С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Для случая z( x , y) =§12. Статика. Равновесие механической системы159§12. Статика. Равновесие механической системыКраткие теоретические сведенияСтатикой называется раздел механики, в котором изучаются условия равновесия твердых тел, или систем тел, под действием приложенных кним сил. Сила, действующая на твердое тело, характеризуется величиной,направлением и точкой приложения. В задачах статики выделяют два типасил:1) контактные силы, возникающие при соприкосновении тел.
К ним относятся силы упругости, силы трения и силы давления жидкости илигаза;2) дальнодействующие силы, действующие на расстоянии между телами. К ним относятся гравитационные и электромагнитные силы.Силы упругости и трения приложены к телу в точке или в плоскости соприкосновения с другим твердым телом. Силы давления жидкости(газа) приложены ко всем точкам поверхности тела, окруженной жидкостью(газом). Гравитационные силы действуют на каждую точку внутри тела. Ихравнодействующая приложена к некоторой точке пространства, связанной стелом: к его центру тяжести.Вектор силы определяет линию, вдоль которой действует сила –линию действия.
Две силы, действующие на твердое тело, уравновешиваются тогда и только тогда, когда линии их действия лежат на одной прямой,силы равны по величине и действуют в противоположных направлениях.Перенос точки приложения силы, действующей на твердое тело, вдоль линии ее действия не влияет на изменение механического состояния тела. Таким образом, в задачах статики можно переносить точку приложения силывдоль линии действия.Равновесие (покой) – это такое состояние механической системы, вкотором она будет находиться все время, если в начальный момент она внем находилась и имела нулевые скорости всех точек.
Общую задачу о рав-§12. Статика. Равновесие механической системы160новесии механической системы обычно разделяют на ряд частных задач.Условие равновесия твердого тела, имеющего ось вращения, можетбыть сформулировано в виде правила моментов: тело находится в равновесии, если сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно осивращения равна нулю. Если твердое тело может перемещаться поступательно, а также совершать вращательное движение, равновесие тела достигается при одновременном выполнении двух условий: 1) cумма всех сил,приложенных к телу, равна нулю; 2) сумма моментов всех сил, приложенных к телу, относительно любой оси равна нулю.В задаче о равновесии тел важную роль играет понятие центра тяжести.
Всякое тело, находящееся в гравитационном поле, можно представить в виде системы частиц, на каждую из которых действует сила тяжести,пропорциональная ее массе. Полная сила тяжести, действующая на тело,является равнодействующей всех этих сил. Вблизи поверхности Земли, гдегравитационное поле можно считать однородным, элементарные силы тяжести, действующие на частицы, параллельны.
Точка приложения равнодействующей всех элементарных сил тяжести называется центром тяжеститела. Относительно оси, проходящей через центр тяжести тела, сумма моментов всех элементарных сил тяжести равна нулю.Положение центра тяжести тела в выбранной системе координатопределяется следующей формулой:rc =1ρrdV ,m∫(12.1)Vгде m – масса тела, ρ – плотность, r – радиус-вектор элемента объема тела.Интегрирование в (12.1) ведется по объему тела V.
Центр тяжести тела совпадает с его центром масс (см. §8).Для нахождения положений равновесия произвольной механической системы необходимо, вообще говоря, найти такие ее конфигурации, вкоторых сумма всех сил (как заданных сил, так и реакций связей), действующих на каждую точку системы, обращается в нуль. Эта сложная задачазначительно упрощается для голономных систем, подчиненных идеальнымстационарным связям. Необходимым и достаточным условием равновесия§12. Статика. Равновесие механической системы161таких систем является равенство нулю работы всех заданных (активных)сил Fl на любых виртуальных перемещениях точек системы:NδA =∑ Flδrl = 0 ,(12.2)l =1где N – число точек системы. Переходя в (12.2) к обобщенным координатамqj (см. §11), получаемsδA =∑ Q j δq j = 0 ,(12.3)j =1где s – число степеней свободы системы, Qj – обобщенная сила (11.7), соответствующая j-ой обобщенной координате.
Поскольку вариации обобщенных координат δqj независимы, то условие δA = 0 может выполнятьсятолько при одновременном выполнении равенств Q1 = 0, Q2 = 0, ⋅⋅⋅, Q s = 0.Таким образом, в положении равновесия голономной стационарной системы, подчиненной идеальным связям, все обобщенные силы обращаются внуль.Если силы, действующие на систему, потенциальны, тоQj = −∂Π,∂q jj = 1, 2,⋅⋅⋅, s ,(12.4)где Π = Π(q1, q2 ,⋅⋅⋅, qs ) – потенциальная энергия системы, выраженная черезобобщенные координаты. В положении равновесия⎛ ∂Π ⎞⎜⎟⎜ ∂q ⎟ = 0,⎝ j ⎠0j = 1, 2,⋅⋅⋅, s ,(12.5)т.е.
при равновесии потенциальная энергия системы имеет экстремум повсем обобщенным координатам.На практике большую роль играет качественная характеристика§12. Статика. Равновесие механической системы162равновесия, называемая устойчивостью. В связи с этим различают три типаравновесия тел: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Равновесие называется устойчивым, если движение, полученное в результате небольшоговозмущения, не выходит за пределы небольшой окрестности первоначальной конфигурации системы.
Если же при бесконечно малом возмущениисистема начинает удаляться от первоначальной конфигурации, то равновесие называется неустойчивым. Равновесие системы называется безразличным, если существует область отклонений от положения равновесия, в которой смещение любого тела системы не вызывает появления сил, изменяющих состояние системы.О характере равновесия голономной системы, подчиненной стационарным идеальным связям, можно судить по зависимости потенциальной энергии от обобщенных координат. Если в состоянии равновесия потенциальная энергия имеет изолированный минимум:⎛ ∂2Π ⎞⎜⎟ > 0,⎜ ∂q 2 ⎟⎝ j⎠j = 1, 2,⋅⋅⋅, s ,(12.6)0то это состояние является устойчивым. Наоборот, если потенциальная энергия в состоянии равновесия имеет максимум:⎛ ∂2Π ⎞⎜⎟ < 0,⎜ ∂q 2 ⎟⎝ j⎠j = 1, 2,⋅⋅⋅, s ,(12.7)0то равновесие неустойчиво.Примеры решения задачРис.
12.1Пример 12.1. Груз массой M подвешен на нитяхдлиной l, концы которых прикреплены к двуммуфтам массами m, надетыми на стержень (рис.12.1). Коэффициент трения между муфтами истержнем равен μ. При каких расстояниях x ме-§12. Статика. Равновесие механической системы163жду муфтами система будет находиться в равновесии?Рис. 12.2Решение. Силы, действующие на тела системы, изображены на рис. 12.2. Изусловий равновесия каждой из муфт вытекают следующие равенства:N = mg + T cosα , Fòð = T sin α .Поскольку при увеличении x сила трения покоя возрастает, наибольшее извозможных при равновесии значений x соответствует максимальной величине силы трения покояFòð = μN .Условие равновесия груза имеет вид:2T cosα = M g .Объединяя записанные выражения, получаем, что при равновесии системысправедливо равенство:m⎞⎛tg α = μ⎜1 + 2 ⎟ .⎝M⎠§12. Статика. Равновесие механической системы164С другой стороны,tg α =Ответ: x ≤x4l 2 − x 2, откуда x =2μl(M + 2m)M 2 + [ μ( M + 2 m ) ]22l1 + tg 2 α..Пример 12.2.
Из проволоки сделана рамка в форме прямоугольного треугольника с острым углом α (рис.12.3). По проволоке без трения могутскользить два шарика массами m и3m, связанные невесомой нерастяжимой нитью. Определить натяжениенити T и угол ϕ, образуемый нитью сРис. 12.3одной из сторон треугольника в положении равновесия. Является ли это равновесие устойчивым?Рис. 12.4Решение. Силы, действующие на шарики, изображены на рис. 12.4.
В проекциях на горизонтальное и вертикальное направления уравнения равновесия шариков имеют вид:§12. Статика. Равновесие механической системы165N 1 sin α = T cos(ϕ − α) , N 2 cos α = T cos(ϕ − α) ,N 1 cos α = mg + T sin(ϕ − α) , N 2 sin α = 3mg − T sin(ϕ − α) .Исключая из этих уравнений N1, N2 и ϕ, находим силу натяжения нити вположении равновесия:T = mg 1 + 8 cos2 α .Для нахождения угла ϕ, соответствующего положению равновесия шариков, воспользуемся методами аналитической механики.
Выбрав ϕ в качестве обобщенной координаты, выразим через нее декартовы координатышариков. Из рис. 12.4 видно, чтоx 1 = l cos α cos ϕ , x 2 = l sin α sin ϕ , y1 = l sin α cos ϕ , y2 = l cos α sin ϕ ,где l – длина нити. Потенциальная энергия шариков, выраженная черезобобщенную координату ϕ, имеет вид:Π = − mgy1 − 3mgy2 = − mgl(sin α cos ϕ + 3 cos α sin ϕ ) .Рис. 12.5График зависимости Π = Π(ϕ) при α = 50° изображен в качестве иллюст-§12.
Статика. Равновесие механической системы166рации на рис. 12.5. Из условия равновесия∂Π= mgl(sin α sin ϕ − 3 cos α cos ϕ ) = 0∂ϕследует, что искомая величина ϕ удовлетворяет соотношениюtg ϕ = 3 ctg α .Поскольку в положении равновесия потенциальная энергия достигает минимума (см. рис. 12.5), это равновесие является устойчивым. Убедиться вэтом можно также, находя вторую производную∂2Π∂ϕ 2= mgl(sin α cos ϕ + 3 cos α sin ϕ )и подставляя в получившееся выражение значение ϕ из (12.17).
После несложных преобразований находим, что в положении равновесия∂2Π∂ϕ 2Рис. 12.6= mgl sin 2 α + 9 cos2 α > 0 .Пример 12.3. Тонкий однородный стержень укреплен нашарнире в точке А и удерживается горизонтальной нитью (рис. 12.6). Масса стержня m, угол его наклона к горизонту α. Найти величину силы реакции шарнира R.Решение: Стержень находится в равновесии под действием сил, изображенных на рис. 12.7, где T – величина силы натяжения нити, Rx и Ry – величины составляющих силы реакции шарнира вдоль горизонтальной и вертикальной осей, соответственно.
Условия равновесия стержня имеют вид:§12. Статика. Равновесие механической системы167lR x = T , R y = mg, mg cos α − T l sin α = 0 .2Объединяя записанные равенства и учитывая, чтоR = R x2 + R y2 , получаем ответ:Рис. 12.71R = mg 1 + ctg 2 α .4Замечание. При решении подобных задач часто ошибочно полагают, чтосила реакции обязательно направлена вдоль стержня. Элементарный анализпоказывает, что угол β, который составляет сила реакции шарнира с горизонталью (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
