С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Нормальные колебания на второй частоте возникнут при отклонении маятников на один и тот же угол, но в разные стороны. Движениемаятников будет происходить в противофазе с периодическим сжатием ирастяжением пружины.Вводя нормальные координатыξ1 = D1 cos(ω1t + ϕ1 ), ξ 2 = D2 cos(ω 2t + ϕ 2 ) ,можно записать закон изменения во времени обобщенных координат β1, β2в виде:β1 = ξ1 + ξ 2 , β2 = ξ1 − ξ 2 .(13.34)Видно, что при задании произвольных начальных условий движение каждой из обобщенных координат не носит характер гармонических колебаний,§13. Малые колебания188а представляет собой наложение колебаний на частотах ω1 и ω2.
Но, разрешив систему (13.34) относительно нормальных координат ξ1, ξ2, легко установить, что полусумма и полуразность углов β1 и β2 всегда совершает гармонические колебания на частотах ω1 и ω2 соответственно, посколькуξ1 =β1 + β 2β − β2, ξ2 = 1.22Замечание. Анализ системы (13.29) позволяет найти собственные частоты инормальные колебания, не прибегая к общей теории. В самом деле, складывая уравнения (13.29) получаем:&& + β&& ) + 4 mgl(β + β ) = 0 .8ml 2 (β1212Обозначая (β1 + β2 ) / 2 через ξ1, приходим к уравнению:g&&ξ1 + ξ1 = 0 ,2lоткуда ω12 = g / (2l) (ср. с (13.33)).
Вычитая из верхнего уравнения (13.29)нижнее и обозначая ξ 2 = (β1 − β2 ) / 2 , получаемk ⎞⎛g&&ξ2 + ⎜ +⎟ξ = 0,⎝ 2l 2m ⎠ 2откуда ω 22 = g / (2l) + k / (2m) , что также совпадает с (13.33). Введение линейных комбинаций обобщенных координат β1 и β2, для которых справедливы уравнения гармонических колебаний, позволяет в данном случае существенно упростить решение задачи.§13. Малые колебания189Пример 13.5. Найти собственные частоты и собственные формы малыхколебаний системы, представляющей собой двойнойплоский маятник (рис. 13.5).
Длина и масса каждого измаятников равны l и m соответственно.Решение. В качестве обобщенных координат возьмемуглы β1 и β2. Выразим через них декартовы координатыпервой и второй материальных точек:x1 = l cos β1, y1 = l sin β1 ,Рис. 13.5x 2 = l cos β1 + l cos β2 , y2 = l sin β1 + l sin β2 .Кинетическая энергия двойного маятникаx&12 + y&12x& 2 + y& 22+m 2=22⎛⎞β& 2= ml 2 ⎜⎜ β& 12 + 2 + β& 1β& 2 (sin β1 sin β 2 + cos β1 cos β 2 )⎟⎟ =2⎝⎠Κ=m⎛⎞β& 2= ml 2 ⎜⎜ β& 12 + 2 + β& 1β& 2 cos(β1 − β 2 )⎟⎟ .2⎝⎠Потенциальная энергияΠ = mg(l − x1 ) + mg(2l − x 2 ) = mgl(1 − cos β1 ) + mgl(2 − cos β1 − cos β2 ) .Лагранжиан системы при произвольных отклонениях маятников:⎛⎞β& 2L = ml 2 ⎜⎜ β& 12 + 2 + β& 1β& 2 cos(β1 − β 2 )⎟⎟ −2⎝⎠−2mgl(1 − cos β1 ) − mgl(1 − cos β 2 ).(13.35)§13.
Малые колебания190Разлагая лагранжиан в ряд Тейлора вблизи положения равновесия и оставляя нулевой член разложения в выражении для кинетической энергии и второй член в выражении для потенциальной энергии, получаем:⎛⎞⎛β& 2β2 ⎞L ≈ ml 2 ⎜⎜ β& 12 + 2 + β& 1β& 2 ⎟⎟ − mgl⎜⎜ β12 + 2 ⎟⎟ .22⎠⎝⎠⎝Записываем уравнения Лагранжа:&& + β&& + 2ω 2β = 0,2β120 12&&&&β + β + ω β = 0,12(13.36)0 2в которых использовано обозначение ω 20 = g / l . Сравнивая (13.36) с(13.31), находим, чтоΚ11 = 2, Κ 22 = 1, Κ12 = Κ 21 = 1, Π11 = 2ω 20 , Π 22 = ω 02 , Π12 = Π 21 = 0 .Составляем детерминант и записываем характеристическое уравнение:(( −2ω 2 + 2ω 20 )−ω 2= 2 ω 20 − ω 2−ω 2( −ω 2 + ω 20 ))2− ω4 = 0 .Отсюда находим()()ω12 = ω 20 2 − 2 , ω 22 = ω 20 2 + 2 .Для определения коэффициентов распределения амплитуд образуем систему уравнений:⎧⎪( Π 22 − ω12 Κ 22 )α12 = −( Π 21 − ω12 Κ 21 ),⎧⎪(ω 2 − ω12 )α12 = ω12 ,или ⎨ 20⎨22⎪⎩( Π 22 − ω 2 Κ 22 )α 22 = −( Π 21 − ω 2 Κ 21 ),⎪⎩(ω 0 − ω 22 )α 22 = ω 22 .§13.
Малые колебания191Отсюдаα12 =ω12ω 20 − ω12= 2, α 22 =ω 22ω 20 − ω 22=− 2.Следовательно, собственные формы колебаний имеют вид:на частоте ω1: α11 = 1, α12 = 2 ; на частоте ω 2 : α 21 = 1, α 22 = − 2 .Вводя нормальные координатыξ1 = D1 cos(ω1t + ϕ1 ), ξ 2 = D2 cos(ω 2t + ϕ 2 ) ,записываем общее решение системы (13.36):β1 = ξ1 + ξ 2 , β 2 = 2ξ1 − 2ξ 2 .Для того, чтобы осуществить нормальное колебание на частоте ω1,нужно отклонить маятники в одну сторону на углы β0 (верхний) и2β 0(нижний) и отпустить без начальной скорости. Движение маятников будетпроисходить в фазе.
Второе нормальное колебание осуществляется, еслиотклонить маятники на те же углы, но в разные стороны. При этом маятники будут колебаться в противофазе на частоте ω2.Выразим нормальные координаты через обобщенные:ξ1 =1⎛2 ⎞1⎛2 ⎞⎜⎜ β1 +β 2 ⎟⎟ , ξ 2 = ⎜⎜ β1 −β 2 ⎟⎟ .2⎝22⎝2⎠⎠В итоге находим такие линейные комбинации углов β1 и β2, которые припроизвольных малых начальных отклонениях системы изменяются во времени по гармоническим законам на частотах ω1 и ω2.§13.
Малые колебания192Задание для самостоятельной работы13.6. Найти частоту малых колебаний в системе, изображенной нарис. 13.6: однородный цилиндр радиусом r катается без проскальзывания повнутренней стороне цилиндрической поверхности радиусом R.13.7. Каркас из однородной тонкой проволоки, состоящий из дуги полуокружности и диаметра D, подвешен в точке O (рис. 13.7). Какова частота малых колебаний каркаса в плоскости рисунка?Рис.
13.6Рис. 13.7Рис. 13.813.8. Найти частоту малых колебаний плоского маятника, представляющегособой однородный стержень длиной 2l, изогнутый посередине под прямымуглом и шарнирно подвешенный за вершину угла(рис. 13.8).13.9. Груз массой m, лежащий на гладкой доске массой M, прикреплен кнаходящимся на ее концах опорам посредством двух пружин жесткостямиk1 и k2 (рис.
13.9). В положении равновесия груза обе пружины недеформированы. Удерживая доску, груз отводят от положения равновесия, а затемвсю систему предоставляют самой себе. Пренебрегая трением между доской и столом, определите частоту возникших при этом малых колебанийдоски и груза.13.10. На гладком горизонтальном столе между двумя одинаковыми закрепленными пружинами находится небольшой шарик (рис. 13.10). Длина каждой из пружин в свободном состоянии l0 < l (в положении равновесия§13. Малые колебания193шарика пружины растянуты). Шарик смещают от положения равновесия нанебольшое расстояние один раз вдоль оси OX, второй – вдоль оси OY, а затем отпускают. Чему равно отношение частот малых колебаний вдоль этихосей?Рис.
13.9Рис. 13.1013.11. Найти частоту малых колебаний системы, изображенной на рис.13.11. Блок, состоящий из жестко скрепленных шкивов радиусами R и r,имеет массу m и момент инерции I. На шкивы намотаны в противоположных направлениях нити, причем конец одной из них привязан к опоре непосредственно, а конец второй – через пружину жесткостью k. Система совершает вертикальные движения в плоскости рисунка.13.12. Найти частоту малых колебаний системы, изображенной нарис.13.12: тонкий стержень массой m и длиной l подвешен за один из концов и подкреплен в середине двумя пружинами жесткостью k.
Движениепроисходит в плоскости рисунка, в положении равновесия стержня пружины не напряжены.Рис. 13.11Рис. 13.12§13. Малые колебания19413.13. Однородный стержень положили на два быстро вращающихся ролика, как показано на рис. 13.13. Расстояние между осями роликов l, коэффициент трения скольжения между стержнем и блоками μ. Показать, что предоставленный самому себе стержень будет совершать гармонические колебания и найти их частоту.Рис. 13.13Рис.
13.1413.14. Найти собственные частоты и собственные формы малых колебанийсистемы, изображенной на рис. 13.14. Два шарика одинаковой массой mнадеты на гладкий горизонтальный стержень и соединены друг с другомпружиной жесткостью k1 и с неподвижными опорами пружинами жесткостью k.
В положении равновесия пружины не напряжены.13.15. Плоский математический маятник массой m и длиной l, подвешен кшарику массой M, который надет на гладкий горизонтальный стержень исоединен с неподвижной опорой пружиной жесткостью k (рис. 13.15). Выбрав в качестве обобщенныхкоординат смещение x шарика M от положения равновесия и угол ϕ отклонения маятника от вертикали, найти собственные частоты малых колебанийэтой системы. Для случая M = m , k = mg l найтиРис. 13.15собственные формы малых колебаний.§14. Механика жидкостей и газов195§14. Механика жидкостей и газовКраткие теоретические сведенияВ механике жидкостей и газов изучаются равновесие и движениежидкостей и газов, а также их взаимодействие с твердыми телами. В частности, в гидроаэростатике рассматриваются условия и закономерности равновесия жидкостей и газов под воздействием приложенных к ним сил, атакже условия равновесия твердых тел, находящихся в жидкостях или газах.Любой выделенный объем жидкости (газа) находится в равновесии,если силы со стороны соседних слоев жидкости (газа) или твердых тел действуют лишь перпендикулярно элементарным поверхностям, ограничивающим этот объем.
Существование касательных составляющих поверхностных сил при равновесии невозможно, так как из-за текучести любая скольугодно малая касательная сила вызывает деформацию сдвига жидкости (газа), т.е. нарушает равновесие. Поэтому при описании взаимодействия элементов жидкости (газа) между собой и с другими телами рассматриваютлишь нормальные компоненты поверхностных сил.Давлением называют скалярную величину, равную отношению величины dFn нормальной компоненты поверхностной силы, действующейна элементарную площадку, к площади этой площадки dS:p=dFn.dS(14.1)Если сила давления F равномерно распределена по поверхности площадьюS, то давление равноp=Fn.S(14.2)§14.
Механика жидкостей и газов196Согласно закону Паскаля, давление, оказываемое на покоящуюсяжидкость внешними силами, передается ею без изменения одинаково вовсех направлениях. То же самое утверждение справедливо и для газа. Давление на элементарную площадку, помещенную в покоящуюся жидкостьили газ, одинаково при любой ориентации площадки.Следствием закона Паскаля является уравнение, описывающее распределение давления внутри покоящейся несжимаемой жидкости, находящейся в поле тяготения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
