусственно управлять двн>кением частиц вещества. Поэтому вполне естественно, что предназначенные для этой цели приборы используют электромагнитные силы. Для исследования строения материи, законов взаимодействия элементарных частиц и законов их взаимопревращения необходимы частицы больших энергий.
Естественными источниками частиц с энергиями примерно до 10 млн. зВ являются радиоактивные элементы, один из представителей которых — радий — сыграл очень ван<ную роль в физике. Однако эти энергии недостаточны для исследования многих физических явлений, когда требуются частицы с энергиями в сотни миллионов, миллиарды и десятки миллиардов электронвольт. Другим существенным недостатком радиоактивных элементов является малая интенсивность нх потоков, в результате чего редкие события, которые бывают часто наиболее важными, очень трудно обнаружить, поскольку для их воспроизведения надо затратить очень много времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
