С.Ю. Никитин, С.С. Чесноков - Механика (1111872), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Считать, что m << M .10.16. На гладкой горизонтальной поверхности лежит тонкий однородныйстержень длиной L. По одному из концов стержня наносят горизонтальныйудар в направлении, перпендикулярном стержню. На какое расстояние Sсместится центр масс стержня за время его полного оборота?§11. Динамика систем со связями144§11.
Динамика систем со связями. Уравнения Лагранжаи ГамильтонаКраткие теоретические сведенияСвязями в механике называют не вытекающие из уравнений движения ограничения на координаты, скорости и ускорения отдельных точексистемы. Связи реализуются посредством поверхностей различных тел,стержнями, нитями и т.п. Математически связи выражаются уравнениямисвязей, т.е. соотношениями между координатами точек системы, их скоростями и ускорениями. Силы, с которыми тела, осуществляющие связи, действуют на тела системы, называются силами реакции или просто реакциямисвязей. Помимо сил реакции на тела системы действуют силы, которые известны заранее или являются известными функциями координат и скоростей точек рассматриваемой системы, например, силы тяготения, силы упругости, силы Лоренца.
Такие силы называют заданными или активными.Классификацию связей проводят на основе вида уравнения связи.Различают голономные и неголономные, стационарные и нестационарные,идеальные и неидеальные связи. Если связь сводится к ограничениям накоординаты тел, то она называется голономной (в противном случае – неголономной). Уравнения голономных связей можно представить в видеf α ( r1, r2 ,⋅⋅⋅, rN , t ) = 0 , α = 12, ,⋅⋅⋅, k ,(11.1)где N – число материальных точек системы, k – число связей. Очевидно, чтоголономные связи налагают ограничения не только на положения, но и наскорости и ускорения точек системы, в чем можно убедиться, дифференцируя (11.1) по времени.
Однако характерным для голономных связей является то, что вытекающие из них уравнения, связывающие скорости и ускорения точек системы, могут быть проинтегрированы до решения уравненийдвижения.Стационарной называется связь, уравнение которой не содержит§11. Динамика систем со связями145времени в явном виде. Если же время явным образом входит в уравнениесвязи, то связь называется нестационарной. Примером системы с нестационарной связью является математический маятник, длина нити которого меняется по заданному закону. Особенностью систем с нестационарными связями является то, что их полная механическая энергия может меняться стечением времени. Это происходит за счет работы тел, осуществляющихнестационарную связь.Основная задача механики несвободной системы состоит в отыскании закона движения тел по заданным силам и уравнениям связей. При решении этой задачи возникают две основные трудности: координаты телвзаимозависимы, а силы реакции заранее не известны.
Первая из этих проблем решается путем перехода к независимым обобщенным координатам,вторая – путем исключения сил реакции из уравнений движения системы.Последнее возможно лишь для определенного класса систем, а именно, длясистем с идеальными связями.Числом степеней свободы системы s называется число независимых координат, полностью определяющих положение системы в пространстве, а сами независимые координаты q1, q2 , L, qs называются обобщенны-ми координатами системы. Обобщенными скоростями системы q&1, q&2 , L, q& sназываются производные обобщенных координат по времени. Для краткости всю совокупность обобщенных координат будем обозначать через q, асовокупность обобщенных скоростей – через q& .Для голономной системы, состоящей из отдельных материальныхточек, число степеней свободы можно подсчитать по формулеs = 3N − k .(11.2)В самом деле, используя уравнения связей (11.1), можно выразить k какихлибо координат через остальные 3N − k координат.
Эти 3N − k координатявляются независимыми, следовательно их число равно числу степеней свободы системы. Например, математический маятник, для которого N = 1,k = 1, имеет две степени свободы, а две материальные точки, связанные жестким невесомым стержнем (N = 2, k = 1), имеют пять степеней свободы.§11. Динамика систем со связями146Обобщенные координаты должны удовлетворять двум требованиям. Во-первых, радиус-векторы точек системы должны быть однозначнымифункциями q1, q2 , L, qs :rl = rl (q1, q2 ,⋅⋅⋅, qs , t ) , l = 1, 2,⋅⋅⋅, N ,(11.3)Во-вторых, координаты q1, q2 , L, qs должны быть выбраны в соответствиис уравнениями связей, т.е.
должны обращать их в тождества.Действительным перемещением точки dr называется бесконечномалое перемещение этой точки под действием как заданных сил, так и силреакции связей. Действительное перемещение происходит за время dt в соответствии с уравнениями движения и начальными условиями.Виртуальным перемещением δr называется воображаемое бесконечно малое перемещение точки, допускаемое связями в данный фиксированный момент времени. Виртуальное перемещение не обладает длительностью и не зависит от заданных сил. Используя формулу (11.3), вектор виртуального перемещения l-ой материальной точки системы можно представить в видеsδrl =∂r∑ ∂qlj δq j ,l = 1, 2,⋅⋅⋅, N(11.4)j =1Здесь δq j – вариация обобщенной координаты qj. Виртуальной работойназывается работа силы на виртуальном перемещении.Идеальными называются связи, виртуальная работа сил реакциикоторых равна нулю.
Обозначив через Rl силу реакции, действующую наматериальную точку системы с номером l, условие идеальности связей можно представить в видеNδAR =∑ R l δrl = 0 .(11.5)l =1Идеальными являются связи, задаваемые идеально гладкими поверхностями любой формы, невесомыми нерастяжимыми стержнями или нитями, а§11. Динамика систем со связями147также связи, возникающие при качении без проскальзывания. Неидеальными являются системы, в которых скольжение тел происходит вдоль шероховатых поверхностей.Уравнения движения системы с идеальными голономными связями(или вообще без связей) могут быть представлены в форме уравнений Лагранжа:d ⎛ ∂Κ ⎞ ∂Κ⎜⎟−= Q j , j = 1, 2,⋅⋅⋅, s ,dt ⎜⎝ ∂q& j ⎟⎠ ∂q j(11.6)где Κ = Κ(q, q&) – кинетическая энергия системы, выраженная через обобщенные координаты и обобщенные скорости (для систем с нестационарными связями возможна также явная зависимость от времени),NQj =∂r∑ Fl ∂qlj(11.7)l =1– обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате qj.
Здесь Fl –сумма заданных сил, действующих на материальную точку с номером l, rl –радиус-вектор этой точки.Если заданные силы потенциальны, то для системы частиц можнопостроить функцию Лагранжа. Функцией Лагранжа или лагранжианом называют разность кинетической и потенциальной энергий системы, выраженную через обобщенные координаты и обобщенные скорости:L (q, q&) = Κ(q, q&) − Π(q) .(11.8)С помощью этой функции уравнения Лагранжа можно переписать в болееудобном виде:§11. Динамика систем со связями148d ⎛ ∂L ⎞ ∂L⎜⎟−= 0 , j = 1, 2,⋅⋅⋅, s .dt ⎜⎝ ∂q& j ⎟⎠ ∂q j(11.9)Уравнения Лагранжа в независимых координатах не содержат реакций связей, хотя полностью учитывают влияние связей на движение системы.
Эти уравнения являются очень удобным и эффективным средствоманализа динамики механических систем с идеальными голономными связями.В аналитической механике часто используется понятие обобщенного импульса. Обобщенным импульсом pj называется частная производнаяфункции Лагранжа по соответствующей обобщенной скоростиpj =∂L, j = 1, 2,⋅⋅⋅, s .∂q& j(11.10)Формула (11.10) позволяет переписать уравнения (11.9) в видеp& j =∂L.∂q j(11.11)Уравнение (11.11) представляет собой закон изменения обобщенного импульса. Обобщенная координата, которая не входит в лагранжиан явнымобразом, называется циклической.
Уравнение (11.11) показывает, что есликоордината qj является циклической, т.е. ∂L / ∂q j = 0 , то соответствующийэтой координате обобщенный импульс сохраняется: p j = const . Это утверждение носит название закона сохранения обобщенного импульса.Совокупность обобщенных координат и обобщенных импульсовсистемы q, p называют каноническими переменными. Если в качестве переменных, характеризующих состояние механической системы, использоватьканонические переменные, то уравнения движения приобретают вид§11. Динамика систем со связямиq& j =∂H∂H, j = 1, 2,⋅⋅⋅, s ., p& j = −∂p j∂q j149(11.12)Эти уравнения называются уравнениями Гамильтона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
