С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Статистическая механика229()w(v x , v y , v z ) ≈ C ⋅ exp − mv02 / 2kT = const .В выражении (15.64) эта константа выходит из под знака интеграла, и мыполучаем(P(v0 ≤ v ≤ v0 + Δv) = C ⋅ exp − mv02 / 2kT()∫ dv dv dvxyz=Ω)= C ⋅ exp − mv02 / 2kT ⋅ ΔΩ ,(15.65)где ΔΩ – объем области Ω. Согласно определению (15.63), область Ω представляет собой шаровой слой радиусом v0 и толщиной Δv . ПосколькуΔv << v0 , величину ΔΩ с хорошей точностью можно вычислить по формулеΔΩ = 4πv02 ⋅ Δv .(15.66)Из формул (15.62), (15.65), (15.66) получаем()w(v 0 ) = C ⋅ 4πv02 ⋅ exp − mv02 / 2kT .Учитывая выражение (15.36) для константы C, окончательный результатпредставим в виде⎛ m ⎞w(v) = 4π⎜⎟⎝ 2πkT ⎠3/ 2()v 2 ⋅ exp − mv 2 / 2kT .(15.67)Распределение (15.67) называется распределением Максвелла для модуляскорости молекулы.
Величина v в этой формуле меняется от 0 до ∞ . Распределение (15.67) удовлетворяет условию нормировки.Используя формулу (15.67), можно вычислить среднее значениемодуля тепловой скорости молекулы газа§15. Статистическая механика230∞∫< v > = v ⋅ w(v)dv =08kT.πm(15.68)Пример 15.6. Найти среднее значение модуля относительной скорости< u > двух молекул газа.
Масса молекулы m, температура газа T.Решение. Рассмотрим две молекулы газа, движущиеся со скоростями v1 иv 2 . Согласно правилу сложения скоростей Галилея, скорость первой молекулы относительно второй (относительная скорость) равнаu = v1 − v 2 .Декартовы компоненты относительной скоростиu x = v1x − v2 x , u y = v1 y − v2 y , u z = v1z − v2 z(15.69)представляют собой разности независимых гауссовых случайных величини, следовательно, являются гауссовыми величинами. Усредняя равенства(15.69), видим, что средние значения декартовых компонент относительнойскорости равны нулю:< ux > = < u y > = < uz > = 0 .(15.70)Остается вычислить дисперсии величин u x , u y , u z .
Используя формулы(15.69), находим< u x2 > = < (v1x − v 2 x ) 2 > == < v12x > + < v 22 x > −2 < v1x v 2 x > = 2 < v12x > .(15.71)Здесь учтено, что среднее значение произведения независимых случайныхвеличинравнопроизведениюихсреднихзначений:§15. Статистическая механика231< v1x ⋅ v 2 x > = < v1x > ⋅ < v2 x > = 0 , и то, что обе рассматриваемые молекулыимеютодинаковые< v1x > = < v 2 x > = 0 и <статистическиеv12x> = <v 22 xхарактеристикискоростей:> .
Формулы (15.70), (15.71) пока-зывают, что дисперсия декартовой компоненты относительной скорости< u x2 > вдвое превышает дисперсию декартовой компоненты скорости мо-лекулы < v 2x > . Из формул (15.34) и (15.68) следует, что<v> =8⋅ < v 2x > .πВ силу идентичности статистических характеристик, аналогичным образомбудут связаны и величины < u > и < u x2 > :<u> =8⋅ < u x2 > .πПодставив сюда < u x2 > = 2 < v x2 > = 2kT / m , получим<u> = <v> 2 =4kT.πm(15.72)Пример 15.7. Шарики диаметром d = 3 ⋅10−7 м из материала плотностьюρ = 1 г/см3 находятся в воздухе при температуре T = 300 К.
Найти среднюювысоту < z > , на которую поднимаются шарики в результате тепловогодвижения.Решение. Распределение шариков по высоте z описывается формулойБольцмана⎛ mgz ⎞w( z ) = C ⋅ exp⎜ −⎟.⎝ kT ⎠(15.73)§15. Статистическая механика232Здесь Π ( z ) = mgz – потенциальная энергия шарика в поле силы тяжести, m– масса шарика, g – ускорение свободного падения. Постоянная C в формуле (15.73) определяется условием нормировки∞∫ w( z)dz = 1 .(15.74)0Подставив (15.73) в (15.74) и вычислив интеграл, получим, что C = 1 / z0 ,где z0 = kT / mg .Среднее значение высоты шарика∞∫< z > = z ⋅ w( z )dz = z 0 .0Учитывая, что масса шарика равна m = ρπd 3 / 6 , получаем ответ:<z> =6kT= 3 ⋅10 −5 м.πgρd 3Пример 15.8.
Найти среднюю кинетическую энергию < Κ > молекулыдвухатомного газа при температуре T.Решение. Кинетическая энергия твердого тела при произвольном движенииопределяется формулой (см. пример 9.6):Κ=11m(v x2 + v 2y + v z2 ) + ( I α ωα2 + I β ωβ2 + I γ ω2γ ) ,22где v x , v y , v z – декартовы компоненты скорости центра масс молекулы,ωα , ωβ , ωγ – проекции мгновенной угловой скорости вращения молекулы наее главные оси инерции, m – масса молекулы, I α , I β , I γ – главные моменты§15.
Статистическая механика233инерции молекулы. В случае двухатомной молекулы два из трех главныхмомента инерции совпадают, а третий равен нулю, поэтому можно записатьI α = Iβ ≡ I , I γ = 0 ,где I – момент инерции молекулы относительно центра масс. Выражениедля кинетической энергии принимает вид:Κ=11m(v x2 + v 2y + v z2 ) + I (ωα2 + ωβ2 ) .22Величины v x , v y , v z , ωα , ωβ можно рассматривать как обобщенные скорости системы. Вычислим обобщенные импульсы системы, определенные какчастные производные функции Лагранжа или кинетической энергии пообобщенным скоростям.
Обозначив обобщенные импульсы черезp x , p y , p z , pα , pβ , получимpx =∂Κ∂Κ∂Κ= mv y , p z == mv x , p y == mv z ,∂v y∂v x∂v zpα =∂Κ∂Κ= Iωβ .= Iωα , pβ =∂ωβ∂ωαВыражая обобщенные скорости через обобщенные импульсы и подставляяих в формулу для кинетической энергии, получим гамильтониан системыH=11( p x2 + p 2y + p z2 ) +( pα2 + pβ2 ) .2m2IИз этого выражения видно, что гамильтониан двухатомной молекулы содержит пять квадратичных степеней свободы. Согласно теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы, на каждую квадратичнуюстепень свободы приходится в среднем одинаковая энергия, равная kT / 2 .§15.
Статистическая механика234Следовательно,<Κ > =5kT .2Пример 15.9. В сосуде объемом V находится N молекул газа при температуре T. Считая молекулы твердыми шариками массой m и диаметром d, вычислить среднее время τc и среднюю длину λ свободного пробега молекулы.Решение. Рассмотрим некоторую выделенную молекулу газа.
Для расчетапредставим эту молекулу шаром радиусом d, а остальные молекулы заменим неподвижными материальными точками. Будем считать, что шар движется равномерно со скоростью < u > , равной среднему значению модуляотносительной скорости двух молекул газа. Эта скорость определяетсяформулой (15.72), именно < u > = < v > 2 , где<v> =8kTπm– среднее значение модуля тепловой скорости молекулы газа.Число столкновений dN, которые испытает выделенная молекула(шар) за время dt, определяется формулойdN = n ⋅ dV ,где n = N / V – концентрация молекул, dV = S ⋅ < u > ⋅dt – объем трубкидлиной < u > ⋅dt с площадью поперечного сечения S = πd 2 .
Таким образом,dN = n ⋅ S ⋅ < u > ⋅dt . Учитывая, что средняя частота столкновений молекулыυ = dN / dt = n ⋅ S ⋅ < u > , среднее время свободного пробега τc = 1 / υ , средняядлина свободного пробега λ = < v > ⋅τ c , получаем:§15. Статистическая механикаτc =V4πd 2 N235Vπm, λ=.kTπ 2d 2 NПример 15.10. В сосуде с газом поддерживается неоднородное распределение концентрации молекул n = n(x) вдоль оси OX. Вычислить коэффициентдиффузии молекул газа D, если известна средняя тепловая скорость < v > исредняя длина свободного пробега λ молекул газа.Решение.
Рассмотрим площадку площадью S, расположенную в плоскостиx = 0 . Введем также две вспомогательные плоскости с координатамиx1 = −λ и x2 = λ . Для расчета будем считать, что в области −λ ≤ x ≤ 0 концентрация молекул газа постоянна и равна n1 = n(−λ) , а в области 0 ≤ x ≤ λконцентрация молекул постоянна и равна n2 = n(λ) . Скорости всех молекулбудем считать одинаковыми, постоянными и равными < v > .Число частиц ΔN1 , пересекающих площадку площадью S за времяΔt в направлении оси OXΔN1 =1⋅ n1 ⋅ < v > ⋅Δt ⋅ S ,6число частиц, пересекающих ту же площадку за то же время в противоположном направленииΔN 2 =1⋅ n2 ⋅ < v > ⋅Δt ⋅ S .6Множитель 1 / 6 в этих формулах учитывает тот факт, что в направленииоси OX (а также в направлении против оси OX) движется в среднем 1 / 6 отполного числа молекул газа.Поток частиц в направлении оси OX равен§15.
Статистическая механика236jx =ΔN x ΔN1 − ΔN 2,=S ⋅ ΔtS ⋅ Δtили1jx = ⋅ < v > ⋅( n1 − n2 ) .6Считая величину λ достаточно малой, n1 и n2 можно приближенно вычислить по формуламn1 = n0 − λ ⋅∂n∂n, n2 = n0 + λ ⋅,∂x∂xгде n0 = n(0) . Отсюда n1 − n2 = −2λ ⋅∂nи, следовательно,∂x1∂nj x = − λ⋅ < v > ⋅ .3∂xСогласно определению коэффициента диффузии, j x = − D ⋅∂n. Сопоставляя∂x1две последние формулы, находим ответ: D = λ⋅ < v > .3Задание для самостоятельной работы15.11. Показать, что дисперсия пуассоновской случайной величины равна еесреднему значению.15.12.
Независимые случайные величины x и y имеют плотности вероятности w1 ( x) и w2 ( y ) . Найти плотности вероятности для суммы u = x + y и§15. Статистическая механика237разности v = x − y этих величин.15.13. Найти плотность вероятности w(u ) для разности независимых гауссовыхслучайныхвеличинu = x− y ,если<x> = < y> =0,< x2 > = < y 2 > = σ2 .15.14. Считая, что число столкновений n, которые испытывает молекулагаза за время t, является пуассоновской случайной величиной со среднимзначением < n > = υ ⋅ t , где υ = const – средняя частота столкновений, найти плотность вероятности w(τ) для времени свободного пробега молекулыτ.15.15. Найти среднее значение модуля тепловой скорости < v > молекулывоздуха при температуре T = 300 К.
Масса молекулы m = 4,8 ⋅10 −26 кг.15.16. Найти плотность вероятности w(Κ ) для кинетической энергииΚ = mv 2 / 2 молекулы одноатомного газа, находящегося при температуре T.15.17. Идеальный газ, имеющий температуру T, состоит из молекул с массами m1 и m2 . Найти среднее значение < u > модуля относительной скорости этих молекул u .15.18. Шарики диаметром d = 3 ⋅10−7 м из материала с плотностьюρ = 2,5 г/см3 находятся в жидкости с плотностью ρ0 = 1 г/см3 при темпера-туре T = 300 К. Найти среднюю высоту < z > , на которую поднимаютсяшарики в результате теплового движения.15.19. В зале высотой h = 10 м находится воздух при температуре T = 300 К.Во сколько раз α плотность воздуха около пола превышает плотность воздуха под потолком зала? Молярная масса воздуха μ = 29 г/моль, универ-238§15. Статистическая механикасальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль·К), ускорение свободногопадения g = 9,8 м/с.15.20.
Найти среднюю длину свободного пробега λ для молекулы воздухапри температуре T = 300 К и давлении p = 105 Па. Диаметр молекулыd = 3,6 ⋅10 −10 м.15.21. По проводу радиусом r0 течет постоянный ток силой I. Найти распределение температуры в поперечном сечении провода T (r ) , если коэффициент теплопроводности материала κ, его удельное сопротивление ρ, атемпература поверхности провода T0 .§16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
